完整高数(一)课件.ppt
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1、第一节 函数1ppt课件一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集无限集无限集,Ma,Ma.,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记作记作2ppt课件数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2,1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则
2、不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.)(记作记作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.3ppt课件2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxab4ppt课件bxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区
3、间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.5ppt课件3.3.邻域邻域:.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a).(0aU 记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径.)(axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a.0)(axxaU,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 6ppt课件4.4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常
4、用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法:常量与变量的表示方法:用字母用字母x,y,t等表示等表示变变量量.7ppt课件5.5.绝对值绝对值:00aaaaa)0(a运算性质运算性质:;baab ;baba.bababa )0(aax;axa )0(aax;axax 或或绝对值不等式绝对值不等式:8ppt课件因变量因变量自变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW 定定义义 设设x和和y是
5、是两两个个变变量量,D是是一一个个给给定定的的数数集集,数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 如如果果对对于于每每个个数数Dx,二、函数概念二、函数概念9ppt课件()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例如,例如,1,1:D211xy 例如,例如,)1,1(:D10ppt课件定义定义:.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC ox
6、y),(yxxyWD 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时,对应的函数值总时,对应的函数值总是只有一个,这种函是只有一个,这种函数叫做单值函数,否数叫做单值函数,否则叫与多值函数则叫与多值函数例如,例如,222ayx 11ppt课件 (1)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn12ppt课件(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x13ppt课件 是无理数时
7、是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数14ppt课件(4)取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg15ppt课件 0,10,12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.16ppt课件例例1 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写
8、出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.)0(tt解解UtoE),2(E)0,(2,2,0时时当当 ttEU2 ;2tE 单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压,2(时时当当 t),(200 tEU)(2 tEU即即17ppt课件,),(时时当当 t.0 U其表达式为其表达式为是一个分段函数是一个分段函数,)(tUU ),(,0,2(),(22,0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E)0,(2 18ppt课件例例2 2.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx
9、1,3:fD故故19ppt课件三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(,0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1函数的有界性函数的有界性:.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf20ppt课件2函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI21ppt课件)(xfy)(1xf)
10、(2xfxyoI;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf 恒有恒有22ppt课件3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)(xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf23ppt课件有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)(xf yx)(xfox
11、-x)(xfy 24ppt课件4函数的周期性函数的周期性:(通常说周期函数的周期是指其最小正(通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期).,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的.)()(恒成立恒成立且且xflxf 为周为周则称则称)(xf.)(,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl2l 2l23l 23l25ppt课件)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 四、反函数四、反函数2
12、6ppt课件五、小结基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,常量与变量常量与变量,绝对值绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数27ppt课件思考题思考题设设0 x,函函数数值值21)1(xxxf ,求求函函数数)0()(xxfy的的解解析析表表达达式式.28ppt课件思考题解答思考题解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf29ppt课件一一、填填空空题题:1 1、若若2251tttf ,则则_)(tf,_)1(2 tf.2 2、若若 3,sin3,1)(xxxt,
13、则则)6(=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _,)3(=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.3 3、不不等等式式15 x的的区区间间表表示示法法是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.4 4、设设2xy ,要要使使 ),0(Ux 时时,)2,0(Uy,须须 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.练练 习习 题题30ppt课件二、证明二、证明xylg 在在),0(上的单调性上的单调性.三、证明任一定义在区间三、证明任一定义在区间)0(),(aaa上的函数可表上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和示成一个奇函数与一个偶函数之和.四、设四、设)(xf是以是以 2 2 为周期的
