肿瘤生长的模型课件.ppt

1、 肿瘤的生长规律肿瘤的生长规律倪致祥倪致祥 教授教授问题问题n恶性肿瘤是目前威胁人类的一个主要的杀手，研究恶性肿瘤的生长规律，有助于人类认识其生长特点，寻找控制消灭它的措施。n为了定量地研究肿瘤的生长规律，我们希望建立一个肿瘤生长的数学模型。n建立数学模型的第一步是从实践的观察结果出发。观察数据n通过临床观察人们发现肿瘤细胞的生长有下列现象：n1.按照现有手段，肿瘤细胞数目超过1011时，临床才可能观察到。n2.在肿瘤生长初期，每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍。n3.在肿瘤生长后期，由于各种生理条件的限制，肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。n根据上面的观察结果，你能不能建立一个简明的数学

2、模型，来描述恶性肿瘤的生长规律？模型一模型一n设时刻t肿瘤细胞数目为 n(t)，由观察2 我们可以假设肿瘤细胞的增长速度与当时该细胞数目成正比，比例系数（相对增长率）为 k。则可以得到如下方程：n n(t)=k n (1)n其解为n n(t)=n(0)ekt (2)n据临床观察1，可令n(0)=1011；据临床观察2，设细胞增加一倍所需时间为T，则有n n(tT)=2 n(t)(3)模型一n n(t)=n(0)ekt (2)n据临床观察1，可令n(0)=1011；据临床观察2，设细胞增加一倍所需时间为T，则有n n(tT)=2 n(t)(3)n将(2)式代入(3)式后，有 T=ln2/k 。n

3、由此可以得到肿瘤细胞的生长规律为n n(t)=1011 e t ln2/T=1011 2 t/T (4)n上面得到的模型称为指数模型，它能够很好地反映临床观察1和观察2。但是该模型未能反映出临床观察3，因此需要进一步修改。模型二模型二n考虑到临床观察3，我们需要对指数模型进行修正。n荷兰生物数学家Verhulst提出设想：相对增长率随细胞数目n(t)的增加而减少。n若用N表示因生理限制肿瘤细胞数目的极限值，f(n)表示相对增长率，则f(n)为n的减函数，n为处理方便，令f(n)为n的线性函数：n f(n)=a b n (5)n显然当 n=N 时，f(n)0；n假设当 n=0 时，f(n)=k，

4、代入上式即可解得n a=k,b=k/N (6)模型二n a=k,b=k/N (6)n f(n)=k(1 n/N)n则n(t)满足微分方程n n(t)=kn(1-n/N)(7)n该方程称为Logistic模型或者Verhulst-Pearl阻滞方程，广泛应用于医学、农业、生态和商业等领域。nVerhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：k是肿瘤的固有增长率(Potential rate)，即如果没有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。模型二nVerhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解：k是肿瘤的固有增长率(Potential rate)，即如果没有生理限制而且细

5、胞之间互不影响时的增长率。n由于有生理限制和细胞之间的相互影响，存在一个最大可能的细胞数目N。细胞数目为n的肿瘤中还未出生部分所占的比例为1n/N。n因此，肿瘤细胞数目的实际增长率应为其固有增长率乘以上述比例，即n k(1 n/N)(8)n这个结果与方程(7)完全一致。模型二n n(t)=k n(1-n/N)(7)n利用分离变量法，上述方程可以化为(9)n由此可以解出(10)kdtNnndn)/1()exp()1/(1)exp()/1(/0000)(ktnNNktNnNnntn模型二n由上面的结果，n(0)=n0=1011 ；n在肿瘤生长初期，t0，因此有n n(t)=n0 ektn容易验证

6、n(tln2/k)=2 n(t)，即每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍；n在肿瘤生长后期，t ，n(t)N，即肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。n这些与观察结果完全一致。)exp()1/(1)exp()/1(/0000)(ktnNNktNnNnntnGompertzlan模型模型n在某些情况下，Verhulst模型与实测数据吻合得不好，模型的理论增长率下降得过快，小于实际增长率。n这时我们可以考虑将相对增长率从n的线性函数修改为n的对数函数，即把相对增长率取为n f(n)=-k ln(n/N)(11)n其中负号表示随n的增加而减少，但不是线性关系，而是与n在极限值中所占比例的对数有关。n由

7、此得到微分方程n n(t)=-k n ln(n/N)(12)Gompertzlan模型模型n由此得到微分方程n n(t)=-k n ln(n/N)(12)n解为n n(t)=n0 N/n0 1-exp(-kt)(13)n在肿瘤生长初期，t0，exp(-kt)=1-kt 因此有n n(t)=n0(N/n0)ktn容易验证 每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍；n在肿瘤生长后期，t ，n(t)N，即肿瘤细胞数目逐渐趋向某个稳定值。n这些与观察结果完全一致。一般模型一般模型n本世纪80年代，有人对肿瘤生长规律提出了更一般的模型：n n(t)=(kn/a)1-(n/N)a,a0 (14)n其解为n n(t)=N1+e-kt(N/n0)a-1-1/a (15)n显然当a=1时，我们回到了Logistic模型；而当a 0时，我们又可以得到Gompertzlan模型。由于参数 a 可以在大于零的范围内任意取值，故上述模型具有高度的一般性和广泛的适应性。结束语n人类的认识就是这样由简单到复杂、由特殊到普遍、由个别到一般的。n看了上述的应用数学范例，你能把我们已经学过的各种数学物理模型也来改造一番，使其具有更广泛的适用性吗？n试试看，路就在脚下！