复变函数复习题课件.ppt

1、12/4/20221考试安排考试安排考试时间考试时间:一一、2008 年年 11 月月 24 日日 晚上晚上考试地点考试地点:答疑时间答疑时间:二二、2008 年年 11 月月 21 日日 下午下午 晚上晚上 11 月月 22 日日 上午上午 下午下午 11 月月 23 日日 上午上午 下午下午答疑地点答疑地点:科技楼科技楼 805 计算数学教研室计算数学教研室12/4/20222主要内容主要内容一一、复数的几种表示及、复数的几种表示及运算，运算，区域，曲线；初等区域，曲线；初等复变函数。复变函数。二二、柯西、柯西-黎曼方程：黎曼方程：(1)判断可导与解析，求导数；判断可导与解析，求导数；七、

2、七、Fourier变换的概念，变换的概念，函数，函数，卷积。卷积。三三、柯西积分公式，柯西积分定理，高阶导数公式。柯西积分公式，柯西积分定理，高阶导数公式。四四、洛朗展式。洛朗展式。五五、留数：、留数：(1)计算闭路积分；计算闭路积分；六六、保形映射：、保形映射：(1)求象区域；求象区域；八、八、利用利用Laplace变换求解常微分方程变换求解常微分方程(组组)。(2)构造构造解析函数。解析函数。(2)计算定积分。计算定积分。(2)构造构造保形映射。保形映射。12/4/20223一、填空题。一、填空题。(1)的模为的模为，辐角主值为，辐角主值为32i31 .。.(2)的值为的值为的值为的值为)

3、1Ln(i43 e ，.。(3)伸缩率为伸缩率为处的旋转角为处的旋转角为映射映射w=z3-z在在z=i .。，.(4)在区域在区域D内解析的内解析的函数函数),(i),()(yxvyxuzf .。充要条件为充要条件为12/4/20224(7)41|213d)()(ezzzzz .。(5)在在 z0=1+i处展开成泰勒级数的处展开成泰勒级数的)34(1zz .。收敛半径为收敛半径为(6)z=0 是是(何种类型的奇点何种类型的奇点)。zezfz111)(.的的(8)，已知已知)2()2()()(21)(0000tttttttttf )(tf .。求求12/4/20225四四、计算下列各题：、计算下

4、列各题：2.2.211dezzzz 3.3.2sin1d0 4.4.xxxxd0 9)1)(cos22zzzzzdsinei2113 1.1.二二、验证验证),(yxuyxyxu)1(2),(z 平面上的调和函数，并求以平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使为实部的解析函数，使是是if )2(。三三、将函数将函数)2)(1(1)(zzzf在在1 z与与2 z洛朗级数。洛朗级数。处展开为处展开为12/4/20226五五、求区域求区域1Im0,0Re:D zzz在映射在映射zwi 下的像。下的像。八八、设函数、设函数)(zf在在Rz 上解析，证明：上解析，证明：)|(|),(d)()(i2|

5、222RzzfzRzfzRR 2)0(,1)0(,yytyy七七、用拉氏变换求解方程：、用拉氏变换求解方程：六六、求把下图阴影部分、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。映射到单位圆内部的保形映射。i-i3 33 3 12/4/20227二二、验证验证),(yxuyxyxu)1(2),(z 平面上的调和函数，并求以平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使为实部的解析函数，使是是if )2(。故故 u(x,y)为调和函数为调和函数,0 xxu,0 yyu,0 yyxxuu,2yxvyu xyvxu 22cyxxv 222 )(2xydyv)(2xy )(x ,2)(2cxxx )2i(

6、)1(2)(22cyxxyxzf 1,)(,0,2 cizfyx时时当当)12i()1(2)(22 yxxyxzf(1)解解:(2)方法一方法一12/4/20228二二、验证验证),(yxuyxyxu)1(2),(z 平面上的调和函数，并求以平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使为实部的解析函数，使是是if )2(。解解:故故 u(x,y)为调和函数为调和函数,0 xxu,0 yyu,0 yyxxuu,2yxvyu xyvxu 22cyxxv 222)2i()1(2)(22cyxxyxzf 1,)(,0,2 cizfyx时时当当)12i()1(2)(22 yxxyxzf(1)(2)方法二

7、方法二ydydxxdv2)22()2(22yxxd 12/4/20229三三、将函数将函数)2)(1(1)(zzzf在在1 z与与2 z洛朗级数。洛朗级数。处展开为处展开为解解:(1)在在 z=1 处处,1|1|0时时当当 z)1(1)(1(1)(zzzf 0)1()1(1nnzz 01)1(nnz,1|1|时时当当 z)1(1)(1(1)(zzzf1111)1(12 zz 02)11()1(1nnzz 02)11(nnz1212/4/202210三三、将函数将函数)2)(1(1)(zzzf在在1 z与与2 z洛朗级数。洛朗级数。处展开为处展开为解解:(2)在在 z=2 处处,1|2|0时时当

