人教版高中数学必修二第二章小结模板课件.ppt

1、本章内容本章内容2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质第二章第二章 小结小结知识要点知识要点复习参考题复习参考题自我检测题自我检测题1.三个公理三个公理 公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直那么这条直线在此平面内线在此平面内.公理公理2:过不在一条直线上的三点过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面有且只有一个平面.三推论三推论:两相交直线确定平面两相交直线确定平面;两平行直线确定平

2、面两平行直线确定平面;直线外的点与直线确定平面直线外的点与直线确定平面.公理公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线那么它们有且只有一条过该点的公共直线.返回目录返回目录2.线线之间的位置关系线线之间的位置关系相交相交平行平行异面异面共面共面判定两直线平行的公理判定两直线平行的公理 4:平行于同一条直线的两直线互相平行平行于同一条直线的两直线互相平行.3.两异面直线所成的角两异面直线所成的角 角的范围角的范围(0,90.由定义找角由定义找角:垂直垂直相交非钝角相交非钝角,且两边分别平行两异面直线且两边分别平行两异面直线.异

3、面垂直异面垂直,无垂足无垂足.4.线面平行的判定定理线面平行的判定定理b a a,a a a,b/a,ba a.la a,l b b,b ba a=m lm.由线线平行得线面平行由线线平行得线面平行.5.线面平行的性质定理线面平行的性质定理由线面平行得线线平行由线面平行得线线平行.a a a,b a a,ab,ab b,bb b,a ab b.a ab b,g ga a=a,g gb b=b,ab.6.面面平行的判定定理面面平行的判定定理由线面平行得面面平行由线面平行得面面平行.7.面面平行的性质定理面面平行的性质定理由面面平行得线线平行由面面平行得线线平行.8.线面垂直的定义线面垂直的定义

4、若直线若直线 l 垂直平面垂直平面 a a 内的任意一直线内的任意一直线,则叫则叫 la a.应用应用:若若 la a,则则 l 垂直平面垂直平面 a a 内的任意一直线内的任意一直线.la a,m a a,lm.过空间任意一点过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面有且只有一条直线和已知平面垂直垂直.9.线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面那么这条直线垂直于这个平面.la,lb,ab=P,la a.a a a,b a a,两平行线中的一条垂直于一个平面两平行线中的一条垂直于

5、一个平面,那么另一那么另一条也垂直于这个平面条也垂直于这个平面.10.三垂线定理三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直平面的斜线如果平面内的一条直线垂直平面的斜线,则这条直线垂则这条直线垂直斜线在平面上的射影直斜线在平面上的射影;如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影射影,则这条直线垂直斜线则这条直线垂直斜线.11.直线和平面所成的角直线和平面所成的角 斜线与斜线在平面上的射影的夹角斜线与斜线在平面上的射影的夹角(锐角锐角).垂线与平面所成的角为垂线与平面所成的角为90.平行线或在平面内的直线与平面所成的角为平行线或在平面内的直线与平

6、面所成的角为 0.斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的最小的.两条平行线和同一个平面所成的角相等两条平行线和同一个平面所成的角相等.12.直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行.l1a a,l2a a,l1/l2.由线面垂直得线线平行由线面垂直得线线平行.13.二面角及它的平面角二面角及它的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角.以二面角的以二面角的棱上棱上任意任意一点一点为端点为端点,在在两个

7、半面内两个半面内分别作分别作垂垂直于棱直于棱的两条射线的两条射线,这两条射线所成的角叫做这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角确定二面角的大小由它的平面角确定.14.两平面垂直的判定两平面垂直的判定 一个平面过另一个平面的垂线一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直则这两个平面垂直.a ab blla a,l b b,b ba a.15.平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 两个平面垂直两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线则一个平面内垂直于交线的直线与于另一个平面垂直与于另一个平面垂直.a ab b,a ab b=m,lm,l a a,lb

