同济六版高等数学第六章第二节课件.ppt
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- 同济 高等数学 第六 第二 课件
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1、一、平面图形的面积 二、体积 6.2 定积分在几何学上的应用三、平面曲线的弧长 上页下页铃结束返回首页 f上(x)f下(x)dx,它也就是面积元素.一、平面图形的面积 设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成.因此平面图形的面积为 在点x处面积增量的近似值为 1.直角坐标情形 dxxfxfSba)()(下上.下页讨论:由左右两条曲线xj左(y)与xj右(y)及上下两条直线yd与yc所围成的平面图形的面积如何表示为定积分?提示:面积为 面积元素为j右(y)j左(y)dy,dcdyyyS)()(左右jj.下页dxxfxfSba)()(下上.dcdyyyS)(
2、)(左右jj.(3)确定上下曲线 例1 计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积.解 (2)确定在x轴上的投影区间 (4)计算积分 0,1;dxxfxfSba)()(下上.dcdyyyS)()(左右jj.(1)画图;(3)确定上下曲线 2)(,)(xxfxxf下上.102)(dxxxS 31313210323xx.下页 例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积.(2)确定在y轴上的投影区间 (4)计算积分 (3)确定左右曲线2,4.dxxfxfSba)()(下上.dcdyyyS)()(左右jj.解 (1)画图;4)(,21)(2yyyy右左jj.422)214(dyyyS 18
3、614214232yyy.下页例 3 求椭圆12222byax所围成的图形的面积.例3 因为椭圆的参数方程为 xacost,ybsint,所以 解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍.aydxS04.于是 aydxS0402)cos(sin4tatdb ydx,椭圆在第一象限部分的面积元素为 022sin4tdtab20)2cos1(2dttababab22.aydxS0402)cos(sin4tatdb 022sin4tdtab20)2cos1(2dttab 下页曲边扇形曲边扇形的面积元素 曲边扇形是由曲线j()及射线,所围成的图形.曲边扇形的面积 2.极坐标情形 jddS2)(21.jd
4、S2)(21.下页 例4 计算阿基米德螺线a(a0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解 解 202)(21daS322032343121aa202)(21daS322032343121aa202)(21daS322032343121aa.例5 计算心形线a(1cos)(a0)所围成的图形的面积.解 解 02cos1(212daS 02)2cos21cos221(da 202232sin41sin223aa.首页曲边扇形的面积:jdS2)(21),(j.二、体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.下页1.旋转体的体积 旋转体都可
5、以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.下页二、体积1.旋转体的体积 旋转体的体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,用圆柱体的体积f(x)2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积 于是体积元素为 dVf(x)2dx.dxxfVba2)(.例6 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线xh及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.旋转体的体积:解 下页dxxfVba2)(.解 直角三角形斜边的直线方程为xhry.dxxhrVh20)(hxhr032231231hrhxh
6、r032231231hr.aaaadxxaabdxyV)(22222 解 解 旋转椭球体可以看作是由半个椭圆22xaaby及 x 轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.旋转椭球体的体积为 下页旋转体的体积:dxxfVba2)(.例7 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.12222byaxaaxxaab313222234abaaaadxxaabdxyV)(22222 aaxxaab313222234ab.例8 计算由摆线xa(tsint),ya(1cost)的一拱,直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 下
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