8、当 z 01)2()1()(nnnzzf,1|2|时时当当 z 02)21()1()(nnnzzf1212/4/202211四四、zzzzzdsinei2113 1.1.解解:方法一方法一:利用留数求解利用留数求解 z=0 为二级极点为二级极点,)sin(lim221320 zzeziizz原式原式1 0)sin(!21 zzze原原式式方法二方法二:利用高阶导数公式求解利用高阶导数公式求解1 12/4/202212四四、2.2.211dezzzz解解:z=1 为本性奇点为本性奇点,)1(!31)1(!21111)(1)1(3211 zzzzzez 11)121(z232 i 原原式式i3 1

9、2/4/202213四四、3.3.2sin1d0解解:原式原式)1(21122)3(zzii 原式原式 cos2d(203)2cosd03 1|2213zizzzdz 1|2162zzzdzi,223)2(1 z有有两两个个一一级级极极点点)(,2232舍舍去去 z cos2-11d022 12/4/202214四四、4.4.xxxxd0 9)1)(cos22解解:)4816(2Re2131ieiei 原原式式9)1)(22 zzezfiz)(令令izizzzezzfs 9)1)(22),(Re1,3,)(21izizzf 极极点点在在上上半半平平面面有有两两个个一一级级ie161 iezzf

10、s48),(Re32 48)3(31 ee12/4/202215五五、求区域求区域1Im0,0Re:D zzz在映射在映射zwi 下的像。下的像。解解:010i 0212ii 1)1(1021iii(z)(w)010ii/21+i(1+i)/2i2112/4/202216六六、求把下图阴影部分、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。映射到单位圆内部的保形映射。i-i3 33 3(z)(w)(z2)(z1)312zz ii22 zzwi33i3333 zzzzw3z3zz 112/4/202217,(0)1,(0)2yytyy 七七、用拉氏变换求解方程：、用拉氏变换求解方程：(1)对方程两

11、边取拉氏变换得：对方程两边取拉氏变换得：221)()0()0()(ssYysysYs 221)(2)(ssYssYs )1(112)(222 sssssY解：解：)1(122223 ssss12/4/202218)1(112)(222 sssssY111121)(2222 ssssssY(2)求拉氏逆变换求拉氏逆变换ttttysin3cos)(方法一：方法一：利用部分分式求解利用部分分式求解12/4/202219)1(112)(222 sssssY(2)求拉氏逆变换求拉氏逆变换)1(122223 ssss方法二：方法二：利用留数求解利用留数求解一阶极点一阶极点,3,2is 二阶极点，二阶极点，

12、,01 s0,)(RessY 222322)1()e)12(e)43)(1(ssstsssstststet 02223)1(e)12(2 sstssss )1(e)12(ddlim2230sssssts12/4/202220ttttysin3cos)(isstissssisY )(e)12(,)(Res223;e2321iti ittyitititit2ee32ee)(;0,)(RestsY stesteisstissssisY )(e)12(,)(Res223,e2321iti ste12/4/202221)(zf八八、设函数、设函数在在Rz 上解析，证明：上解析，证明：)|(|),(d)(

13、)(i2|222RzzfzRzfzRR 证明：证明：zRz221,(1)奇点奇点由于由于外外在在故故RRz|,|2(2)左边左边=d)()(1i2|222 zRfzzRRzzRfzR 222)(i2i2|)(zf 12/4/202222(7)0;310(8)2coscos00tt)2222(3ie ,)12(Zkik 一一、(1)1,;(2)(5);(4)u,v 在在D内可微，且满足内可微，且满足CR方程方程(3),4;(6)可去奇点可去奇点12/4/202223(1)(1)预处理：使边界至多由两段圆弧预处理：使边界至多由两段圆弧(或直线段或直线段)构成。构成。一般步骤：一般步骤：(2)(2)

14、将边界的一个交点将边界的一个交点z1 1映射为映射为，(3)(3)将角形域或者带形域映射为上半平面。将角形域或者带形域映射为上半平面。(4)(4)将上半平面映射为单位圆。将上半平面映射为单位圆。工具：工具：几种简单的分式映射、幂函数等。几种简单的分式映射、幂函数等。另一个另一个(交交)点点z2 2映射为映射为0 0 从而将区域映射为角形域或者带形域。从而将区域映射为角形域或者带形域。工具：工具：21zzwkzz 工具：工具：,nwz,nwz e,zw (对于角形域对于角形域)(对于带形域对于带形域)工具：工具：,ziwzi (无附加条件无附加条件)(由附加条件确定由附加条件确定 0 0,z0 0)000e,izzwzz 12/4/202224 先通过先通过Laplace变换将微分方程变换将微分方程(组组)化为象函数的代数化为象函数的代数方程方程(组组)，由代数方程求出象函数，再取，由代数方程求出象函数，再取Laplace逆变换，逆变换，就得到微分方程就得到微分方程(组组)的解的解 =)()(tfn)0()0()0()()1(21nnnnffsfssFs工具：工具：方法：方法：象函数的象函数的代数方程代数方程(组组)求解求解拉氏拉氏逆变换逆变换拉氏正拉氏正变换变换得到象函数得到象函数微分方程微分方程(组组)的解的解微分方程微分方程(组组)