8、b.a ab bml 两平面垂直两平面垂直,平行于一平面的直线垂直于另一平行于一平面的直线垂直于另一平面平面.返回目录返回目录A 组组 1.三个平面可将空间分成几部分三个平面可将空间分成几部分?你能画出它们的直观图吗你能画出它们的直观图吗?答答:三个平面可将空间分成三个平面可将空间分成 4个、或个、或 6个、或个、或 7个个、或或 8个部分个部分.4部分部分a ab bg g6部分部分a ab bg g7部分部分8部分部分a ab bg gb ba ag g复习参考题复习参考题 2.如图如图,一块正方体形木料的上底面上有一点一块正方体形木料的上底面上有一点 E,经过点经过点 E 在上底在上底面

9、上画一条直线与面上画一条直线与 CE 垂直垂直,怎样画怎样画?ABCDA1B1C1D1EMN画法画法:连结连结C1E,过点过点 E 作作 MNC1E.在平面在平面A1C1内内,则则 MN就是所要求作的直线就是所要求作的直线.CC1平面平面A1C1,MN 平面平面A1C1,MNCC1.所作所作 MNC1E,其理由其理由:则则 MN平面平面C1EC,得得 MNCE.3.证明证明:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.如图如图,已知已知直线直线 ab=A,bc=B,ca=C.求证求证 a,b,c 共面共面.证明证明:ab=A,a、b 确定平面确

10、定平面,设为设为 a a,则则 a a a,b a a,得得 C a,B b,a、b、c 共面于共面于 a a.a a又又 ca=C,cb=B,ABCabc于是得于是得 C a a,B a a,即得即得 c a a,4.如图如图,正方体的棱长是正方体的棱长是 a,C,D 分别是两条棱的中点分别是两条棱的中点.(1)证明四边形证明四边形 ABCD 是一个梯形是一个梯形;(2)求四边形求四边形 ABCD 的面积的面积.证明证明:如图如图,连结上底面连结上底面C,D是两棱中点是两棱中点,ACBDA B 而而 A B/AB,且且A B=AB,CD/AB,且且CDAB,则则ABCD是梯形是梯形.(1)对

11、角线对角线A B,CD/A B,且且.21BACD =ACBDA B 4.如图如图,正方体的棱长是正方体的棱长是 a,C,D 分别是两条棱的中点分别是两条棱的中点.(1)证明四边形证明四边形 ABCD 是一个梯形是一个梯形;(2)求四边形求四边形 ABCD 的面积的面积.解解:在底面正方形中求得在底面正方形中求得,2 aAB=,22 aCD=则则如图如图,在在RtO OE中可求得中可求得22)42(aa,423a=梯形梯形ABCD的面积为的面积为OECDABS =)(21).(892平平方方单单位位a=(2)OEO 梯形的高梯形的高 OE=E 5.如图如图,正方体正方体 ABCD-A1B1C1

12、D1中中,AE=A1E1,AF=A1F1,求证求证 EF/E1F1,且且 EF=E1F1.证明证明:连结连结EE1,FF1,在正方体中在正方体中,AEA1E1,AFA1F1,又知又知 AE=A1E1,AF=A1F1,AEE1A1和和AFF1A1是是,则则 EE1/AA1,且且EE1=AA1,FF1/AA1,且且FF1=AA1,四边形四边形EE1F1F是是,得得 EE1/FF1,且且EE1=FF1,则则 EF/E1F1,且且EF=E1F1.AA1EFE1F1BCDB1C1D1 6.如图如图,长方体的三个面的对角线长分别是长方体的三个面的对角线长分别是 a,b,c,求长方体对求长方体对角线角线 A

13、C 的长的长.AA DCD C BB abc解解:,2222cba =设长方体中同一顶点设长方体中同一顶点处的三条棱长为处的三条棱长为 x,y,z,而而 AC 2=AC2 CC 2=AB2 BC2 CC 2xyz则则 a2=x2 y2,b2=y2 z2,c2=z2 x2,=x2 y2 z2.2222cbaCA =7.如图如图,四棱锥四棱锥 V-ABCD 中中,底面底面 ABCD 是边长为是边长为 2 的正方形的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为其他四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角形的等腰三角形,试画出二面角试画出二面角 V-AB-C 的平面角的平面角,并求它的度数并求它的度数.5ABCDVEF解

