高等数学&97-方向导数与梯度课件.ppt

1、xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0000000yxo0PP，),(000yxP),(00yxxP 函数函数f(x,y)沿沿x轴方向的变化率。轴方向的变化率。yxo0PPl射线射线l，l的方向余弦为的方向余弦为 cos,cosee l的方向向量的方向向量)cos,(cos ),(yxP射线射线l的方程：的方程：cos0txx cos0tyy ，|0PPt 当当P沿射线沿射线l方向趋向于方向趋向于P0时函数时函数f(x,y)的变化率。的变化率。yxo0PPle),(yxP函数函数f(x,y)沿射线沿射线l轴方向的增量：轴方向的增量：),()cos,cos(0000yxftytx

2、f tyxftytxf),()cos,cos(0000 0limt定义定义 设函数设函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，以以P0为始点的射线为始点的射线l的方向向量为的方向向量为e)cos,(cos 若极限若极限tyxftytxft),()cos,cos(lim00000 存在，存在，称此极限为函数称此极限为函数z=f(x,y)在点在点P0沿方向沿方向l的方向导数，的方向导数，记为记为:),(00yxlf tyxftytxflft),()cos,cos(lim0 xf 为函数为函数z=f(x,y)沿沿的方向导数的方向导数为沿为沿 的方向导数的方向导

3、数yf 沿沿x轴、轴、y轴轴的方向导数为的方向导数为yfxf ,tyxftytxflft),()cos,cos(lim0 则函数在该点则函数在该点定理定理 若若 z=f(x,y)在点在点P(x,y)可微，可微，其中其中 方向方向l 的方向余弦的方向余弦 coscosyfxflf且有且有沿任意方向沿任意方向l 的方向导数都存在，的方向导数都存在，cos,cos证明：因为证明：因为z=f(x,y)可微，可微，所以所以),()cos,cos(yxftytxf )(coscostotxftxf tyxftytxflft),()cos,cos(lim0 ttoxfxft)(limcoscos0 cosc

4、osxfxf解解;1)0,1(2)0,1(yexz,22)0,1(2)0,1(yxeyz)21(2211 lz.22 例例1 求函数求函数 在点在点P(1,0)处沿从点处沿从点P yxez2 到点到点Q(2,-1)的方向的方向导数的方向的方向导数 方向方向PQ 为：为：，1,1 2|l，21cos 21cos l=PQ夹角为夹角为 的方向的方向l 的方向导数，并问的方向导数，并问为何值时为何值时 例例2 求求 在点在点(1,1)沿与沿与x轴正向轴正向解解，yxyxfx 2),(此方向导数此方向导数(1)有最大值；有最大值；(2)等于零？等于零？22),(yxyxyxf yxyxfy2),(co

5、s1cos1)1,1(lf，1)1,1(xf，1)1,1(yf sincos),4sin(2 方向导数达到最大值方向导数达到最大值 2时，时，当当 4 )1(方向导数为方向导数为0 时，时，、当当47 43 )2(函数函数 u=f(x,y,z)，在点，在点P(x,y,z)沿着方向沿着方向l 的方向导数为的方向导数为,),()cos,cos,cos(lim0tzyxftztytxflft 其中其中 为方向为方向l 的方向余弦的方向余弦 cos,cos,cos当函数当函数 f(x,y,z)在点在点P(x,y,z)可微时，可微时，.coscoscos zfyfxflf在此处沿方向在此处沿方向n的方向

6、导数的方向导数.解解令令,632),(222 zyxzyxF，xFx4，yFy6，zFz2)1,1,1()2,6,4(zyxn ),2,6,4(,142 n方向余弦方向余弦例例3 设设n是曲面是曲面632222 zyx2122)86(1yxzu 在在P(1,1,1)点处点处求函数求函数的指向外侧的法向量，的指向外侧的法向量，,142cos ,143cos .141cos ，22866yxzxxu ，22868yxzyyu 22286zyxzu 14141143148142146)1,1,1(nu.711，2122)86(1yxzu ，146)1,1,1(xu，148)1,1,1(yu，14)1

7、,1,1(xu,142cos ,143cos .141cos (1)二元函数二元函数(2)三元函数三元函数 设设z=f(x,y)在点在点P(x,y)可微，可微，以以P为始点的射线为始点的射线 l 的方向的方向向量为向量为e)cos,(cos 则：则：f(x,y)在点在点P沿沿l 方向方向的方向导数的方向导数:coscosyxfflf设设z=f(x,y,z)在在P(x,y,z)可微，可微，以以P为始点的射线为始点的射线 l 的方向的方向向量为向量为)cos,cos,(cos e则：则：f(x,y,z)在点在点P沿沿l 方方向的方向导数向的方向导数:coscoscoszyxffflf=(fx,fy

