线性代数第三章线性方程组第7节课件.ppt

1、在工程技术领域中，大量的问题都可归结为在工程技术领域中，大量的问题都可归结为线性方程组问题，线性方程组在实际中有着广泛线性方程组问题，线性方程组在实际中有着广泛的应用的应用本节举几个简单应用本节举几个简单应用现有现有1个木工，个木工，1个电工和个电工和1个油漆工，个油漆工，3人相互人相互同意版此装修他们自已的房子在装修之前，他们同意版此装修他们自已的房子在装修之前，他们达成了如下协议：达成了如下协议：（）每人总共工作（）每人总共工作10天（包括给自已家干活天（包括给自已家干活在内）；在内）；（）每人的日工资据一般的市价在（）每人的日工资据一般的市价在6080（）每人的日工资数应使得每人的总收入

2、与（）每人的日工资数应使得每人的总收入与元之间；元之间；总支出相等总支出相等他们协商后制定出的工作天数的分配方案如表他们协商后制定出的工作天数的分配方案如表3.1所示，如何计算出他们每人应得的工资所示，如何计算出他们每人应得的工资天数工种天数工种木工木工电工电工油漆工油漆工在木工家的工作天数在木工家的工作天数在电工家的工和天数在电工家的工和天数在油漆工家的工作天数在油漆工家的工作天数设设 x1,x2,x3 分别表示木工，电工，油漆工的分别表示木工，电工，油漆工的的日工资的日工资木工的木工的10个工作日的总收入为个工作日的总收入为10 x1，木，木工，电工，油漆工工，电工，油漆工3人在木工家工作

3、的天数分别为：人在木工家工作的天数分别为：天数工种天数工种木工木工电工电工油漆工油漆工在木工家的工作天数在木工家的工作天数在电工家的工和天数在电工家的工和天数在油漆工家的工作天数在油漆工家的工作天数2天，天，1天，天，6天，则木工的总支出为天，则木工的总支出为2x1+x2+6 x3 由于木工总支出与总收入相等，于是木工的收支平由于木工总支出与总收入相等，于是木工的收支平衡关系可描述为衡关系可描述为天数工种天数工种木工木工电工电工油漆工油漆工在木工家的工作天数在木工家的工作天数在电工家的工和天数在电工家的工和天数在油漆工家的工作天数在油漆工家的工作天数2x1+x2+6 x3=10 x1 类似地，

4、可以分别建立描述电工，油漆工的收类似地，可以分别建立描述电工，油漆工的收支平衡关系的支平衡关系的2个等式个等式天数工种天数工种木工木工电工电工油漆工油漆工在木工家的工作天数在木工家的工作天数在电工家的工和天数在电工家的工和天数在油漆工家的工作天数在油漆工家的工作天数4x1+5x2+x3=10 x2，4x1+4x2+3x3=10 x3，将将3个方程联立得线性方程组为个方程联立得线性方程组为.10344,1054,1062332123211321xxxxxxxxxxxx整理得整理得3个人的日工资应满足的齐次线性方程组为个人的日工资应满足的齐次线性方程组为.0744,054,068321321321

5、xxxxxxxxx利用齐次线性方程组的解法，得到方程组的通解为利用齐次线性方程组的解法，得到方程组的通解为,19/836/31321kxxx其中其中 k 为任意实数为任意实数由于日工资在由于日工资在6080元之间，元之间，故选择故选择 k=72，以确定木工，电工，油漆工每人每，以确定木工，电工，油漆工每人每天的日工资为天的日工资为 x1=62，x2=64，x3=72一种在一种在20世纪世纪80年代很流行的食谱，称为年代很流行的食谱，称为，是经过多年研究编制出来的这是由，是经过多年研究编制出来的这是由 AlanH.Howard 博士领导的科学家团队经过博士领导的科学家团队经过8年对过度肥年对过度

6、肥 胖病人的临床研究，在剑桥大学完成的这种低热胖病人的临床研究，在剑桥大学完成的这种低热 量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的 蛋白质和脂肪，配合维生素、矿物质、微量元素和电蛋白质和脂肪，配合维生素、矿物质、微量元素和电解质为得到所希望的数量和比例的营养，解质为得到所希望的数量和比例的营养，Howard博士在食谱中加入了多种食品每种食品供应了多种博士在食谱中加入了多种食品每种食品供应了多种 所需要的成分，然而没有按正确的比例例如，脱脂所需要的成分，然而没有按正确的比例例如，脱脂 牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙，因此大豆牛奶是蛋白质的主要

7、来源但包含过多的钙，因此大豆 粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少量的钙然而粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少量的钙然而 大豆粉包含过多的脂肪，因而加上乳清，因它含脂肪大豆粉包含过多的脂肪，因而加上乳清，因它含脂肪 较少，然而乳清又含有过多的碳水化合物较少，然而乳清又含有过多的碳水化合物在这里我们把问题简化，看看这个问题小规模时的在这里我们把问题简化，看看这个问题小规模时的情形下表是该食谱中的情形下表是该食谱中的3种食物以及种食物以及100克每种克每种食物含有某些营养素的数量食物含有某些营养素的数量营营 养养每每100克食物所含营养量（克食物所含营养量（g）减肥所要减肥所要求的每日求的每日营养量

8、营养量脱脂牛奶脱脂牛奶大豆粉大豆粉乳清乳清蛋白质蛋白质36511333碳水化合碳水化合物物52347445脂肪脂肪071.13如果用这三种食物作为每天的主要食物，那如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求？营养要求？以以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的克为一个单位，为了保证减肥所要求的每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶 x1个单位，个单位，大豆粉大豆粉 x2 个单位，乳清个单位，乳清 x3 个单位，则由所给条个单位，则由所给条件得件得解上方程组得解上方程组得.

