分析力学-8-拉格朗日方程-能量积分课件.ppt

1、例例1：如图，质量分别为：如图，质量分别为m1、m2、m3的三个物块分别用不的三个物块分别用不可伸长的轻绳相连。求体系的运动方程。可伸长的轻绳相连。求体系的运动方程。m3m2m11x2x11lxr2211()lrxlxr 解：解：4个运动物体作直线个运动物体作直线运动，需要运动，需要4个坐标确定个坐标确定其位置。但有两个约束条其位置。但有两个约束条件，仅有两个是独立的，件，仅有两个是独立的，选两个广义坐标。选两个广义坐标。2211,xqxqm3m2m11x2x11lxr2211()lrxlxr 速度速度加速度加速度m1m2m31x 1x 2x 2x 122xx122xx2221 1223121

2、11(2)222Tm xm xmxx112231212(232)Vm gxm gxm gllrxx m3m2m11x2x11lxr2211()lrxlxr 2221 122312111(2)222Tm xm xmxx112231212(232)Vm gxm gxm gllrxx 2221 122312111(2)222Tm xm xmxxLTV1 131213112(2),2LLm xmxxm gm gxx1 1312132(2)2m xmxxm gm g解:1.体系的自由度几个?2个2.广义坐标选什么?r和3.动能和势能如何表达?4.如何求解拉氏方程?222211,cos22Tm rrVk

3、rlmgr222211cos22Lm rrk rlmgr22cos02sin0dLLmrmrk rlmgrdtrrdLLrrrgrdt在平衡位置在平衡位置00,0mgrll 令令0rrr 2200sinkrrrrmrgr 当振幅不太大时，当振幅不太大时，略去高价小量，取略去高价小量，取sin000krrmrg120coscoskrAtmgBtr 12coscosmgkrlAtkmkgBtmgkl knckkQqLqLdtd)(0)(kkqLqLdtd四、完整具势组的拉氏方程的第一积分四、完整具势组的拉氏方程的第一积分0qLCPqL说明：同一力学体系存不存在循环坐标与广义坐标说明：同一力学体系存

4、不存在循环坐标与广义坐标的选取有关的选取有关。2、齐次函数的定义和欧拉齐次定理、齐次函数的定义和欧拉齐次定理定义定义：如果函数：如果函数),(zyxfu 的自变量都增加的自变量都增加为原来为原来的的倍，函数倍，函数 u 变为原来的变为原来的 n 倍，则称倍，则称函数函数u为为n次齐函数。次齐函数。如如 22cybxyaxu就是二次齐函数。就是二次齐函数。欧拉齐次定理欧拉齐次定理：函数函数),(zyxfu是是 n 次齐函数的次齐函数的 充要条件为：充要条件为：nfzfzyfyxfx3雅可比积分雅可比积分(广义能量积分）广义能量积分）一般情况下：一般情况下：),(tqqLVTL1()skkkkkd

5、LLLLqqdtqqt1()skkkkkdLLLLqqdttqq又因为对完整具势组有：又因为对完整具势组有：0)(kkqLqLdtd0)(kkqLqLdtd两边同乘以两边同乘以kq 并累加：并累加：0KkkkkqqLqLdtdq）（KKKKKKKkKKKKKKKdLLLqqqdtqqqdLLLqqqdtqqq（）（）（）（）KKKKKdLLLLqqdttqq（）0kKKKKKKKdLLLqqqdtqqq（）（）KKKKKdLLLLqqdttqq（）0）（tLdtdLqqLdtdKKKKKKtLLqqLdtd）（:0LIft，即：即：L 中不显含时间中不显含时间t时时,KKKLqLConst.q

6、KKKLqLConst.q0LtKKKTqLConst.q物理意义：物理意义：依据体系均受稳定约束与否，分为：依据体系均受稳定约束与否，分为：u广义能量积分广义能量积分u物理能量积分物理能量积分u 物理能量积分：物理能量积分：当完整具势组满足以下条件时：当完整具势组满足以下条件时：012000iLtrTTTTt 约束均为定常，即：，KKKLqLTVEConst.q对于一个具有时间平移对称性的定常约束体系，对于一个具有时间平移对称性的定常约束体系，总能量守恒。总能量守恒。112ssTLqqTqq由于稳定约束，由于稳定约束，T仅是广义速度的二次齐次函数，由欧拉齐次函数仅是广义速度的二次齐次函数，由

7、欧拉齐次函数定理得：定理得：u 如果是非稳定约束，如果是非稳定约束，T是广义速度的二次非齐次函数，是广义速度的二次非齐次函数，即：即：T=T2+T1+T00212111ssTTTTqqqqTTqqqq（）=2代入：代入：20TTVC称为广义能量积分称为广义能量积分KKKLqLConst.q210LTVTTTV（）20TTVConst.212102TTTTTV（）总结：总结：u当受完整约束保守当受完整约束保守力学力学体系满足以下条件时：体系满足以下条件时：012000iLtrTTTTt 约束均为定常稳定约束，即：，TVE这就是力学体系的能量积分这就是力学体系的能量积分u 如果是非稳定约束如果是非

8、稳定约束:20TTVC称为广义能量积分称为广义能量积分3.质点质点P在力在力 的作用下，相对于以恒定的作用下，相对于以恒定角速度角速度 绕竖直轴转动的坐标系绕竖直轴转动的坐标系 运运动着，用分析力学的方法写出质点相对于动着，用分析力学的方法写出质点相对于 坐标系坐标系 的动力学方程。的动力学方程。FxyzO xyzO 自由度是自由度是3解：zqyqxq 321,根据转动参照系速度关系可以写出根据转动参照系速度关系可以写出)()(kzj yi xkkzj yi xrvv 得出质点的绝对速度在三个动坐标轴上的分量得出质点的绝对速度在三个动坐标轴上的分量 zvxyvyxvzyx 因而质点相对于静止坐

9、标系的动能是因而质点相对于静止坐标系的动能是)()()(2222222121yxmxyyxmzyxmT 代入基本形式的拉格朗日方程得：代入基本形式的拉格朗日方程得：xFxyxm )(22 yFyxym )(22 zFzm 质点在非惯性系中运动方程为：质点在非惯性系中运动方程为：xFxmymxm 22 yFymxmym 22 zFzm 例例.p.273.p.273 题题5.6 5.6 求小圆环求小圆环m m在大圆圈切向的运动在大圆圈切向的运动 微分方程。微分方程。q）（t,q,qTT)(2221yxmT )sin(sin)cos(coswtawtaywtawtax )cos()(cos)sin()(sinwtwawtawywtwawtawx )cos(cos)()sin(sin)()()(wtwtwwwtwtwwwwmayxmT 22212122222cos)()(wwwwmaT 22122208000 QQwQ.,?0 TTdtdcos)(cos)(wwmawwmaT 222221 sin)(wwmaT 2022 sin)()sin(wwmawma 0222 sinwmama 02 sinw