人教A版高中数学-必修五-332简单的线性规划课件2.ppt

1、第2课时 简单线性规划的应用在实际问题中常遇到两类问题：在实际问题中常遇到两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理地安排和规划二是给定一项任务，如何合理地安排和规划能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它.下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用.1.1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的实际问题；观解决一些简单的实际问

2、题；(重点）重点）2.2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式；利用线性规划解决具有限制条件的不等式；3.3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提高学生数学建模和解决实际问题的能力高学生数学建模和解决实际问题的能力.一、用量最省问题一、用量最省问题例例1 1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供供0.075 kg0.075 kg的碳水化合物的碳水化合物,0.06 kg,0.06 kg的蛋白质的蛋白质,0.06 kg,0.06 kg的脂肪的脂肪.1 kg.1 kg食物食物A A含有含有0.105 kg0.1

3、05 kg碳水化合物碳水化合物,0.07 kg,0.07 kg蛋白质蛋白质,0.14 kg,0.14 kg脂肪脂肪,花费花费2828元元;而而1 kg1 kg食物食物B B含有含有0.105 kg0.105 kg碳水化合物碳水化合物,0.14 kg,0.14 kg蛋白质蛋白质,0.07 kg,0.07 kg脂肪脂肪,花花费费2121元元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时同时使花费最低使花费最低,需要同时食用食物需要同时食用食物A A和食物和食物B B多少多少kg?kg?探究点探究点1 1 简单线性规划问题及在实际问题中的应用简单线性规划问题及在实际问题

4、中的应用【解题关键解题关键】将已知数据列成下表：将已知数据列成下表：0.070.070.140.140.1050.1050.140.140.070.070.1050.105B BA A脂肪脂肪/kg/kg蛋白质蛋白质/kg/kg碳水化合物碳水化合物/kg/kg食物食物/kg/kg【解析解析】设每天食用设每天食用x kgx kg食物食物A,y kgA,y kg食物食物B,B,总成本为总成本为z.z.那么那么x,yx,y满足的约束条件是满足的约束条件是:0 1050 1050 0750 070 140 060 140 070 06 00.x.y.,.x.y.,.x.y.,x,y.目标函数为目标函数

5、为z=28x+21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域即可行域.775,7146,1476,0,0.xyxyxyxy 二元一次不等式组等价于二元一次不等式组等价于z zz z是是 直直在在 y y上上 的的 截截 距距，取取 最最 小小 值值，2 21 12 21 1z z的的 值值 最最 小小.然然 直直要要 与与 可可 行行 域域 相相 交交，即即 在在足足束束件件目目函函z z=2 28 8x x+2 21 1y y取取 得得 最最 小小值值.线轴当时当线满约条时标数4 4z z 考考z z=2 28 8x x+2 21 1y y，它它

6、形形y y=-x x+，3 32 21 14 4是是斜斜率率-、z z化化的的一一族族平平行行直直.3 3虑将变为这为随 变线xO1476xy7146xy37475767137576743yx y775xyM由图知由图知,当直线当直线经过可行域上的点经过可行域上的点M M时时,截距截距最小最小,即即z z最小最小.2821zxyz21解方程组解方程组得得M M的坐标为的坐标为7751476xy,xy,14()77,.所以所以z zminmin=28x+21y=16.=28x+21y=16.答：每天食用食物答：每天食用食物A A约约143 g143 g，食物，食物B B约约571 g571 g，

7、能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为成本为1616元元.解线性规划应用问题的一般步骤：解线性规划应用问题的一般步骤：1.1.理清题意，列出表格；理清题意，列出表格；2.2.设好变量，列出线性约束条件（不等式组）设好变量，列出线性约束条件（不等式组）与目标函数；与目标函数；3.3.准确作图；准确作图；4.4.根据题设精确计算根据题设精确计算.【规律总结规律总结】铁矿石铁矿石A和和B的含铁率的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量的排放量b及每万吨铁矿石的价格及每万吨铁矿石的价格c如下表：如下表：ab(万吨万吨)c(百万元百

8、万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产某冶炼厂至少要生产1.9(万吨万吨)铁，若要求铁，若要求CO2的排放的排放量不超过量不超过2(万吨万吨)，则购买铁矿石的最少费用为，则购买铁矿石的最少费用为_(百万元百万元)【变式练习变式练习】1515目标函数为目标函数为z3x6y，当目标函数经过，当目标函数经过(1,2)点时点时目标函数取最小值，最小值为：目标函数取最小值，最小值为：zmin316215.例例2 2 要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A A，B B，C C三种规三种规格格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下

9、表所示如下表所示:A A规格规格B B规格规格C C规格规格第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板2 21 11 12 21 13 3 今需要今需要A A，B B，C C三种规格的成品分别三种规格的成品分别15,18,2715,18,27块，用数学关系式和图形表示上述要求各截这块，用数学关系式和图形表示上述要求各截这两种钢板多少张可得所需两种钢板多少张可得所需A A，B B，C C三种规格成品，三种规格成品，且使所用钢板张数最少？且使所用钢板张数最少？规格类型规格类型钢板类型钢板类型【解题关键解题关键】列表列表A A规格规格B B规格规格C C规格规格第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板

