高等数学&数列的极限课件.ppt
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- 关 键 词:
- 高等数学 数列 极限 课件
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1、数学语言描述:一一、数列极限的定义、数列极限的定义,)1(,43,34,21,21nnn引例引例.当 n 无限增大时,刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 1(1)nnn 越来越接近于1,2,8,4,2n,)1(,1,1,11n定义定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作)(nfxn或.nxnx称为通项(一般项).若数列nx及常数 a 有下列关系:,0,N正数当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn则称该数列nx的极限为 a,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.已
2、知,)1(nnxnn证明数列nx的极限为1.证证:1nx1)1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此,取,1N则当Nn 时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.已知,)1()1(2nxnn证明.0limnnx例例3.证明2221lim.3243nnnnn此二例板书说明此页不显示例例2证证:0nx0)1()1(2nn2)1(1n11n,)1,0(欲使,0nx只要,11n即n取,11N则当Nn 时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2)1(10nnx.11N 与 有关,但
3、不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取11N例例4.设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq,)1,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln)1(qn亦即因此,取qNlnln1,则当 n N 时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为 0.1nq机动 目录 上页 下页 返回 结束 ab二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质,2ab1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.2ba2ab2ab证证(略略):用反证法.axnnlim及,limbxnn且.ba 假设得出矛盾.机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何描述:2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证略证略说明
4、说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何描述:3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若,limaxnn且0a,NN则Nn 当时,有0nx,)0(.)0(证略证略N,NNn 当推论推论2若0nx,有,limaxnn且0a则(用反证法证明)推论推论1若,limaxnn且,ab,NN则Nn 当时,有nxb.注:注:nxb若换成ab则 结论为*,axkn4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列knx是数列nx的任一子数列.若,limaxnn则,0,N当 Nn 时,有axn现取正整数 K,使,
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