哈工大研究生课程-高等结构动力学-第二章课件1.ppt

1、 弹簧的等效质量弹簧的等效质量 在图在图示中，设弹簧中，设弹簧 具有质量，其单位长度的质量具有质量，其单位长度的质量为为 ，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下面就来讨论这个问题。面就来讨论这个问题。k图示图示 弹簧等效质量系统示意图弹簧等效质量系统示意图 设质量设质量 的位移用的位移用 表示，弹簧的长度为表示，弹簧的长度为 ，那么距，那么距左端为左端为 的质量为的质量为 的微单元的位移则可假设为的微单元的位移则可假设为 ，设，设 为常数。为常数。txLd txL/m )()3(213)(21)(2121212023222202txLmLtxt

2、xmdtxLtxmTLL)(212tkxV 根据根据Lagrange方程方程LTVLagrange函数则系统的动能和势能可分别表示为则系统的动能和势能可分别表示为0(1,2)kkdLLkndtqq 可得可得0)()(tkxtxmeff 此处此处 称为称为等效质量等效质量。3Lmmeff可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到3Lmkn 上式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的上式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的等效质量，当然，前提是假设弹簧按等效质量，当然，前提是假设弹簧按 规律变形规律变形的。如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不的

3、。如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不同。同。)(/txL2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动tFxkxcxmsin0 tmFxxxnnsin202 简谐激励:激励力函数表示成三角函数的形式tFtFsin)(0(1)1.1.运动方程的解运动方程的解设设)()()(21txtxtx)cossin()(211tctcetxddtn)sin()(2tXtx2222204)1(1nmFX(2)将(2)式代入(1)式tmFtXtXtXnnsin)sin()cos(2)sin(022n)1(2arctan212()(sincos)sin()ntddx

4、 tectctXt00)0()0(xxxx1122()sin()sin()sin()nntdtdx tAetA etXt200201)(dnxxxA0001tanxxxnd衰减振动的响应:1xkFxst022221(1)4stXx 设静变形动力放大系数 ：表示振幅相对于静变形的放大倍数。稳态响应:2x222222222202)2()-()(2)2(nnnndndnmFA)-(22tan22222nnnd初位移、初速度引初位移、初速度引起的自由振动分量起的自由振动分量动荷载激起的按结构自动荷载激起的按结构自振频率振动的分量振频率振动的分量,称为称为伴随自由振动伴随自由振动纯受迫振动纯受迫振动12

5、()(sincos)sin()ntddx tectctXt00)0()0(xxxx1122()sin()sin()sin()nnttddx tAetA etXt200201)(dnxxxA0001tanxxxnd2.2.有阻尼受迫振动的特点有阻尼受迫振动的特点(1)(1)稳态受迫振动的频率等于激振频率稳态受迫振动的频率等于激振频率(2)(2)稳态受迫振动的振幅稳态受迫振动的振幅X X与初始条件无关与初始条件无关,且不随时间变化且不随时间变化(3)(3)幅频响应特性曲线幅频响应特性曲线:根据根据 之间之间 的关系式可画出它们之间的关系式可画出它们之间的关系曲线的关系曲线,称为幅频响应特性曲线称为

6、幅频响应特性曲线.(4)(4)当当stXx共振，若时1-1102011101(5)激励力可作静载荷处理0 随随 增大而减小增大而减小阻尼在共振区内影响显著阻尼在共振区内影响显著,在共振区外可不计阻尼在共振区外可不计阻尼.11/2附近，的最大值并不发生在的最大值并不发生在1位移滞后于荷载位移滞后于荷载(6)由值点可得动力放大系数的极0dd2max212121时，(7).有阻尼受迫振动时动位移和激振力的相位不同)1(2arctan2)(1sin)(220tFmtmFtxnn当时，无论阻尼比为何值，位移相应滞后的相位差总是等于 即 这是共振的另一个重要的特征相位共振法可测定系统的固有角频率22对于无

7、阻尼的情况：02.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动1(0)z=0.0001,0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,0.9,0.99,w=2,x0=1,v0=0,tf=100 激振频率=0.5,F0=10SDT1_3(0.0001,0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,0.9,0.99,2,0.5,10,100)2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动例题：书上习题2-3101112f()(cosisini)2iiifatatbtT002f()dfTfaT102f()cosidfTifaT 102f()s

