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1、1第二章第二章 机械测试信号分析机械测试信号分析 习题课习题课第二章第二章2内容内容 n频谱分析频谱分析n周期信号的傅立叶展开周期信号的傅立叶展开n非周期信号的傅立叶变换非周期信号的傅立叶变换n自相关函数与功率谱密度自相关函数与功率谱密度3目的目的 把复杂的时间信号分解把复杂的时间信号分解为谐波分量，获得信号的为谐波分量，获得信号的频频率结构率结构各谐波分量的各谐波分量的幅值幅值和和相位相位。频谱图频谱图 横坐标为横坐标为频率频率，表示信，表示信号与频率的函数关系。号与频率的函数关系。幅值谱：纵坐标幅值谱：纵坐标幅值幅值 相位谱：纵坐标相位谱：纵坐标相位相位1T时间时间幅值幅值频率频率1111

2、12TfT1T1 1、频谱分析、频谱分析 41、频谱分析、频谱分析 信号信号确定性信号确定性信号非确定性信号非确定性信号周期信号周期信号非周期信号非周期信号随机信号随机信号傅立叶级数傅立叶级数傅立叶变换傅立叶变换功率谱密度功率谱密度信号的分类与频谱分析方法信号的分类与频谱分析方法51、频谱分析、频谱分析 不同类型信号的频谱特点不同类型信号的频谱特点周期信号周期信号谐波性谐波性 各频率成分的频率比为有理数各频率成分的频率比为有理数离散性离散性 在在0 0的整数倍处取值的整数倍处取值收敛性收敛性 随频率增加，谐波分量的幅值减小随频率增加，谐波分量的幅值减小-T -T/2 0 T/2 T t f(t

3、)1-10 0 30 50 70 90 A4/物理意义物理意义:各频率成分的幅值大小各频率成分的幅值大小61、频谱分析、频谱分析 不同类型信号的频谱特点不同类型信号的频谱特点非周期信号非周期信号TT的周期信号的周期信号,频率间隔频率间隔0,0,谱线无限靠近。谱线无限靠近。频谱为频谱为连续谱连续谱(一条连续的曲线一条连续的曲线)物理意义物理意义:各频率成分的幅值密度各频率成分的幅值密度71、频谱分析、频谱分析 不同类型信号的频谱特点不同类型信号的频谱特点随机信号随机信号频率、幅值、相位都是随机的，具有频率、幅值、相位都是随机的，具有统计特性统计特性不作幅值谱、相位谱分析不作幅值谱、相位谱分析,而

4、采用而采用功率谱密度功率谱密度来分来分析析物理意义物理意义:随机信号的平均功率沿频率轴的分布密度随机信号的平均功率沿频率轴的分布密度82、周期信号的傅立叶展开、周期信号的傅立叶展开 基本公式基本公式1000)sincos()(kkktkbtkaatf2/2/0)(1TTdttfTa2/2/0)cos()(2TTkdttktfTa2/2/0)sin()(2TTkdttktfTb0022fT基频频率：弧度/秒,3,2,1k 正整数001()cos()kkkftAAkt22kkkbaA)/arctan(kkkab幅值相位92、周期信号的傅立叶展开、周期信号的傅立叶展开 解题步骤解题步骤1.1.代入公

5、式，积分求解代入公式，积分求解2.2.信号表示为谐波分量之和信号表示为谐波分量之和3.3.绘制频谱图绘制频谱图)(tfkkbaa02/2/0)cos()(2TTkdttktfTa2/2/0)sin()(2TTkdttktfTb1000)sincos()(kkktkbtkaatf2/2/0)(1TTdttfTa102、周期信号的傅立叶展开、周期信号的傅立叶展开 解题技巧解题技巧偶函数或奇函数的傅立叶级数偶函数或奇函数的傅立叶级数)(x偶函数偶函数2022)(2)(TTTdxxdxx)(x奇函数奇函数0)(2/2dxxTT2/00)(2TdttfTa 偶函数，偶函数，偶函数，偶函数，奇函数奇函数

6、)cos()(0tktf)(tf)sin()(0tktf0ka2/00)sin()(4TkdttktfTb2/00)cos()(4TkdttktfTa0kb00a 奇函数，奇函数，奇函数，奇函数，偶函数偶函数 )cos()(0tktf)(tf)sin()(0tktf112、周期信号的傅立叶展开、周期信号的傅立叶展开 解题技巧解题技巧分部积分分部积分vduuvudvttttttdtttttdtttttdtdtttsin2cos2sinsin2sin2sinsinsincos22222ttttdtttttdtdttsincoscoscoscossinatatatatatatateateadtete

7、aetdaatdteadtte2111)(1)(1122、周期信号的傅立叶展开、周期信号的傅立叶展开 例题例题1-)()(2xttf2020322dtta偶函数偶函数2002cos4)cos(2kkdttktak0kb24kak24kakK K为偶数为偶数K K为奇数为奇数|Ak|)33cos22cos1cos(43)(2222ttttf0 0 20 30 40 50 A0相位相位:0:0132、周期信号的傅立叶展开、周期信号的傅立叶展开 例题例题2-TT)0()(TtttfTtdtTdttfTaTT211)(10000cos1sin2cos200000000TTTktkkttTktdtktT

8、akTkTTtdtktTtdktfTbTTtk)(2sin2sin)(2000000 0 20 30 40 50|ak|A0相位相位:-/2:-/2)3sin312sin21(sin21)(000tttTTtf45t143、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 dejFtfdtetfjFtjtj)(21)()()(基本公式基本公式)(Re)(Imarctan()()(Im)(Re)()()(22)(jFjFjFjFFeFjFj解题方法一解题方法一 利用公式积分求解利用公式积分求解 1.代入公式，积分求解代入公式，积分求解 2.绘制频谱图绘制频谱图)(tf)(jF15解题方法二解题方法