14、解:分别取分别取 AB、CD 的中点的中点E、F,连结连结 VE、EF,则则VEF就是二面角就是二面角V-AB-C的平面角的平面角.连结连结VF,由已知可得由已知可得VF=VE=221)5(=2,又又 EF=2,VEF=60,即二面角即二面角 V-AB-C 的度数是的度数是60.8.已知已知 a a,b b,g g 是三个平面是三个平面,且且 a ab b=a,a ag g=b,b bg g=c,且且ab=O.求证求证 a,b,c 三线共点三线共点.b bg ga abac证明证明:ab=O,得得 O a,O b,a ab b=a,a b b,a ag g=b,b g g,O b b,O g

15、g,即即O为为 b b 与与 g g 的公共点的公共点,而而 b bg g=c,交线交线 c 必过必过 O 点点,则则 a,b,c 三线共点三线共点O.9.如图如图,平面平面 a a、b b、g g 两两相交两两相交,a、b、c 为三条交线为三条交线,且且 a/b b,求证求证 a/b/c.b ba ag gabc ab b,证明证明:g gb b=b,a g g,a/b.同理同理,ab b,a ab b=c,a a a,a/c.于是得于是得 b/c,得得 a/b/c.10.如图如图,a ab b=AB,PCa a,PDb b,C,D 是垂足是垂足,试判断直试判断直线线 AB 与与 CD 的位

16、置关系的位置关系?并证明你的结论并证明你的结论.答答:ABCD.证明证明:a ab b=AB,AB a a,AB b b.而而 PCa a,PDb b,PCAB,PDAB.则则 AB平面平面PCD.而而 CD 平面平面PCD,ABCD.a ab bABCDPB 组组 1.如图如图,边长为边长为 2 的正方形的正方形 ABCD 中中,(1)点点 E 是是 AB 的中点的中点,点点 F 是是 BC 的中点的中点,将将AED,DCF 分分别沿别沿 DE,DF 折起折起,使使 A,C 两点重合于点两点重合于点 A,求证求证:A DEF.(2)当当 BE=BF=BC 时时,求三棱锥求三棱锥 A EFD

17、的体积的体积.41ABCDEFA BEDF(1)证明证明:DAAE,DCCF,DA A E,DA A F,则则 DA 平面平面 A EF,于是得于是得 DA EF.B 组组 1.如图如图,边长为边长为 2 的正方形的正方形 ABCD 中中,(1)点点 E 是是 AB 的中点的中点,点点 F 是是 BC 的中点的中点,将将AED,DCF 分分别沿别沿 DE,DF 折起折起,使使 A,C 两点重合于点两点重合于点 A,求证求证:A DEF.(2)当当 BE=BF=BC 时时,求三棱锥求三棱锥 A EFD 的体积的体积.41ABCDEFA BEDF(2)解解:BC=2,则则,2141=BCBFBE得

18、得,23=FAEACFAE,2222=BFBEEFHA EF的高的高A H=22)2(EFEA B 组组 1.如图如图,边长为边长为 2 的正方形的正方形 ABCD 中中,(1)点点 E 是是 AB 的中点的中点,点点 F 是是 BC 的中点的中点,将将AED,DCF 分分别沿别沿 DE,DF 折起折起,使使 A,C 两点重合于点两点重合于点 A,求证求证:A DEF.(2)当当 BE=BF=BC 时时,求三棱锥求三棱锥 A EFD 的体积的体积.41ABCDEFA BEDF(2)解解:BC=2,则则,2141=BCBFBE得得,23=FAEACFAE,2222=BFBEEFHA EF的高的高

19、A H=22)2(EFEA A D=AD=2,三棱锥三棱锥 A EFD 的体积为的体积为DAHAEFV =)21(31.1217=,434=2.如图如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,求证求证:(1)B1D平面平面A1C1B;(2)B1D与平面与平面A1C1B的交点的交点H是是A1C1B的重心的重心(三角形三条中线的三角形三条中线的交点交点).ABCDA1B1C1D1H(1)证明证明:连结连结B1D1,则则A1C1B1D1,又又A1C1D1D,A1C1平面平面B1D1D,则则A1C1B1D.同理同理,连结连结B1C,可得可得BC1B1D.B1D平面平面A1C1B.2.如图如图