8、inidfTifbT ()()ff tf tT 011sin()nnnf tccnt.),3,2,1(2200nabarctgbacacnnnnnn也可写成也可写成其中其中1-22222i(1-)4iiini iistaak0cos(i)sin(i)2iiististiiaxatbtkiistbbk22arctan(1)i 谐波分析法谐波分析法：将周期激励力展成傅里叶级数的分析方法称为谐波分析法。频谱图：以各阶频率为横坐标，做出 离散图形称作频谱图。ii和 的频谱分析法：根据频谱图分析周期激励力的响应状况称作频谱分析法。可见，一个周期振动过程可视为频率顺次为可见，一个周期振动过程可视为频率顺次

9、为基频基频1 及其整数及其整数倍的若干或无数倍的若干或无数简谐振动分量简谐振动分量的的合成振动过程合成振动过程。这些分量依据这些分量依据n=1，2，3,分别称为分别称为基频分量基频分量、二倍频分二倍频分量量、三倍频分量三倍频分量等。基频分量有时称为等。基频分量有时称为基波基波，n倍频分量则称倍频分量则称为为n次谐波次谐波。周期函数的的周期函数的的频谱频谱总是由若干沿总是由若干沿f轴轴离散分布的普线离散分布的普线组成，普组成，普线长度分别代表频率分量的幅值和初相位。线长度分别代表频率分量的幅值和初相位。以以f（或（或 ）为横坐标，）为横坐标，cn和和n为纵坐标，得到的为纵坐标，得到的cnf 和和

10、 n f 图分别称为幅值谱和相位谱，统称为傅里叶频谱。图分别称为幅值谱和相位谱，统称为傅里叶频谱。n例例-1有一振动波形，经傅里叶分解后，其表达式为n该波形只有两个简谐分量，它的频谱图见图(b)、(c)。00sin()sin222axatt我们在图(a)中同时给出了该振动量随时间变化的曲线。图(a)称为振动的时间历程曲线，为时域曲线；图(b)及图(c)则为同一振动量的频域表达法。例-2已知 一周期性矩形波如图所示,作用在单自由度系统上,刚度为k,(1)试对其作谐波分析(2)求稳态响应16n0.12TTF(t)F0-F0t000()2FtF tFt 200021F(t)dt()0fTfaF t

11、dtT02F(t)cosidt=0fTifatT2000002022F(t)sinidsin()22sin()(1 cos)4(1,3,5,7)fTTifTTbt tFi t dtTTFFi t dtiTiFii01,3,5,74()(sin)iFF ti tiTF0-F00044()sin(0.033)0.44sin(30.129)FFx tttkk 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 图图2.6-1 2.6-1 单盘转子示意图单盘转子示意图 图图2.6-2 2.6-2 圆盘的瞬时位置及力圆盘的瞬时位置及力 设有一转子如图设有一转子如图2.6-12.6-1所示，其中所示，其中Oxy

12、z是固定坐标系，无质是固定坐标系，无质量的弹性轴的弯曲刚度为量的弹性轴的弯曲刚度为EJ，在跨中安装有质量为，在跨中安装有质量为m的刚性薄盘。的刚性薄盘。由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为e e 。当转子以等角速度当转子以等角速度自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，产生动挠度，并随之带动圆盘公转。产生动挠度，并随之带动圆盘公转。kyFkxFyx由材料力学可知，对于图由材料力学可知，对于图2.6-32.6-3所示的模型所示的模型348lEJk 图图2.6-32.6-3 转子系统临界转速的概

13、念转子系统临界转速的概念（2-1）（2-2）设圆盘在瞬时设圆盘在瞬时t 的状态如图的状态如图2.6-2所示，这时弹性轴因有动挠度所示，这时弹性轴因有动挠度 而对圆盘的作用力为而对圆盘的作用力为 ，它在坐标轴上的投影分别为，它在坐标轴上的投影分别为 rFycRxcRyx根据质心运动定理，可得根据质心运动定理，可得yycxxcFRymFRxm 由图由图2.6-42.6-4的几何关系知的几何关系知 teyytexxccsincos 对上式求两次导数，可得对上式求两次导数，可得 teyytexxccsincos22 设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，

14、它的两个分量为 图图2.6-42.6-4 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念（2-3）（2-4）（2-5）（2-6）把（把（2-62-6）代入（）代入（2-42-4），得到转子模型的运动微分方程），得到转子模型的运动微分方程 tmekyycymtmekxxcxmsincos22 可改写为可改写为 teyyytexxxnnnnsin2cos22222 式中式中 348mlEJmknkmc2（2-82-8）把（把（2-82-8）式与有阻尼单自由度系统的受迫振动运动方程作一比较，）式与有阻尼单自由度系统的受迫振动运动方程作一比较，显然两者在数学形式上是完全相同的。显然两者在数学形式上是完全

