函数的零点研究（四）-隐零点问题.doc

1、1.10 函数的零点研究（四）函数的零点研究（四） 隐零点隐零点问题问题 【真题感悟】【真题感悟】 （2014全国）已知函数 32 ( )32f xxxax，曲线( )yf x在点（0，2）处的切 线与x轴交点的横坐标为2 （1）求a； （2）证明：当1k 时，曲线( )yf x与直线2ykx只有一个交点 【解】 （1）( )fx= 2 36xxa，(0)fa. 曲线( )yf x在点（0,2）处的切线方程为2yax 由题设得 2 2 a ，所以1a （2）由（1）知， 32 ( )32f xxxx 设( )g x( )2f xkx 32 3(1)4xxk x，由题设知10k 当x0 时，(

2、)g x 2 3610xxk ，( )g x单调递增， ( 1)10, (0)4gkg ，所以( )g x=0 在,0有唯一实根 当0x 时，令 32 ( )34h xxx，则( )g x( )(1)( )h xk xh x 2 ( )363 (2)h xxxx x，( )h x在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增， 所以( )( )(2)0g xh xh，所以( )0g x 在(0,)没有实根. 综上，( )g x=0 在 R 有唯一实根， 即曲线( )yf x与直线2ykx只有一个交点 【典题导引】【典题导引】 例 1已知函数 f(x)xxlnx，g(x) 2 1 ax x ，aR （

3、1）当 a0 时，求 g(x)单调区间； （2）证明：关于 x 的方程 f(x)g(x)有唯一的实数解 【解】 （1）因为 22 (1)(1) ( ) (1) axx g x x ， 令 g(x)0,得，-1，所以1a符合题意； 当01a时，有 122(1) g (1)0,( )20 a g aaa ， 所以 1 1 (1,)x a ，使得 1 ()0g x，从而当 1 1xx时，g ( )0x， 即( )g x在 1 (1,)x上单调递减，所以( )，不符合题意； 当0a时， 2 221 ( )=0 xx g xa x 在 13 (1,) 2 恒成立， 所以( )g x在 13 (1,) 2

4、 单调递减，所以( )，不符合题意. 综上，( )0g x 恒成立时，1a. （ii）设 2 ( )(1)lnh xxxaxa， 则 1 ( )22h xxa x ， ( )h x在(1,)单调递增， 所以( )(1)=1h xha， 当1a 时，有 1 (1)0,( )20hh aa a ， 所以 2 (1, )xa ，使得 2 ()0h x，从而当 2 1xx时，( )0h x， 即( )h x在 2 (1,)x上单调递减，所以( )，不符合题意； 当1a时，有(1) 0 h ，所以( )(1) 0h xh ?在(1,)恒成立， 所以( )h x在(1,)单调递增，所以( ) (1)=0h xh恒成立， 所以1a符合题意. 综合（i） 、 （ii）可知，=1a.