10、2 21 11 12 21 13 3张数张数成品块数成品块数xy2xy2xy3xy【解析解析】设需截第一种钢板设需截第一种钢板x x张，第二种钢板张，第二种钢板y y张，张，共需截这两种钢板共共需截这两种钢板共z z张，则张，则21521832700 xy,xy,xy,x,y.线性目标函数线性目标函数.zxy2x+y=15x+3y=27x+2y=18xOy0 xy M作出一组平行直线作出一组平行直线 z=x+yz=x+y，当直线经过可行域上的，当直线经过可行域上的点点M M时，时，z最小最小.作出可行域如图所示：作出可行域如图所示：由于由于 都不是整数，而此问题中的最优解都不是整数，而此问题中

11、的最优解中，中，必须都是整数，所以点必须都是整数，所以点 不是最不是最优解优解.解方程组解方程组327,215,xyxy 18 39(,).55M18 39,55得得(,)x y,x y18 39(,)55使截距使截距z z最小的直线为最小的直线为 ，经过的整点是经过的整点是B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，=12xy 它们是最优解它们是最优解.z=12.min答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板第一种钢板3 3张，第二种钢板张，第二种钢板9

12、 9张；第二种截法张；第二种截法是截第一种钢板是截第一种钢板4 4张，第二种钢板张，第二种钢板8 8张；两种截张；两种截法都最少要两种钢板法都最少要两种钢板1212张张.两类药片有效成分如下表所示，若要求至少两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供提供12毫克阿司匹林，毫克阿司匹林，70毫克小苏打，毫克小苏打，28毫克可毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？格最低？成分成分种类种类阿司匹林阿司匹林小苏打小苏打可待因可待因每片价格每片价格(元元)A A(毫克毫克/片片)2 25 51 10.10.1B B(毫克毫克/片片)1 17 7

13、6 60.20.2【变式练习变式练习】由于由于A不是整点，因此不是不是整点，因此不是z的最优解，结合图的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是线是xy11，经过的整点是，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此因此z的最小值为的最小值为11.药片最小总数为药片最小总数为11片片同理可得，当同理可得，当x3，y8时，时，k取最小值取最小值1.9，因此当因此当A类药品类药品3片、片、B类药品类药品8片时，药品价片时，药品价格最低格最低例例3 3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，

14、生产1 1车车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t4 t、硝酸盐、硝酸盐18 t18 t；生；生产产1 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t1 t、硝酸、硝酸盐盐15 t15 t现在库存磷酸盐现在库存磷酸盐10 t10 t、硝酸盐、硝酸盐66 t66 t，在此基，在此基础上生产这两种混合肥料础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域若生产系式，并画出相应的平面区域若生产1 1车皮甲种肥料，车皮甲种肥料，产生的利润为产生的利润为10 00010 000元；生产元；生产1 1车

15、皮乙种肥料，产生的车皮乙种肥料，产生的利润为利润为5 0005 000元元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？车皮，能够产生最大的利润？二、效益最佳问题二、效益最佳问题【解析解析】设生产设生产x x车皮甲种肥料、车皮甲种肥料、y y车皮乙种肥料，车皮乙种肥料，能够产生利润能够产生利润z z万元，则目标函数为万元，则目标函数为4 418181 11515甲种肥料甲种肥料乙种肥料乙种肥料磷酸盐磷酸盐(t)(t)硝酸盐硝酸盐(t(t）总吨数总吨数车皮数车皮数4xy1815xyxy利润利润(元元)10 00010 0005 0005 000410

16、18156600.，约束条件为，xyxyxyz0.5.xy【解题关键解题关键】列表列表yxO123452468104=10 xy1815=66xy作出可行域，作出可行域，2yx M直直y y=-2 2x x+2 2z z可可行行域域上上的的M M，z z最最大大.当线经过点 时变为把把z=x+0.5y形z=x+0.5y形y=-2x+2z,y=-2x+2z,得到斜率为得到斜率为-2-2，在，在y y轴轴上的截距为上的截距为2z2z，随，随z z变变化的一族平行直线化的一族平行直线.maxmax18x+15y=66,18x+15y=66,解解方方程程得得M的M的坐坐(2,2).(2,2).4x+y

17、=10,4x+y=10,所所以以z=2+0.5z=2+0.52=3.2=3.组标为答：生产甲、乙两种肥料各答：生产甲、乙两种肥料各2 2车皮，能够产生车皮，能够产生最大利润，最大利润为最大利润，最大利润为3 3万元万元.某工厂生产甲、乙两种产品某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品已知生产甲种产品1 1 t t需耗需耗A A种矿石种矿石10 t10 t、B B种矿石种矿石5 t5 t、煤、煤4 t4 t；生产；生产乙种产品乙种产品1 t1 t需耗需耗A A种矿石种矿石4 t4 t、B B种矿石种矿石4 t4 t、煤、煤9 t.9 t.每吨甲种产品的利润是每吨甲种产品的利润是600600元，

