二阶微分方程应用习题课课件.ppt
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- 微分方程 应用 习题 课件
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1、高阶微分方程高阶微分方程应用习题课应用习题课第七章 微分方程一、两类高阶微分方程的解法一、两类高阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法一、两类高阶微分方程的解法一、两类高阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法d()dnnyf xx)dd,(dd22xyxfxy令令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次积分求解逐次积分求解 2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数齐次情形常系数齐次情形 代数法代数法
2、),(0为常数qpyqypy 20,rprq特征方程特征方程:xrxrCCy21ee2112,r r特征根:21rr 实根实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数非齐次情形常系数非齐次情形 代数法代数法()(,)ypyqyf xp q为常数为常数其中其中 为实数为实数,)(xPm为为 m 次多项式次多项式.型)(e)(xPxfmx1))2,1,0(e)(*kxQxyxmk此结论可推广到高阶常
3、系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解将此式代入原方程比较系数即可确定该特解将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数非齐次情形常系数非齐次情形 代数法代数法()(,)ypyqyf xp q为常数为常数2)()e()cos()sinxlnf xP xxP xx型型xRxRxymmxksincose*则可设特解则可设特解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根(k =0,1),ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程
4、的情形.将此式代入原方程比较系数即可确定该特解将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.的解的解.例例1设函数设函数),()(在xyy,)()(,0的反函数是xyyyxxy内具有连续二阶导内具有连续二阶导1)试将试将 xx(y)所满足的微分方程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x)所满足的微分方程所满足的微分方程;2)求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx,0)0(y数数,且且23)0(y解解 ,1ddyyx,1ddyxy即上式两端对上式两端对 x 求导求导,得得 1)由反函数的导数公式知由反函数的导数公式知(2003考研考研
5、)0)(dddd222 yyxyxy0)dd)(sin(dd322yxxyyx,1ddyyx0)(dddd222 yyxyxy222dddd()xyxyyy 3)(yy 代入原微分方程得代入原微分方程得 xyysin 2)方程方程的对应齐次方程的通解为的对应齐次方程的通解为 xxCCYee21设设的特解为的特解为,sincosxBxAy代入代入得得 A0,21B,sin21xy故从而得从而得的通解的通解:xCCyxxsin21ee21由初始条件由初始条件,23)0(,0)0(yy得得1,121CC故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为 xyxxsin21ee二、微分方程的应用二、微分方程的应
6、用 1.建立数学模型建立数学模型 列微分方程问题列微分方程问题建立微分方程建立微分方程(共性共性)利用物理规律利用物理规律利用几何关系利用几何关系确定定解条件确定定解条件(个性个性)初始条件初始条件边界条件边界条件可能还有衔接条件可能还有衔接条件2.解微分方程问题解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义分析解所包含的实际意义 例例2解解 欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引为使其摆脱地球引力力,初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度试计算此速度.设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 m,地球质量为地球质量为 M,卫星卫星的质心到
7、地心的距离为的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得:222ddhmMGthm,0v为(G 为引力系数为引力系数)则有初值问题则有初值问题:222ddhMGth又设卫星的初速度又设卫星的初速度,已知地球半径51063R000dd,vtthRht222ddhMGth000dd,vtthRht),(ddhvth设,dddd22hvvth则代入原方程代入原方程,得得2ddhMGhvvhhMGvvdd2两边积分得两边积分得ChMGv221利用初始条件利用初始条件,得得RMGvC2021因此因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到注意到 221limv
8、hRMGv12120为使为使,0v应满足0vRMGv20因为当因为当h=R(在地面上在地面上)时时,引力引力=重力重力,)sm81.9(22ggmRmMG即即,2gRMG故代入代入即得即得81.910632250gRv)s(m102.113这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 skm2.11yOy练习题练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测按探测要求要求,需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函数关之间的函数关系系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在在下沉过程中还受到
9、阻力和浮力作用下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为设仪器质量为 m,体积为体积为B,海水比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成仪器所受阻力与下沉速度成正比正比,比例系数为比例系数为 k(k 0),试建立试建立 y 与与 v 所满足的所满足的微分方程微分方程,并求出函数关系式并求出函数关系式 y=y(v).(1995考研考研)提示提示:建立坐标系如图建立坐标系如图.质量质量 m体积体积 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律B22ddtymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgBgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始条件为初始条件为00yv用分离变量法解上述初值问
10、题得用分离变量法解上述初值问题得得得yOy质量质量 m体积体积 Btvtydddd22tyyvddddyvvdd注意注意:B22ddtymvkmg在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压降为所有支路上的电压降为 0.例例3 有一电路如图所示有一电路如图所示,sintEEm电动势为电阻电阻 R 和电和电.)(ti LERQ解解 列方程列方程.已知经过电阻已知经过电阻 R 的电压降为的电压降为R i;经过经过 L的电压降为的电压降为d,diLt因此有因此有,0ddiRtiLE即即LtEiLRtimsindd初始条件初始条件:00ti由回路电压定律由回路电压定律:其中电源其中电源求电流强求电流强度
11、度感感 L 都是常量都是常量,解方程解方程:LtEiLRtimsindd00ti()d()d()edP xxP xxyeQ xx C由初始条件由初始条件:00ti得得222LRLECm)(ti tLRdetLEmsintLRmCtLtRLREe)cossin(222ttLRdedC利用一阶线性方程解的公式可得利用一阶线性方程解的公式可得 LERQtLRmLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLREmtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暂态电流暂态电流稳态电流稳态电流则令,arctanRL因此所求电流函数为因此所求电流函数为解的意义解的意义:LERQ求电容器
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