20、,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,求证求证:(1)B1D平面平面A1C1B;(2)B1D与平面与平面A1C1B的交点的交点H是是A1C1B的重心的重心(三角形三条中线的三角形三条中线的交点交点).设设A1C1B1D1=O,则则O,H,B是平面是平面A1BC1与平与平(2)证明证明:ABCDA1B1C1D1H面面B1BDD1的公共点的公共点,即即B,H,O共线共线.而而O点是点是A1C1的中点的中点,即即BO是是A1C1B的中线的中线.O同理同理,设设BC1B1C=E,EA1,H,E共线且是共线且是A1C1B的中线的中线.H是是A1C1B的重心的重心.自我检则题返回目录返回目录自

21、我检测题自我检测题一、选择题.1.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是()2.下列命题中,错误的命题是()(A)平行于同一直线的两个平面平行 (B)平行于同一平面的两个平面平行 (C)一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必与另一个相交 (D)一条直线与两个平行平面所成的角相等 3.在正体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于()(A)AC (B)BD (C)A1D (D)A1D1 4.下列命题中,正确的是()(A)一个平面把空间分成两部分 (B)两个平面把空间分成三部分 (C)三个平面把空间

22、分成四部分 (D)四个平面把空间分成五部分 5.已知直线l平面a,直线m平面b,有下列命题:a/blm;abl/m;l/mab;lma/b.其中正确的命题是()(A)与 (B)与 (C)与 (D)与PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)二、填空题.6.若点M在直线a上,a 在平面 a 上,则 M,a,a 间的关系可用集合语言表示为 .7.设 a,b,c 是空间的三条直线,下面给出四个命题:若 ab,bc,则 a/c;若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 也是异面直线;若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交;若 a 和 b 共面,b 和

23、 c 共面,则 a 和 c 也共面.其中真命题的个数是 .三、解答题.8.(1)用符号语言表示语句:“直线 l 经过平面 a内一定点 P,但 l 在 a 外”,并画出图形.(2)把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形.若直线 a平面a,Aa,Aa,A直线 b,a/b,则 ba.9.如图,在长方体 ABCD-ABCD 中,指出 BC,DB 所在直线与各个面所在平面的关系.10.如图,过点 S 引三条不共面的直线 SA,SB,SC,其中BSC=90,ASC=ASB=60,且SA=SB=SC=a.求证:平面 ABC平面 BSC.ABCDABCDSACB 一、一、选择题选择题.1.如图如图,

24、点点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱并且是所在棱的中点的中点,则直线则直线 PQ 与与 RS 是异面直线的图是是异面直线的图是()PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)平行平行平行平行相交相交异面异面C 2.下列命题中下列命题中,错误的命题是错误的命题是()(A)平行于同一直线的两个平面平行平行于同一直线的两个平面平行 (B)平行于同一平面的两个平面平行平行于同一平面的两个平面平行 (C)一条直线与两个平行平面中的一个相交一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必与另那么这条直线必与另一个相交一个相交 (D)一条直线与两个平

25、行平面所成的角相等一条直线与两个平行平面所成的角相等A 3.在正体在正体 ABCD-A1B1C1D1 中中,若若 E 是是 A1C1 的中点的中点,则直线则直线 CE 垂直于垂直于()(A)AC (B)BD (C)A1D (D)A1D1ABCDA1B1C1D1E分析分析:如图如图,(A)AC 与与 CE 相交相交,排除排除.(B)直观直观 BD 可能垂直可能垂直 CE.BDAC,且且 BDCC1,则则 BD平面平面 ACC1A1,而而 CE 平面平面 ACC1A1,BDCE.B4.下列命题中下列命题中,正确的是正确的是()(A)一个平面把空间分成两部分一个平面把空间分成两部分 (B)两个平面把