15、相同的。转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念（2-7）tYytXxsin)cos(把（把（2-92-9）代入（）代入（2-82-8）中，得到）中，得到 22122222222222tan22nnnnnneYeX由此可见，由此可见，O点绕固定坐标系的点绕固定坐标系的Oz 轴在作圆周运动。轴在作圆周运动。因此引用其求稳态解的方法，设因此引用其求稳态解的方法，设 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念（2-9）（2-10）cossinxrtyrt 可见圆周运动的半径就是轴的动挠度可见圆周运动的半径就是轴的动挠度r ，角速度等，角速度等于轴的自转角速度于轴的自转角速度 ，因为有阻尼，动挠

16、度与偏心，因为有阻尼，动挠度与偏心之间存在相位差之间存在相位差 。即有。即有 tternn222222（2-122-12）对照几何关系对照几何关系 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念（2-11）根据（根据（2-102-10）式可绘出在不同）式可绘出在不同 值时，值时，r和和 随随值变化的曲线值变化的曲线，分别如图，分别如图2.6-52.6-5与图与图2.6-62.6-6所示。所示。图图2.6-52.6-5 转子动挠度的幅值转子动挠度的幅值-转速曲线转速曲线(左左)图图2.6-62.6-6 转子动挠度的相位转子动挠度的相位-转速曲线转速曲线(右右)转子系统临界转速的概念转子系统临界转速

17、的概念 由于由于的存在，在一般情况下，的存在，在一般情况下，O、O和和 C三点并不在一条直线上，而总是成三点并不在一条直线上，而总是成一个三角形一个三角形 OOC，而且，而且OOC 的的形状在转子以等角速度形状在转子以等角速度 旋转过程中保旋转过程中保持不变。持不变。当当n时，时，这三点又近似在一直线上，但点，这三点又近似在一直线上，但点C 位位于于 O和和 O之间，即所谓圆盘的轻边飞出，这种现象称为之间，即所谓圆盘的轻边飞出，这种现象称为自自动定心动定心，也叫，也叫偏心转向偏心转向。只有当只有当 n时，时，0，这三点才近似在一直线上，这三点才近似在一直线上，O 点位于点位于 O和和 C之间，

18、即所谓圆盘的重边飞出。之间，即所谓圆盘的重边飞出。转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 根据国际标准，临界转速定义为：系统共振时发生主响应的特根据国际标准，临界转速定义为：系统共振时发生主响应的特征转速，在这里就是使动挠度征转速，在这里就是使动挠度 取得极值的转速，取得极值的转速，r于是可利用条件于是可利用条件0ddr（2-132-13）来确定临界转速，并以来确定临界转速，并以Cr 表示。由表示。由（2-122-12）式得式得022222322222222nnnnneddr由此解得由此解得 2211ncr（2-142-14）转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 可见外阻尼总使得

19、转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图在图2.6-72.6-7中也可以看出，各曲线的峰值都偏在中也可以看出，各曲线的峰值都偏在=n 线的右线的右边，这一点应特别注意。边，这一点应特别注意。图图2.6-72.6-7 转子动挠度的幅值转子动挠度的幅值-转速曲线转速曲线 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 实际转子系统总存在一定阻尼，动挠度不会无限大，但比实际转子系统总存在一定阻尼，动挠度不会无限大，但比一般转速下的动挠度大得多，足以造成转子破坏，因此，一般转速下的动挠度大得多，足以造成转子破坏，因此，工程上要严格避免转子在临界转速

20、附近工作。可见，正确工程上要严格避免转子在临界转速附近工作。可见，正确的临界转速分析计算，在转子设计和处理实际问题中都很的临界转速分析计算，在转子设计和处理实际问题中都很重要。重要。对于小阻尼对于小阻尼情况情况 :ncr（2-152-15）对于无阻尼的理想情况，即对于无阻尼的理想情况，即=0 ，在临界转速时，动挠度，在临界转速时，动挠度r 将达到无限大。而相位角在临界转速之前为零，之后为将达到无限大。而相位角在临界转速之前为零，之后为，即在临界转速前后有相位突变，即在临界转速前后有相位突变，O、O和和 C三点始终在一三点始终在一条直线上。条直线上。转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 为了形象地表示自动定心（偏心转向）及在临界转速时的相位为了形象地表示自动定心（偏心转向）及在临界转速时的相位差差 ，把，把 O、O及及 C三点在不同转速时的相对位置表示在图三点在不同转速时的相对位置表示在图2.6-8上。上。2 图图2.6-8 2.6-8 在不同转速时的偏心位置在不同转速时的偏心位置 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 作业：2-33、2-41、2-48