18、每吨乙种产品的利元，每吨乙种产品的利润是润是1 0001 000元元.工厂在生产这两种产品的计划中要工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗求消耗A A种矿石不超过种矿石不超过300 t300 t、B B种矿石不超过种矿石不超过200 t200 t、煤不超过、煤不超过363 t.363 t.甲、乙两种产品应各生产甲、乙两种产品应各生产多少吨，能使利润总额达到最大多少吨，能使利润总额达到最大?【变式练习变式练习】【解题关键解题关键】将已知数据列成下表：将已知数据列成下表：A A种矿石种矿石(t)(t)B B种矿石种矿石(t)(t)煤煤(t)(t)甲产品甲产品(1 t)(1 t)乙产品乙产品(1 t)

19、(1 t)资源限额资源限额(t)(t)利润利润(元元)10105 54 46006004 44 49 91 0001 000300300200200363363【解析解析】设生产甲、乙两种产品分别为设生产甲、乙两种产品分别为x tx t、y ty t，利润总额为利润总额为z z元，则元，则10 x4y300,5x4y200,4x9y363,x0,y0;作出如图所示的可行域，作出如图所示的可行域，3zz600 x1 000yyx.51 000 可变形为z600 x1 000y.54200 xyyxO1010104300 xy49363xy03:5lyx l线0 03 3作作:y=-x及:y=-x

20、及其其平平行行，5 5M3 3z z直直y y=-x x+M M，5 51 1 0 00 00 0z z最最大大.当线经过点 时解方程组：解方程组：5x4y200,4x9y363,标标为为得得M的M的坐坐(12,35).(12,35).答：甲、乙两种产品应各生产答：甲、乙两种产品应各生产12 t,35 t12 t,35 t，能使利润，能使利润总额达到最大，利润总额最大为总额达到最大，利润总额最大为42 20042 200元元.maxz600 12 1 000 3542200.（元）得点得点例例4 4 若二次函数若二次函数 的图象过原点，且的图象过原点，且 求求 的范围的范围.()yf x(2)

21、f 3(1)4,f 1(1)2,f设条关数数围线规题识【解关键】2 2f f(x x)=a ax x+b bx x(a a 0 0),由由已已知知件件可可以以得得到到于于二二次次函函y y=f f(x x)的的系系a a,b b的的不不等等式式，f f(-2 2)=4 4a a-2 2b b的的范范可可用用性性划划知知求求解解.探究点探究点2 2 利用简单线性规划求变量的范围利用简单线性规划求变量的范围图过点设 为【解析】2 2y=f(x)的y=f(x)的象象原原，所所以以f(x)=ax+bx(af(x)=ax+bx(a0).0).所所以以f(-1)=a-b,f(1)=a+b.f(-1)=a-

22、b,f(1)=a+b.1a-b2,1a-b2,所所以以3a+b4.3a+b4.f(-2)=4a-2b.f(-2)=4a-2b.令令z=4az=4a因因-2b.-2b.作出如图所示的可行域，作出如图所示的可行域，变为线l0 0z zz=4a-2b可z=4a-2b可形形b=2a-.b=2a-.2 2作作:b=2a及:b=2a及其其平平行行.Oba1 2 2424AB2ba 3ab1ab4ab2ab由图可知，由图可知，z z直直b b=2 2a a-2 2可可行行域域上上的的A A，z z截截距距-最最大大，即即z z最最小小.2 2z zB B，截截距距-最最小小，2 2即即z z最最大大.当线经

23、过点 时经过点 时组组组组minminmaxmaxa-b=1,a-b=1,由由方方程程得得A(2,1).A(2,1).a+b=3a+b=3所所以以z=4a-2b=4z=4a-2b=42-22-21=6.1=6.a-b=2,a-b=2,由由方方程程得得B(3,1).B(3,1).a+b=4a+b=4所所以以z=4a-2b=4z=4a-2b=43-23-21=10.1=10.所所以以6f(-2)10.6f(-2)10.将求变量范围的问题巧妙地转化为简单将求变量范围的问题巧妙地转化为简单的线性规划问题进行求解，减少了失误的线性规划问题进行求解，减少了失误.【规律总结规律总结】（20132013北京高

24、考）设北京高考）设D D为不等式组为不等式组 表示的平面区域，区域表示的平面区域，区域D D上的点与上的点与点（点（1 1，0 0）之间的距离的最小值为）之间的距离的最小值为_._.2 55【变式练习变式练习】B BD D-5-5216000216000 1.1.设所求的未知数；设所求的未知数；2.2.列出约束条件；列出约束条件；3.3.建立目标函数；建立目标函数；4.4.作出可行域；作出可行域；5.5.运用图解法，求出最优解运用图解法，求出最优解;6.6.实际问题需要整数解时，适当调整，确定最实际问题需要整数解时，适当调整，确定最优解优解.一、利用简单的线性规划解决实际问题的一般步骤：一、利用简单的线性规划解决实际问题的一般步骤：二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式.