26、空间分成三部分两个平面把空间分成三部分 (C)三个平面把空间分成四部分三个平面把空间分成四部分 (D)四个平面把空间分成五部分四个平面把空间分成五部分A一个平面如图一个平面如图.两个平面如图两个平面如图.三个平面如图三个平面如图.四个平面如图四个平面如图.5.已知直线已知直线 l平面平面 a a,直线直线 m 平面平面 b b,有下列命题有下列命题:a a/b blm;a ab bl/m;l/ma ab b;lma a/b b.其中正确的命题是其中正确的命题是()(A)与与 (B)与与 (C)与与 (D)与与a almb ba almb ba almb ba almb b成立成立反例反例成立成

27、立反例反例D 二、二、填空题填空题.6.若点若点 M 在直线在直线 a 上上,a 在平面在平面 a a 内内,则则 M,a,a a 间的关系可用集间的关系可用集合语言表示为合语言表示为 .M a,a a a 7.设设 a,b,c 是空间的三条直线是空间的三条直线,下面给出四个命题下面给出四个命题:若若 ab,bc,则则 a/c;若若 a,b 是异面直线是异面直线,b,c 是异面直线是异面直线,则则 a,c 也是异面直线也是异面直线;若若 a 和和 b 相交相交,b 和和 c 相交相交,则则 a 和和 c 也相交也相交;若若 a 和和 b 共面共面,b 和和 c 共面共面,则则 a 和和 c 也

28、共面也共面.其中真命题的个数是其中真命题的个数是 .ABCDA1B1C1D1abc反例如图反例如图.bc反例如图反例如图.反例如图反例如图.反例如图反例如图.0 个个 三、三、解答题解答题.8.(1)用符号语言表示语句用符号语言表示语句:“直线直线 l 经过平面经过平面 a a内一定点内一定点 P,但但 l 在在 a a 外外”,并画出图形并画出图形.(2)把下面的符号语言改写成文字语言的形式把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形并画出图形.若直线若直线 a 平面平面 a a,A a a,A a,A 直线直线 b,a/b,则则 b a a.解解:(1)P l,P a a,l a a.

29、a aPl 三、三、解答题解答题.8.(1)用符号语言表示语句用符号语言表示语句:“直线直线 l 经过平面经过平面 a a内一定点内一定点 P,但但 l 在在 a a 外外”,并画出图形并画出图形.(2)把下面的符号语言改写成文字语言的形式把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形并画出图形.若直线若直线 a 平面平面 a a,A a a,A a,A 直线直线 b,a/b,则则 b a a.解解:(2)若直线若直线 a 和点和点 A 都在平面都在平面 a a 内内,a 不不经过点经过点 A,直线直线 b 经过点经过点 A 且平行于且平行于 a,则直线则直线 b在平面在平面 a a 内内.

30、a aAab 9.如图如图,在长方体在长方体 ABCD-A B C D 中中,指出指出 B C,D B 所在直线与所在直线与各个面所在平面的关系各个面所在平面的关系.ABCDA B C D 解解:B C 平面平面B BCC,B C/平面平面A ADD,B C平面平面A ABB=B,B C平面平面ABCD=C,B C平面平面C CDD=C,B C平面平面A B C D=B.D B平面平面ABCD=B,D B平面平面A B C D=D,D B平面平面A ABB=B,D B平面平面B BCC=B,D B平面平面C CDD=D,D B平面平面D DAA=D.10.如图如图,过点过点 S 引三条不共面的直线引三条不共面的直线 SA,SB,SC,其中其中BSC=90,ASC=ASB=60,且且SA=SB=SC=a.求证求证:平面平面 ABC平面平面 BSC.SACB证明证明:ASC=ASB=60,SA=SB=SC=a.ASC ASB,AB=AC.取取 BC 的中点的中点 E,则则 AEBC.E在等腰直角在等腰直角BSC 中中,斜边中线斜边中线 SE=CE.在等边三角形在等边三角形 ASC中中,AC=AS.AES AEC.得得AES=AEC,即即 AEES.由知由知AE平面平面 BSC.AE 平面平面 ABC,平面平面 ABC平面平面 BSC.