9、2332.0,3919.0,2772.0321xxx即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日需即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日需食用脱脂牛奶食用脱脂牛奶 27.72 克，大豆粉克，大豆粉 39.19 克，乳清克，乳清 23.32 克克.31.17,45743452,3313513632321321xxxxxxxx在工程技术中所遇到的电路，大多数是很复杂的，在工程技术中所遇到的电路，大多数是很复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式互相连接而构成这些电路是由电器元件按照一定方式互相连接而构成的网络在电路中，含有元件的导线称为支路，而三的网络在电路中，含有元件的导线称为支路，而三条或三条以上的

10、支路的会合点称为节点电路网络分条或三条以上的支路的会合点称为节点电路网络分析，粗略地说，就是求出电路网络中各条支路上的电析，粗略地说，就是求出电路网络中各条支路上的电流和电压对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫流和电压对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫 (Kirchhoff)定律来解决以下图所示的电路网络部分定律来解决以下图所示的电路网络部分为例来加以说明为例来加以说明设各节点的电流如图所示，设各节点的电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律则由基尔霍夫第一定律(简简记为记为KCL)（即电路中任一（即电路中任一 节点处各支路电流之间的关节点处各支路电流之间的关 系：在任一节点处，支路电系：在任一节

11、点处，支路电 流的代数和在任一瞬时恒为流的代数和在任一瞬时恒为 零零(通常把流入节点的电流通常把流入节点的电流 取为负的，流出节点的电流取为负的，流出节点的电流 取为正的取为正的)该定律也称为该定律也称为节点电流定律），有节点电流定律），有.0,0,0,0321653542641iiiiiiiiiiii解之，得其解为解之，得其解为100101010110001011321654321kkkiiiiii（其中（其中R,321kkk）的的3个任意常数应满足以下条件：个任意常数应满足以下条件：由于由于654321,iiiiii均为正数，所以通解中均为正数，所以通解中k1 k3 -k1 某些反应容器中

12、同时发生几个反应，且不同的某些反应容器中同时发生几个反应，且不同的反应之间存在着这样的关系：前面的反应产物全部反应之间存在着这样的关系：前面的反应产物全部或部分是后面反应的反应产物，对于这样的反应，化或部分是后面反应的反应产物，对于这样的反应，化学方程式描述了化学反应的物质消耗和生产的数量学方程式描述了化学反应的物质消耗和生产的数量这类方程式的配平可根据质量守恒来进行例如，这类方程式的配平可根据质量守恒来进行例如，当丙烷气体燃烧时，丙烷（当丙烷气体燃烧时，丙烷（C3H8）与氧（与氧（O2）结）结合生成而二氧化碳（合生成而二氧化碳（CO2）和水（）和水（H2O），这个反），这个反应用方程表示为应

13、用方程表示为.OHCOOHC22283为配平这个方程式，设为配平这个方程式，设 x1单位的单位的 C3H8 和和 x2 单位的单位的O2 燃烧，产生燃烧，产生 x3 单位的单位的 CO2 和和 x4 单位的单位的 H2O，即，即.OHCOOHC242322831xxxx于是，根据质量守恒有于是，根据质量守恒有.022,028,034324131xxxxxxx解这个方程组，得解这个方程组，得43514321kxxxxRk（其中（其中）由于在一般情形下，化学家倾向于使用全体系数由于在一般情形下，化学家倾向于使用全体系数尽可能小的整数来配平方程式，故有尽可能小的整数来配平方程式，故有.OH4CO3O

14、5HC22283当科学家、工程师或经济学家研究一些数量在当科学家、工程师或经济学家研究一些数量在网络中的流动时可能会推导出线性方程组例如，城网络中的流动时可能会推导出线性方程组例如，城市规划和交通工程人员监控一个网格状的市区道路市规划和交通工程人员监控一个网格状的市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售许多网络中的方程组涉及造商到顾客的产品销售许多网络中的方程组涉及成百上千的变量和方程成百上千的变量和方程 一个网络包含一组称为接

15、合点或节点的点集，一个网络包含一组称为接合点或节点的点集，并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点流并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点流的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显的方向在每个分支上有标示，流量（速度）也有显示或用变量标记示或用变量标记 网络流的基本假设是全部流入网络的总流量等网络流的基本假设是全部流入网络的总流量等于全部流出网络的总流量，且流入一个节点的流量于全部流出网络的总流量，且流入一个节点的流量等于流出此节点的流量于是，对于每个节点的流等于流出此节点的流量于是，对于每个节点的流量可以用一个方程来描述网络分析的问题就是确量可以用一个方程来描述网络分析的问题就是确定当局部信息（如网络的输入）已知时，求每一分定当局部信息（如网络的输入）已知时，求每一分支的流量例如，下图给出了某城市部分单行街道在支的流量例如，下图给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时候的交通流量（每小时车辆数目）一个下午早些时候的交通流量（每小时车辆数目）计算该网络的车流量计算该网络的车流量 由网络流量假设，得由网络流量假设，得 如下线方程组如下线方程组,40,50,60,0,50316465543221xxxxxxxxxxxx解这个方程组，得解这个方程组，得060500104011100000011121654321kkxxxxxx（其中（其中R,21kk）