人教版高中数学选修空间向量立体几何课件.ppt
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1、空间向量立体几何空间向量立体几何章末归纳总结章末归纳总结例1:已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1G1)1(AAADAB1111)1(ACCCACAAACAAADAB解M 始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 推论推论:如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行已知非零向量且平行已知非零向量 的直线的直线,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上的充要条件是存上的充要条件是存在实数在实数t,t,
2、满足等式满足等式OP=OA+t OP=OA+t 其中向量叫做直线的方向向其中向量叫做直线的方向向量量.llaaOABPa 若若P P为为A,BA,B中点中点,则则12 O PO AO B2.2.共面向量定理共面向量定理:如果两个向量如果两个向量 不共线不共线,则向量则向量 与向量与向量 共面的充要共面的充要条件是存在实数对条件是存在实数对 使使,abyx,p,abOMabABAPppx ayb 推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面MABMAB内的充要条件是存在内的充要条件是存在有序实数对有序实数对x,yx,y使使 或对空间任一点或对空间任一点O,O,有有 M Px M Ay M B
3、 O PO Mx M Ay M B注意:注意:空间四点空间四点P、M、A、B共面共面 存存 在在 唯唯 一一实数对实数对,xyM Px M Ay M B ()使 得(1)O Px O MyO AzO Bxyz 其其 中中,例1:已知m,n是平面内的两条相交直线,直线l与的交点为B,且lm,ln,求证:l。nmggmnll证明:在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g,因m与n相交,得向量m、n不平行,由共面向量定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使 g=xm+yn,lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg lg 这就证明了直线l垂直于
4、平面内的任一条直线,所以l 巩固练习:利用向量知识证明三垂线定理aAOP.,0,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序实数对定理可知,存在唯一的不平行,由共面向量相交,得又又而上取非零向量证明:在PAaOAaaPAOAPAPO求证:且内的射影,在是的垂线,斜线,分别是平面已知:,复习:2.向量的夹角:abOABab0a b,a b,向量 的夹角记作:ab与a b|cos,aba b 1.空间向量的数量积:111222(,),(,)axyzbxyz设121212x xy yz zcos|a ba bab ,1212122
5、22222111222x xy yz zxyzxyz5.向量的模长:2222|aaxyz(,)axyz设4.有关性质:(1)两非零向量111222(,),(,)axyzbxyz1212120 x xy yz z0aba b(2)|a bab|,a baba b 同 方 向|,a baba b 反 方 向注意:此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。注意:此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。OABP3.A、B、P三点共线的充要条件三点共线的充要条件A、B、P三点共线三点共线A Pt A B A(1)OPxOyOB xy 反过来,对空间任意两个不共线的向量反过来,对空间任意两个不共线的
6、向量 ,如果,如果 ,那么向,那么向量量 与向量与向量 ,有什么位有什么位置关系?置关系?abbyxpab共线,分别与bbya,a x确定的平面内,都在bbya,ax确定的平面内,并且此平行四边形在ba共面,与即确定的平面内,在bbbyap,aaxpabABPpCp例例5(课本例课本例)已知已知 ABCD,从平面,从平面AC外一点外一点O引向量引向量 A,O Ek O AO Fk O BO Gk O CO Hk O D 求证:四点求证:四点E、F、G、H共面;共面;平面平面AC/平面平面EG.BCDOEFGH证明:证明:四边形四边形ABCD为为 A CA BA D ()E GO GO E k
7、O Ck O A ()kO CO A k A C()代入)代入()kA BA D ()kO BO AO DO A O FO EO HO E 所以所以 E、F、G、H共面。共面。E FE H 证明:证明:由面面平行判定定理的推论得:由面面平行判定定理的推论得:E FO FO E k O Bk O A()kO BO A k A B 由知由知E Gk A C/E GA C/E FA B/E GA C面面面面ABCDOEFGH 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平行或重向量所在直线互相平行或重合合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面叫做共面向量向量.定理定理推论推
8、论运用运用判断三点共线,或两直线平判断三点共线,或两直线平行行判断四点共面,或直线平行于平判断四点共面,或直线平行于平面面)1(APyxOByOxO)0(/ababapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP小结小结共面共面)1(0zyxOCzOByOAxOP3)射影eaeaABBAelABBABlBAlAllelaAB,cos,111111射影。方向上的正射影,简称或在上的在轴叫做向量,则上的射影在作点上的射影在点同方向的单位向量。作上与是,和轴已知向量BAleA1B1注意:在轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数,它的符号代表向量与l的方向的相对关系,大小代表在l上射影的长度。例
9、例2:已知:在空间四边形:已知:在空间四边形OABC中,中,OABC,OBAC,求证:,求证:OCABACOBCBOA,证明:由已知0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以ABCO OAOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC所以3.已知空间四边形,求证:。,O A B CO BO CA O BA O C O AB C OACB证明:()|cos|cos|cos|cos0O A B CO AO CO BO A O CO A O BO AO CO AO BO AO BO AO B O AB C 4.4.空间向量基本定理空间向
10、量基本定理 若三个向量若三个向量a a,b b,c c不共面,则对空不共面,则对空间任一向量间任一向量p p,存在有序实数组,存在有序实数组 x,y,z,使得,使得p pxa ayb bzc.c.其中其中a,b,c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底,a,b,c都叫做都叫做基向量基向量 若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直,则称这个若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直,则称这个基底为基底为正交基底正交基底,若三个基向量是互相垂直的单位向量,则称这,若三个基向量是互相垂直的单位向量,则称这个基底为个基底为单位正交基底单位正交基底x x1 1xx2 2,y y1 1yy2 2,z z1
11、 1zz2 2(R)(R)a/bA PP Bl=uuu ruuu r121212(,)111xxyyzzPllllll+线线 面面 平平 行行 面面 面面 平平 行行 (五五)、空间位置关系的向量法:、空间位置关系的向量法:异面直线所成角的范围:0,2ABCD1D,C DA B 与的 关 系?思考:思考:,D CA B 与的 关 系?结论:结论:coscos,C DA B|题型一:线线角题型一:线线角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入题型二:线面角题型二:线面角直线与平面所成角的范围:0,2ABO,n B A 与的 关 系?思考:思考:n结论:结论:sincos,n
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