大学-数学专业-空间解析几何-第三章-轨迹与方程课件.ppt

1、高等院校本科数学课程脚本编写：教案制作：一、平面曲线与方程：（1）满足方程的）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；必是曲线上某一点的坐标；（2）曲线上任何一点的坐标）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程；满足这个方程；则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为方程的图形。方程的图形。曲线的方程常表示为：曲线的方程常表示为：F(x,y)=0 或或 y=f(x)yxoxy=2第一节第一节 平面曲线的方程平面曲线的方程定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：条曲线有着关系：例例

2、1、求平面上圆心在原点，半径为、求平面上圆心在原点，半径为2的圆的方程。的圆的方程。向量式方程向量式方程|OM|=2解：解：x2+y2=4xy M普通方程普通方程1、向量函数 当动点按某种规律运动时当动点按某种规律运动时,与它对应的向径也随着时间与它对应的向径也随着时间t t的不同而改变（模长与方向的改变），这样的向径称为的不同而改变（模长与方向的改变），这样的向径称为变变向量向量，记为，记为r。yxoxy=2如果变数如果变数t(at(a t t b)b)的每一个值对应于变矢的每一个值对应于变矢r的一个完全的一个完全的值（模长与方向）的值（模长与方向），则称，则称r是变数是变数t t的的向量函

3、数向量函数，记为，记为r=r(t)(t)(a(a t t b).b).2、向量函数的分量表示 设平面上取定的标架为设平面上取定的标架为O;O;e1 1,e2 2,则向量函数可则向量函数可表示为表示为r(t)=x(t)(t)=x(t)e1+y(t)+y(t)e2 (a(a t t b).b).（1 1）其中其中x(t),y(t)x(t),y(t)是是r(t)(t)的分量的分量,它们分别是变数它们分别是变数t t的函数的函数。yxOr(t)P(x(t),y(t)1e2e tx ty3、向量式参数方程 若取(atb)的一切可能值，由的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点

4、的向径，而这径矢可由t的某一值t0(at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的向量式参数方程，其中t为参数。表示的向径r(t)r(t)=x(t)(t)=x(t)e1+y(t)+y(t)e2 (a(a t t b).b).（1 1）yxOr(t)ABP(x(t),y(t)4、坐标式参数方程曲线的参数方程又常可以写成下列形式：)()()(btatyytxx称为曲线的坐标式参数方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t)一、定义:若空间中的曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:(1)S上任一点的坐标满足方程F(x,y,z)=0;(2)不在S上点的坐标都不满足方

5、程F(x,y,z)=0;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.F(x,y,z)=0 Sxyzo第二节第二节 空间曲面的方程空间曲面的方程2x+3y 4z19=0.在空间解析几何中在空间解析几何中,曲面被看成曲面被看成空间点的几何轨迹空间点的几何轨迹(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2 =R2 称此方程为球面的标准方程.特别:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2 =R2 例3、求三维空间中球心为M0(x0,y0,z0),半径为R的球面的方程.解：对于球面上任一点M(x,y,z),都有|M M0|2=R2.即 M

6、0 M RF(x,y,z)=0222yxaz 上半球面上半球面xyz解:原方程可改写为(x 1)2+(y+2)2+z2 =5故:原方程表示球心在M0(1,2,0),半径为 的球面.5例5:方程 x2+y2+z2 2x+4y=0表示怎样的曲面?xyozxoy面面0.z F(x,y,z)=0:zxyo例例6 6 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在),2,1(c，半径为，半径为c 1半径

7、随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知）已知曲面方程曲面方程，研究曲面形状，研究曲面形状（1 1）求曲面方程）求曲面方程二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程1 1、双参数向量函数、双参数向量函数在两个变数u,v的变动区域内定义的函数r=r(u,v)或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2)称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变向量r(u,v)的分量，它们都是变数u，v的函数。当u,v取遍变动区域