8、)e=(fx,fy,fz)e 定义定义 设函数设函数z=f(x,y)在平面区域在平面区域D内具有一阶内具有一阶连续偏导数，对连续偏导数，对D内任意点内任意点(x,y)jyfixf 称向量称向量为为z=f(x,y)在点在点P(x,y)的的梯度梯度,jyfixf ),(yxgradf记为记为),(zyxgradf.kzfjyfixf (1)二元函数二元函数(2)三元函数三元函数 设设z=f(x,y)在点在点P(x,y)可微，可微，以以P为始点的射线为始点的射线 l 的方向的方向向量为向量为e)cos,(cos 则：则：f(x,y)在点在点P沿沿l 方向方向的方向导数的方向导数:coscosyxff

9、lf设设z=f(x,y,z)在在P(x,y,z)可微，可微，以以P为始点的射线为始点的射线 l 的方向的方向向量为向量为)cos,cos,(cos e则：则：f(x,y,z)在点在点P沿沿l 方方向的方向导数向的方向导数:coscoscoszyxffflf=(fx,fy)e=(fx,fy,fz)e=grad f(x,y)e=grad f(x,y,z)e 当当 时，时，lf egradf )(,cos|egradfgradf有最大值：有最大值：|grad f|lf 0,egradf解解),(zyxgradu),6,24,32(zyx )2,1,1(gradu的梯度，并问在哪些点处梯度为零向量？的

10、梯度，并问在哪些点处梯度为零向量？yxzyxu2332222 例例4 求函数求函数在点在点(1,1,2)处处在点在点 处梯度为零向量处梯度为零向量)0,21,23(0 P),(zuyuxu ).12,2,5(的变化率为的变化率为_(1)函数函数u=x2+3xyy2在点在点(1,1)处沿方向处沿方向I=(1,5)2610练习题练习题(2)函数函数u=2xyz2在点在点(2,1,1)处的方向导数的最大处的方向导数的最大值为值为_ _ 62作业：作业：P108:T2,T4,T5,T6,T8,T10 kji623zyxxyzyxzyxf62332),(222 _)0,0,0(gradf(3)函数函数则

11、则等高线等高线播放播放曲面曲面 z=f(x,y)被平被平z=c所截所截得曲线得曲线,),(czyxfz在在xoy面上投影面上投影,称为称为z=f(x,y)的的等高线等高线函数的图形函数的图形22yxz 等高线图等高线图xyzsin 函数函数设设z=f(x,y)在点在点P(x,y)有连续偏导数，有连续偏导数，则则 grad f(x,y)=(fx,fy)oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高线等高线f(x,y)=c在点在点P(x,y)的切向量：的切向量：),1(dxdyT ),1(yxff ),(1xyyfff ),(xyffT 0 gradfTP),(yxgradf等高线等高线

12、曲面曲面 z=f(x,y)被平被平z=c所截所截得曲线得曲线,),(czyxfz在在xoy面上投影面上投影,称为称为z=f(x,y)的的等高线等高线等高线等高线曲面曲面 z=f(x,y)被平被平z=c所截所截得曲线得曲线,),(czyxfz在在xoy面上投影面上投影,称为称为z=f(x,y)的的等高线等高线等高线等高线曲面曲面 z=f(x,y)被平被平z=c所截所截得曲线得曲线,),(czyxfz在在xoy面上投影面上投影,称为称为z=f(x,y)的的等高线等高线等高线等高线曲面曲面 z=f(x,y)被平被平z=c所截所截得曲线得曲线,),(czyxfz在在xoy面上投影面上投影,称为称为z=f(x,y)的的等高线等高线等高线等高线曲面曲面 z=f(x,y)被平被平z=c所截所截得曲线得曲线,),(czyxfz在在xoy面上投影面上投影,称为称为z=f(x,y)的的等高线等高线等高线等高线曲面曲面 z=f(x,y)被平被平z=c所截所截得曲线得曲线,),(czyxfz在在xoy面上投影面上投影,称为称为z=f(x,y)的的等高线等高线等高线等高线曲面曲面 z=f(x,y)被平被平z=c所截所截得曲线得曲线,),(czyxfz在在xoy面上投影面上投影,返回返回称为称为z=f(x,y)的的等高线等高线