高等数学课件2-4.ppt

1、导数的定义及几何意义导数的定义及几何意义导数导数 第三章四则运算及复合函数求导法则四则运算及复合函数求导法则高阶导数与特殊函数的求导高阶导数与特殊函数的求导函数的微分函数的微分重点重点:导数和微分的定义导数和微分的定义,求导法则求导法则,特殊函数的求导特殊函数的求导难点难点:导数定义的理解导数定义的理解,特殊函数的求导特殊函数的求导,高阶导数高阶导数2.4 特特 殊殊 求求 导导 法法 1.反函数求导法则反函数求导法则)(1)(,)()(,0)(,11xfyfxfyyyfxxfxfx 且且可可导导在在则则它它的的反反函函数数且且可可导导在在且且严严格格单单调调的的某某邻邻域域连连续续设设函函数

2、数在在2.4 特殊求导法特殊求导法 定理定理1：tan dxdy)()(yxxfy ),(yxP TxyxyOdydx1 tan1 2211 yxyxxysin ,)1,1(arcsin 存存在在反反函函数数且且严严格格增增加加上上连连续续在在yyxcos1)(sin1)(arcsin 2211sin11xy 由反函数由反函数求导法则求导法则 log xya,yax )(11)(logyaadyddydxdxdyxdxd .ln1ln1axaay 例例3.证明证明211)tg arc(xx 证：证：y=arc tgx是是x=tg y在在)2,2(上的反函数上的反函数x=tg y在在)2,2(内

3、单调，可导，且内单调，可导，且.0sec)tg(2 yy)tg(1)tg(arc yx从从而而y2sec1 y2tg11 211x 211)arcctg(xx 类类似似4.隐函数求导法隐函数求导法 以前所接触到的函数通常是以前所接触到的函数通常是y=f(x)的形式的形式,即左即左边是边是y,而右边是一个不含而右边是一个不含y的表达式的表达式.如如xeyxxyxtg ,sinln1 我们称为显函数我们称为显函数 根据函数的概念，一个函数也可以不以显函数的根据函数的概念，一个函数也可以不以显函数的形式出现形式出现.比如，给二元方程比如，给二元方程 y3+2x2 1=0任给一个任给一个x，都可根据上

4、面的方程，解出唯一的，都可根据上面的方程，解出唯一的y 即即:任给一个任给一个x都有唯一的一个都有唯一的一个y与之对应，因此与之对应，因此,y是是x的函数的函数.称称y为由方程为由方程 所确定的所确定的隐函数隐函数.定义定义2：设有二元方程设有二元方程F(x,y)=0，如果对任意的，如果对任意的 x Ix,存在唯一的存在唯一的y满足方程满足方程F(x,y)=0,则称则称方程方程F(x,y)=0在在Ix上确定了一个上确定了一个隐函数隐函数 y=y(x).y3+2x2 1=0.),(0),(可可导导并并且且函函数数能能够够确确定定隐隐函函数数假假定定方方程程fxfyyxF?,)(如如何何求求出出导

5、导数数的的情情况况下下问问题题：在在不不解解出出显显式式xfy 隐函数求导问题的提法隐函数求导问题的提法.,0)(,(),(,0),(xyxxyxFxxfyxyyxF 解解出出求求导导两两边边对对的的恒恒等等式式：于于是是方方程程可可看看成成关关于于的的函函数数：看看成成把把中中在在方方程程.,求求导导法法则则因因此此需需要要应应用用复复合合函函数数的的函函数数是是要要注注意意注注意意：左左端端求求导导时时xy隐函数求导法隐函数求导法例例4.求求e y+xy2 e=0所确定的隐函数所确定的隐函数y=y(x)的导数的导数y.解答解答(1)方程两边同对方程两边同对x求导求导.注意到注意到y是是x的

6、函数的函数,ey,y2都是都是x的复合函数的复合函数.e y y+y2+2xy y=0(2)解出解出y.(ey+2xy)y=y2故故.2e2xyyyy 得得求求导导方方程程两两边边对对,x)2(02sincos3cos)(22223 xxxxxyxyyyexy.),(01cos 23xxyyxfyxxye 求求确确定定隐隐函函数数由由方方程程 解解)1(0)1()cos()(23 xxeyyexyxy得得解解出出,y)1(sincos6cos2222223xyeeyxxxxyxyxy?)0(:y问问0)0(1)0(yy.5例例例例6.求由求由y5+2y x 3x7=0所定隐函数所定隐函数y=y

7、(x)在在 x=0的导数的导数 y (0).解答解答 (1)两边同时对两边同时对x求导求导,注意到注意到y是是x的函数的函数.y5 是是x的复合函数的复合函数.从而从而 5y4 y +2y 121x6=0(2)解出解出y ,2512146 yxy(3)注意到在原方程中注意到在原方程中,当当x=0时时,y=0.代入得代入得21)0(y5.参数方程求导法参数方程求导法参参数数方方程程)1(2,0sincos ttbytax椭椭圆圆：例例0,)cos1()sin(atayttax摆摆线线：例例aa 2旋轮线旋轮线2,0sincos33 ttaytax星星形形线线：例例a内旋轮线内旋轮线0,32323

8、2 aayx隐隐函函数数方方程程：0120(2)参数方程求导法参数方程求导法).()(,0)(,)(),(1xttxttt 存存在在可可导导的的反反函函数数且且都都存存在在设设确确定定由由参参数数方方程程：设设函函数数 )()()(tytxxfy?dxdy如如何何求求的的复复合合函函数数成成为为通通过过xty)(ty )()(1xttx )(1xy 利用复合函数和反函数微分法利用复合函数和反函数微分法,得得)()(ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy 分析函数关系分析函数关系:2,0sincos ttbytax求求椭椭圆圆：,24cos,4aaxt 时时当当.4处处的的切切线线方方程程

9、在在 t24sinbby )2,2(:0aaM切切点点解解4tan:tdxdyk切切线线斜斜率率7例例tabtatbttdxdycotsincos)()(ababdxdykt 44sincos4 :切切线线方方程程)2(2axabby bxaby2 即即;2cot)cos1(sinttRtRxydxdtdtdydxdytt )(22dxdydxddxyd)cos1(12sin212tRtxzdxdztt 2)cos1(1tR 2cottdxdyz 七、对数求导法七、对数求导法有时常要求幂指函数或带连乘积的函数的导数有时常要求幂指函数或带连乘积的函数的导数.)100)(99()2)(1(,1si

10、n xxxxyxyx如如这时可两端取对数这时可两端取对数,再利用隐函数的求导思想再利用隐函数的求导思想和方法来求导和方法来求导,称为取对数求导法称为取对数求导法.例例.10 ,1sin xxyx其其中中的的导导数数求求解答解答求幂指函数的导数求幂指函数的导数,通常可用对数求导法通常可用对数求导法xxyln1sinln 两边对两边对x求导求导,注意到注意到y是是x的函数的函数,从而从而lny是是x的复合对数的复合对数.xxxxxyy 1sin1211cos)(ln1从而从而 xxxxxyy121cosln1sin xxxxxxx121cosln1sin1sin.)100()2)(1(1002的导数的导数求求 xxxy解答解答 可用对数求导法求导数可用对数求导法求导数.)100()2)(1ln(21ln1002 xxxy )100ln()2ln()1ln(211002 xxx练习练习1 1两边对两边对x求导求导,y是是x的函数的函数.1001002211211100992xxxxxyy 100100221121100992xxxxxyy