8、的一切值时，向径OM=r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)所画的轨迹一般为一张曲面。Mozxy S2 2、曲面的向量式参数方程、曲面的向量式参数方程 定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由(2)表示的径矢r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的向径，而这径矢可由u,v的值(aub,cvd)通过(2)完全决定，则称(2)式为曲面的向量式参数方程向量式参数方程，其中u,v为参数。3 3、曲面的坐标式参数方程、曲面的坐标式参数方程因为径矢r(u,v)的分量为x(u

9、,v),y(u,v)z(u,v),所以曲面的参数方程也常写成)3(),(),(),(vuzzvuyyvuxx表达式(3)称为曲面的坐标式参数方程坐标式参数方程。r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2)例5 求空间中球心在原点，半径为r的球面的参数方程。M rxyzPQ解：设M(x,y,z)是球面上任一点，M在xOy 坐标面上的射影为P，而P在x轴上的射影为Q，又设在坐标面上的有向角(i,OP)=,与Oz轴的交角MOZ=，则r=OM=OQ+QP+PM且 PM=(rcos)k所以r=(rsincos)i+(rsinsin )j+(rcos)k (4)此即为中心在原

10、点，半径为r的球面的向量式参数方程。QP=(|OP|sin)j=(rsinsin)jOQ=(|OP|cos)i=(rsincos)iOM 球心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为)5(cossinsincossinrzryrx (4),(5)中的,为参数，其取值范围分别是0与-。r=(rsincos)i+(rsinsin )j+(rcos)k (4)M rxyzPQ M xyzPQ)5(cossinsincossinrzryrx M rxyzPQ0与-。(0)()()22OMxOPPOM coscoscos sinsinxyz:三三组组坐坐标标面面是是半半平平面面常常数数球球面面半半径径的

11、的为为为为球球心心以以常常数数)(ROr xyz0 xyzORxyz0.),(圆圆锥锥面面角角为为半半顶顶轴轴是是对对称称轴轴顶顶点点在在常常数数 zO OO0例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。解：如图,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i,QP(Rsin)j,PM=uk所以 r=(Rcos)i+(Rsin)j+uk （6）此即为圆柱面的向量式参数方程。其坐标式参数方程为)7(sincosuzRyRx(6),(7)式中的，u为参数，其取值范围是-，-u+R水平面水平面常数常数 z圆柱面圆柱面常数常数 r半半平平面面常常数数 xyzxyzxyz柱

12、面坐标系的三组坐标面柱面坐标系的三组坐标面OOO 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程能同时满足两个方程.xozy1S2SC设空间曲线设空间曲线C为空间两曲面的交线，则空间曲线为空间两曲面的交线，则空间曲线C特点特点：2.1空间曲线的一般方程第二章第二章 轨迹与方程（空间曲线）轨迹与方程（空间曲线）的一般方程为的一般方程为 例例1 1 方程方程 表示什么样的曲线？表示什么样的曲线？211222zzyxxyzO例例1 1 方程方程 表示什么样的曲线？表示什么样的曲线？1

13、1yx解解交线如图交线如图:xozy11 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),(yxH称为曲线称为曲线C关于关于xOy的的投影柱面投影柱面.设空间曲线设空间曲线C的一般方程：的一般方程：三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影zyxCC(,)0:0H x yCz 称为曲线称为曲线C在在xOy面上的面上的投影曲线投影曲线.投影柱面与投影柱面与xOy面的交线：面的交线：如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面类似地：类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影可定义空间曲线在其他坐标面上的投影.0

14、0),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线:yoz面上的面上的投影曲线投影曲线:xoz 00),(zyxH空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xOy例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在xOy面上的投影为面上的投影为,04322 zyxxyzO所以在所以在xOz面上的投影为线段面上的投影为线段.;23|,021 xyz（3）同理在）同理在yOz面上的投影面上的投影也为线段也为线段.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z 2

15、11222zzyxxyzO )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程yxz0 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),(vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距,2 tax cos tay sin vtz xyzo作业 P1391.2.5.(2)(3)