偏微分方程分类与标准型课件.ppt
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- 关 键 词:
- 微分方程 分类 标准型 课件
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1、第第2 2章章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型二阶线性偏微分方程的分类与标准型 2.1 2.1 常微分方程的解常微分方程的解(复习复习)2.2 2.2 二阶线性偏微分方程分类二阶线性偏微分方程分类 2.3 2.3 二阶线性偏微分方程简化二阶线性偏微分方程简化 2.4 2.4 三类方程的简化形式三类方程的简化形式1PPT课件2.1 2.1 常微分方程的解常微分方程的解(复习复习)一一.二阶常系数线性方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式12121212(),()(,)()()(),()(),().y xyxa bky xkyxy xyxy xyx 定定义义:设设为为定定义义在在内内的的两两
2、个个函函数数,如如果果存存在在非非零零常常数数,使使得得,则则称称线线性性相相关关,否否则则称称线线性性无无关关12(),()0y xyxypyqy定定理理 设设是是方方程程的的两两个个线线 性性无无关关的的解解,则则12,.CC是是方方程程的的通通解解,其其中中为为任任意意常常数数2PPT课件二二.二阶常系数线性齐次微分方程的解二阶常系数线性齐次微分方程的解特征根:特征根:(1)(1)有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为齐次方程:齐次方程:特征方程:特征方程:3PPT课件齐次方程的通解为:齐次方程的通解为:特解为:特解为
3、:(3)(3)有一对共轭复根时有一对共轭复根时齐次方程的通解为齐次方程的通解为特征根为:特征根为:特解为:特解为:(2)(2)有两个相等的实根时有两个相等的实根时4PPT课件小结:二阶常系数线性齐次微分方程解小结:二阶常系数线性齐次微分方程解02 qprr,2422,1qppr 特征根:特征根:齐次方程:齐次方程:特征方程:特征方程:利用了欧拉公式利用了欧拉公式5PPT课件例例:求下列方程的通解求下列方程的通解1430()yyy (2)2 220yyy (3)230yyy 解解 (1)(1)特征方程为特征方程为0342 rr所以方程的通解为所以方程的通解为 为任意常数为任意常数21231 C,
4、CeCeCyxx 1,321rr解得解得6PPT课件 为任意常数为任意常数21221 C,CexCCyx 所以方程的通解为所以方程的通解为221 rr解得解得(2)(2)特征方程为特征方程为02222rr所以方程的通解为所以方程的通解为 (3)(3)特征方程为特征方程为0322 rr解得解得ir212,1 为任意常数为任意常数2121,2sin2cosCCxCxCeyx 7PPT课件解解 特征方程为特征方程为0542 即即0)5)(1(特征方程有两个不相等的实数根特征方程有两个不相等的实数根5,121 512xxyC eC e 所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为对上式求导对上式求导,得得
5、5125xxyC eC e 例例:求求 满足初始条件满足初始条件 450yyy 的特解的特解.(0)1y(0)2y 将将 、代入以上二式代入以上二式,得得1)0(y2)0(y8PPT课件1212125CCCC 解此方程组,得解此方程组,得1211,22CC所以所求特解为所以所求特解为51122xxyee 9PPT课件)(xfqyypy (2)(2)对应齐次方程为:对应齐次方程为:,0 qyypy(3)(3)通解结构通解结构:*()()(),y xY xyx 三三.二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程*()()()yxypyqyf xY x如果是方程的一个特解,如果是方程的一个特解,
6、是方程对应的齐次方程的通解,则方程的通解是方程对应的齐次方程的通解,则方程的通解为为(1)(1)非齐次线性方程通式:非齐次线性方程通式:10PPT课件2.二阶线性偏微分方程分类二阶线性偏微分方程分类1.1.一般形式及分类判别一般形式及分类判别111222122xxxyyyxya ua ua ub ub ucuffcbbaaa,21221211其中,其中,都是区域都是区域上的实函数,上的实函数,并假定它们是连续可微的。并假定它们是连续可微的。2.2.二阶主部为:二阶主部为:1112222xxxyyya ua ua u21211220=0 0 aa a 3.3.判别式及分类:判别式及分类:双曲型双
7、曲型抛物型抛物型椭圆型椭圆型11PPT课件22222uuaxtx22222uuauxt222uuaxuxt222110uu 判断下列方程的类型判断下列方程的类型思考:思考:12PPT课件3 3.方程简化方程简化1.1.线性二阶偏微分方程的一般形式线性二阶偏微分方程的一般形式(2(2个自变量个自变量)111222122xxxyyyxya ua ua ubub ucuffcbbaaa,21221211其中,其中,都是区域都是区域上的实函数,上的实函数,并假定它们是连续可微的。并假定它们是连续可微的。n个自变量:个自变量:2111a0nnnijiijiijiuubcufx xx 其中其中 fcbai
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