高等数学&121-级数概念与性质课件.ppt

1、将数列将数列un的各项依次用加号连接起来所得的的各项依次用加号连接起来所得的称为称为(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项称数列称数列Sn级数级数(1)的部分和数列的部分和数列称称Sn为级数为级数(1)的部分和，的部分和，,11uS ,212uuS ,3213uuuS ,21nnuuuS nuuuu321表示式表示式)1(1 nnu,定义定义 nuuuS21记：记：1nnu若级数若级数的部分和数列的部分和数列Sn有极限有极限S,limSSnn 1nnu则称级数则称级数收敛收敛,1nnu 此极限此极限S称为级数称为级数 的和的和若若 没有极限没有极限,则称无穷级数则称无穷级数 发散发散.n

2、S 1nnu余项余项nnSSr 21nnuu 1iinu即：即：解解)1(1 nnun111 nn)1(1321211 nnSn)211(的收敛性的收敛性 1)1(1nnn例例1 判别级数判别级数)111(nn)3121()4131(111 n1lim nnS 1)1(1nnn收敛收敛存在存在nnS lim 1nnu收敛收敛思考思考(1)：若常数：若常数a0，则级数，则级数 0nnaq是否收敛？是否收敛？其部分和数列其部分和数列Sn12 naqaqaqa当当q=1时，时，Sn=na,lim nnS 0nnaq发散。发散。当当q=-1时，时，Sn=a0当当n奇数时，奇数时，当当n偶数时，偶数时，

3、nnS lim不存在，不存在，0nnaq发散。发散。当当|q|=1时，时，0nnaq发散发散12 nnaqaqaqaSqqan 1)1(,11qaqqan ,1limqaSnn 0nnaq级数级数 收敛收敛 0nnaq级数级数 发散发散当当|q|1时，时，若若|q|1，则，则,lim nnS（1）当）当|q|1时，收敛，其和为时，收敛，其和为 nnnaqaqaqaaq20)0(a结论：等比级数结论：等比级数(几何级数几何级数)（2）当）当|q|1时，发散时，发散如：如：,350 nn 0)2(nn,2)1(0 nnn收敛收敛收敛收敛发散发散qa 1思考思考(2)：级数：级数 nnn131211

4、11是否收敛？是否收敛？,131211nSn 若若 收敛收敛 11nnSSnn limSSnn 2lim0)lim(2 nnnSS0)212111(lim nnnn而而 nnn212111 nn2 21 0 11nn调和级数调和级数发散发散1.级数的收敛性：级数的收敛性：1nnu记记 的部分和为的部分和为Sn若若 存在存在 ，nnS lim称级数称级数 收敛收敛 。1nnu(不存在不存在)(发散发散)2.两个重要级数：两个重要级数：(1)等比级数：等比级数：0nnaq（a）当）当|q|1时，收敛，其和为时，收敛，其和为（b）当）当|q|1时，发散时，发散qa 1(2)调和级数调和级数 发散。发

5、散。11nn思考题思考题(1)级数级数 当当x满足什么条件时收敛？满足什么条件时收敛？0nnx(2)当当-1x1时，级数时，级数 的和为的和为_,0nnx 级数级数 的和为的和为_，1nnx(3)使级数使级数 收敛的收敛的x的取值范围是的取值范围是_,nnnnx 12)1(在该范围内，该级数的和为在该范围内，该级数的和为_。x 11xx 1 的和为的和为_.12nnx221xx 22 xxx 21|x 1nnu级数级数的一般项的一般项un与部分和与部分和Sn的关系？的关系？,)1(21nnuuuS ,)2(1 nnnSSuSSnn limSSnn 1lim0lim nnu 1nnu级数级数 收

6、敛收敛 1nnu定理定理 若级数若级数 收敛，则收敛，则0lim nnu问题问题 1nnu则则0lim nnu 1.若若发散发散0lim nnu 2.若若 1nnu则则未必收敛未必收敛如如 11nn（必要条件）（必要条件）1nnu性质性质1 若常数若常数k0，则级数，则级数收敛性相同收敛性相同.与与 1nnku证证 设设nnuuuS 21nnkukukuB 21nkS SSnn lim若若kSBnn lim则则若若 不存在不存在nnS lim则则 不存在不存在nnB lim 1nnu收敛性相同收敛性相同.与与 1nnku,其和为其和为 s 1nnus 1nnv性质性质2 设两收敛级数设两收敛级

7、数 1)(nnnvu则级数则级数收敛收敛证证 设设nnuuuS 21nnvvvB 21记记,limsSnn ,lim nnB 1)(nnnvu的部分和：的部分和：Pn=Sn+Bn.lim sPnn问题问题（1 1）若级数）若级数都发散都发散 1nnu 1,nnv 1)(nnnvu则级数则级数未必发散未必发散（2 2）若级数）若级数收敛，收敛，发散发散则级数则级数必必发散发散如如 ,11 nn,11 nn 1nnu 1nnv 1)(nnnvu性质性质3 1nnu若级数若级数 收敛收敛且其逆亦真且其逆亦真.1knnu则则也收敛也收敛设整数设整数k 1，(发散发散),),(发散发散););证证nnu

8、uuS 21 1nnu的部分和为：的部分和为：1knnu的部分和为：的部分和为：nkkknuuuB 21kknnSSB 1nnu收敛收敛nnS lim存在存在knnS lim存在存在nnB lim存在存在 1knnu收敛收敛性质性质4 收敛级数加括弧后所成的级数收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和仍然收敛于原来的和.问题问题(1)(1)若加括号后的级数收敛，若加括号后的级数收敛，则原级数则原级数(2)(2)若加括号后的级数发散，若加括号后的级数发散，则原级数则原级数未必收敛未必收敛。必必发散发散。即级数的收敛性与其前有限项无关！即级数的收敛性与其前有限项无关！级数级数 10311021

9、10111001发散发散1.级数收敛的性质：级数收敛的性质：（1）常数）常数 k0，级数级数 与与 同敛散。同敛散。1nnu 1nnku（2）两个收敛级数对应项相加所构成的级数收敛。）两个收敛级数对应项相加所构成的级数收敛。（3）级数的收敛性与其前有限项无关。）级数的收敛性与其前有限项无关。（4）收敛级数对其项任意加括号后所成的级数）收敛级数对其项任意加括号后所成的级数 仍收敛。仍收敛。（5）级数收敛的必要条件是其一般项的级数收敛的必要条件是其一般项的 极限为零极限为零。2.判断级数收敛性的方法：判断级数收敛性的方法：0lim)1(nnu 1nnu(2)若加括号后的级数发散，若加括号后的级数发

10、散，则原级数必发散。则原级数必发散。(3)若级数若级数 1nnu收敛，收敛，发散发散 1nnv 1)(nnnvu则级数则级数必发散必发散则则 发散。发散。1nnku(4)级数级数 与与 收敛性相同收敛性相同)0(k(5)级数级数 与与 收敛性相同。收敛性相同。,1 nnu 1nnv(6)级数级数 1)(nnnvu则级数则级数收敛收敛都收敛都收敛 1nnu knnu 1nnu判断下列级数的收敛性判断下列级数的收敛性 12)1(nnnn)65()2(1 13)1(2)3(nnnn 121cos)4(nn nn211213121211)5(32发散发散收敛收敛收敛收敛发散发散发散发散P255:T3(2)，T4