14、函数,为周期的函数,且且 10,001,)(2xxxxf,试在试在),(上绘出上绘出)(xf的图形的图形.五、证明:两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的五、证明:两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的 乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.六、证明函数六、证明函数acxbaxy 的反函数是其本身的反函数是其本身.七七、求求xxxxeeeexf )(的的反反函函数数,并并指指出出其其定定义义域域.31ppt课件一、一、1 1、225tt ,222)1(2)1(5 tt;2 2、1,11,1;3 3、(4,6)(4,6);4.4.2,0(.七、七、
15、)1,1(,11ln xxy.练习题答案练习题答案32ppt课件33ppt课件一、基本初等函数1.幂函数幂函数)(是常数是常数 xyoxy)1,1(112xy xy xy1 xy 34ppt课件2.指数函数指数函数)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey 35ppt课件3.对数函数对数函数)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a)0,1(36ppt课件4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 37ppt课件xycos xycos 余弦函数余弦函数38ppt课件正切函数正切函数xytan xytan 39ppt课件xyc
16、ot 余切函数余切函数xycot 40ppt课件正割函数正割函数xysec xysec 41ppt课件xycsc 余割函数余割函数xycsc 42ppt课件5.反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数43ppt课件xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数44ppt课件xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数45ppt课件 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc46ppt课件二、复合函
17、数 初等函数1.复合函数复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义:设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域fD,而函数而函数)(xu 的值域为的值域为 Z,若若 ZDf,则称则称函数函数)(xfy 为为x的的复合函数复合函数.,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y47ppt课件注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu
18、.2xv 2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.48ppt课件例例1 1).(,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x,0 x或或,12)(xx;20 x,0 x或或,11)(2 xx;1 x49ppt课件,1)(20时时当当 x,0 x或或,12)(xx;2 x,0 x或或,11)(2 xx;01 x
19、综上所述综上所述.2,120011,2,)(2122 xxxxxexexfxx 50ppt课件三、双曲函数与反双曲函数2sinhxxeex 双曲正弦双曲正弦xycosh xysinh),(:D奇函数奇函数.2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦),(:D偶函数偶函数.1.双曲函数双曲函数xey21 xey 2151ppt课件xxxxeeeexxx coshsinhtanh双曲正切双曲正切奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,52ppt课件双曲函数常用公式双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;
20、1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 53ppt课件2.反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,),(:D.),(内单调增加内单调增加在在;sinh xy 反反双双曲曲正正弦弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy54ppt课件.),1内单调增加内单调增加在在),1:D y反反双双曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y55ppt课件.11ln21xx )1,1(:D奇函数奇函数,.)1,1(内单调增加内单调增加在在 y反反双双曲曲正正切切tanharxytanh arxt
21、anharx y56ppt课件四、小结函数的分类函数的分类:函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)57ppt课件思考题思考题下下列列函函数数能能否否复复合合为为函函数数)(xgfy ,若若能能,写写出出其其解解析析式式、定定义义域域、值值域域,)()1(uufy 2)(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)(xxgu58ppt课件思考题解答思考题解答2)()1(xxxgfy ,1
22、0|xxDx21,0)(Df)2(不能不能01sin)(xxg)(xg的值域与的值域与)(uf的定义域之交集是空集的定义域之交集是空集.59ppt课件._1反反三三角角函函数数统统称称对对数数函函数数,三三角角函函数数和和、幂幂函函数数,指指数数函函数数,._)(ln31)(2的定义域为的定义域为,则函数,则函数,的定义域为的定义域为、函数、函数xfxf一、填空题一、填空题:._32复复合合而而成成的的函函数数为为,、由由函函数数xueyu ._2lnsin4复合而成复合而成由由、函数、函数xy ._)0()()(_)0)(_)(sin_10)(52的定义域为的定义域为,的定义域为的定义域为,
23、的定义域为的定义域为,为为)的定义域)的定义域(,则,则,的定义域为的定义域为、若、若 aaxfaxfaaxfxfxfxf练练 习习 题题60ppt课件.sin的图形的图形”作函数”作函数二、应用图形的“叠加二、应用图形的“叠加xxy .)()()(111011)(,并作出它们的图形,并作出它们的图形,求求,三、设三、设xfgxgfexgxxxxfx .)()()(30.05020.0500220形形出图出图之间的函数关系,并作之间的函数关系,并作千克千克于行李重量于行李重量元元元,试建立行李收费元,试建立行李收费出部分每千克出部分每千克千克超千克超元,超出元,超出千克每千克收费千克每千克收费
24、千克以下不计费,千克以下不计费,定如下:定如下:四、火车站行李收费规四、火车站行李收费规xxf61ppt课件一、一、1 1、基本初等函数;、基本初等函数;2 2、,3ee;3 3、2xey ;4 4、xvvuuy2,ln,sin ;5 5、-1,1,-1,1,kk2,2,1,aa ,212101,aaaa.三、三、1,10,00,1)(xxxxgf;1,11,11,)(xexxexfg.练习题答案练习题答案62ppt课件四、四、50),50(3.0105020,2.0200 xxxxxy63ppt课件64ppt课件“割之弥细,所割之弥细,所失弥少,割之又失弥少,割之又割,以至于不可割,以至于不
25、可割,则与圆周合割,则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术:、割圆术:播放播放刘徽刘徽一、概念的引入65ppt课件R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS66ppt课件2 2、截丈问题:、截丈问题:“一尺之棰,日截其半,万世不竭一尺之棰,日截其半,万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 167ppt课件二、数列的定义定义定义:按自然数按自然
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