9、二 常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换+傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 3、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 原函数原函数f(t)傅立叶变换傅立叶变换F(j)常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换)(t1)(21t0cos)()(00t0sin)()(00jtje0)(202tA)2(aSA16解题方法二解题方法二 常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换+傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 3、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 主要性质主要性质傅立叶变换的公式表达傅立叶变换的公式表达叠加性质叠加性质时间尺度性质时间尺度性质时移性质时移性质频移性质频移性质卷

10、积性质卷积性质时域微分时域微分时域积分时域积分傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质)(1)(ajFaatf)()()()(22112211jFajFatfatfa0)()(0tjejFttf)()(00jFetftj)()(21)()()()()()(21212121jFjFtftfjFjFtftf)(1)(jFjdft)()()(jFjdttfdnnn17解题方法二解题方法二 常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换+傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 3、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 举例举例(常用信号傅立叶变换的记忆常用信号傅立叶变换的记忆)求求 的傅立叶变换的傅立叶变换tj

11、e0)(2100tje因为因为根据频移性质根据频移性质所以所以)(21)()(00jFetftj求求 的傅立叶变换的傅立叶变换t0sin)()()()()sin(002000jetj因为因为根据时移性质根据时移性质 所以所以)()(cos000t0)()(0tjejFttf)2cos()sin(00tt183、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 例题例题12/02/sin)(0TtTttAtf方法方法1直接积分直接积分2/2/02/2/0sinsin)()(TTtjTTtjtjdtteAdtteAdtetfjF 欧拉公式欧拉公式)(21costjtjeet)(21sintjtjee

12、jt2/2/2/2/0)(21sin)(00TTtjtjtjTTtjdteeejAdtteAjF f(t)A-T/2T/2193、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 例题例题1 )2/)()2/)(2)2/)()2/)sin(2/)()2/)sin(2)()(2)()(21)(21sin)(00000002/)(2/)(02/)(2/)(2/2/0)(0)(2/2/2/2/000000000TSTSTAjTTTTTAjeeeeAjejeAjdteeejAdtteAjFaaTjTjTjTjTTtjtjTTtjtjtjTTtj203、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 例题

13、例题1 方法方法2常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换+傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 f1(t)t f1(t)t f(t)t=)()()(001 jjF)2()(2TATSjFa)()(21)()()(2121jFjFtftftf卷积性质卷积性质 -T/2T/2-T/2T/2-T/2T/21213、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 例题例题1 方法方法2常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换+傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 )2/)()2/)(2)|)2/(|)2/(21)()()2/(21)()()2/(21)()(21)(0000002100TSTSTAjWTSW

14、TSATjdWWWWTSATjjTATSjFjFjFaaWaWaaa)()()(00tdtttt223、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 例题例题1 频谱图频谱图-0 0 *=实部为实部为0 0，相位，相位-/2-/2F(j)233、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 例题例题2elseTtAtf00)(方法方法1)1()1(|)(00TjTjTtjTtjejAejAejAdtAejF f(t)A T0)()(0tjejFttf)1()()2/()2/()(2/2/2/2/1TjTjTjTjTjaejAeeejAeTATSTtftf方法方法2时移性质)2/(2)(1T

15、ATSTtAtfa已知243、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 例题例题2elseTtAtf00)(f(t)A T-0 0|F(j)|()1()(TjejAjF25 3、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 例题例题3)(tf2TTt2TelseTtTtTTtttf02/2/0)()12(1)21()(1)()(1)(2/(2|)(|)()()(2/22/22222/2/2/22/2/022/2/0TjTjTjTjTjTjTjTjTTtjtjTTtjTtjtjTTtjTtjeeeejjejTejjejeTjejtejeTjejtet detTdttejF方法方法1263

16、、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 例题例题3 方法方法202/22/01)()()(TTdtTtfdttftf积分性质积分性质叠加性质叠加性质时移性质时移性质 elseTttf02/01)(1elsetTtf002/1)(2)(1)(jFjdft)()()()(22112211jFajFatfatfa0)()(0tjejFttf3、非周期信号的傅立叶变换、非周期信号的傅立叶变换 例题例题3 方法方法2)12(1)21(1)(1)1(1)(1)(1)(2/22/22/22/221TjTjTjTjTjTjTjTjeeeejeejejejFjjFjjF283、非周期信号的傅立叶变换、

17、非周期信号的傅立叶变换 例题例题4)(tfTtA2T)0(sin)(0ttAetfat方法方法1attjtjeeejAtf)(21)(00)(1)(12)(00jajajAjF方法方法2jaeat1)(1)(12)(00jajajAjF)()()sin(000 jt利用卷积性质：利用卷积性质：)()(21)()(2121jFjFtftf294、自相关函数与功率谱密度、自相关函数与功率谱密度 基本公式基本公式 dt)t(x)t(xT1lim)(RT0TxdeRSjxx)()(30求求 的自相关函数和功率谱密度的自相关函数和功率谱密度4、自相关函数与功率谱密度、自相关函数与功率谱密度 例题例题1 )sin()(0tAxf dttAtATdttftfTRTTTTf)(sin)sin(1lim)()(1lim)(0000积化和差公式积化和差公式)cos()cos(21sinsinBABABA020200002cos2cos1lim2)22cos()cos(2lim)(ATTAdttTARTTTf?)(S31参考书目参考书目n高等数学高等数学n信号与系统信号与系统32