matlab常微分方程课件.ppt

1、 Matlab常微分方程求解常微分方程求解 函数 dsolve 格式：r=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)b)x(yaxd)x(ycxf)x(yex (4)若边界条件少于方程（组）的阶数，则返回的结果r中会出现任意常数C1，C2，；(5)dsolve命令最多可以接受12个输入参量（包括方程组与定解条件个数，当然我们可以做到输入的方程个数多于12个，只要将多个方程置于一字符串内即可）。(6)若没有给定输出参量，则在命令窗口显示解列表。若该命令找不到解析解，则返回一警告信息，同时返回一空的sym对象。这时，用户可以用命令ode23或ode45求解方程组的数值解。例1 ds

2、olve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0,x)0)/(1)0(2ayyyay ans=cos(a*x)dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0)例2 u,v=dsolve(Du=v,Dv=u)uvvu u=C1*exp(-t)+C2*exp(t)V=-C1*exp(-t)+C2*exp(t)Matlab专门用于求解常微分方程的函 数，主要采用Runge-Kutta方法：ode23,ode45,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb T,Y=solver(odefun,tspan,y0)T,Y=solver(od

3、efun,tspan,y0,options)T,Y=solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2)（1）solver为命令 Ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb之一。（2）odefun 为常微分方程y=f(x,y)，或为包含一混合矩阵的方程(x,y)*y=f(x,y).（3）tspan 积分区间（即求解区间）的向 量tspan=t0,tf。要获得问题在其他指定 时间点t0,t1,t2,上的解，则令 tspan=t0,t1,t2,tf（要求是单调的）。（4）y0 包含初始条件的向量。（5）options 用命令

4、odeset设置的可选 积分参数.（6）p1,p2,传递给函数odefun的可选 参数。T,Y=solver(odefun,tspan,y0)T,Y=solver(odefun,tspan,y0,options)T,Y=solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2)求解具体ODE的基本过程：（1）根据问题所属学科中的规律、定律、公式，用微分方程与初始条件进行描述。F(y,y,y,y(n),t)=0 y(0)=y0,y(0)=y1,y(n-1)(0)=yn-1 而y=y;y(1);y(2);,y(m-1)，n与m可以不等求解具体ODE的基本过程：),(),(),(21

5、21ytfytfytfyyyynn nnyyyyyyy10210)0()0()0(不同求解器Solver的特点求解器SolverODE类型特点说明ode45非刚性一步算法；4，5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达(x)3大部分场合的首选算法ode23非刚性一步算法；2，3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达(x)3使用于精度较低的情形求解器SolverODE类型特点说明ode113非刚性多步法；Adams算法；高低精度均可到10-310-6计算时间比ode45短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法；Gears反向数值微分；精度中等若ode45失效

6、时，可尝试使用不同求解器Solver的特点求解器SolverODE类型特点说明ode23s刚性一步法；2阶Rosebrock算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短ode23tb刚性梯形算法；低精度当精度较低时，计算时间比ode15s短参数设置属性名取值含义AbsTol有效值：正实数或向量缺省值：1e-6绝对误差对应于解向量中的所有元素；向量则分别对应于解向量中的每一分量RelTol有效值：正实数缺省值：1e-3相对误差对应于解向量中的所有元素。在每步(第k步)计算过程中，误差估计为：e(k)=max(RelTol*abs(y(k),AbsTol(k)参数设置属性名取值含义NormC

7、ontrol有效值：on、off缺省值：off为on时，控制解向量范数的相对误差，使每步计算中，满足：norm(e)1缺省值：k=1若k1，则增加每个积分步中的数据点记录，使解曲线更加的光滑参数设置属性名取值含义Jacobian有效值：on、off缺省值：off若为on时，返回相应的ode函数的Jacobi矩阵Jpattern有效值：on、off缺省值：off为on时，返回相应的ode函数的稀疏Jacobi矩阵参数设置属性名取值含义Mass有效值：none、M、M(t)、M(t,y)缺省值：noneM：不随时间变化的常数矩阵M(t)：随时间变化的矩阵M(t,y)：随时间、地点变化的矩阵MaxS

8、tep有效值：正实数缺省值：tspans/10最大积分步长例3 1)0(2xxx00.20.40.60.810.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951time t0=0,tt=1x values x(0)=1例4 20)0(30)0(04.002.001.01.02121222111xxtxxxxtxxxx 运行命令文件runf3.m t,x=ode45(function3,0,20,30;20);plot(t,x);xlabel(time t0=0,tt=20);ylabel(x values x1(0)=30,x2(0)=20);05101520020406080100120time t0=0,tt=20 x values x1(0)=30,x2(0)=20例5 0)0(,1)0(01)1(222yydtdyydtyd 1)1(,2212222121 xxdtyddtdxxdtdydtdxdtdyxyx，则，则令令 创建函数function4，存在function4.m中 function f=function4(t,x)global U f=x(2);U*(1-x(1)2)*x(2)-x(1);