D7-8常系数非齐次线性微分方程课件.ppt
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- 关 键 词:
- D7_8 系数 非齐次 线性 微分方程 课件
- 资源描述:
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1、常系数非齐次线性微分方程 第八节型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、第七章)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法)(exQx)()2(xQp)()(2xQqp)(exPmx一、一、型)(e)(xPxfmx 为实数,)(xPm设特解为,)(e*xQyx其中 为待定多项式,)(xQ)()(e*xQxQyx)()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原
2、方程,得)(xQ)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式.)(xfyqypy(1)若 不是特征方程的根,02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为.)(e*xQymxQ(x)为 m 次待定系数多项式(2)若 是特征方程的单根,02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式,故特解形式为xmxQxye)(*(3)若 是特征方程的重根,02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmxQxye)(*2小结小结 对方程,)2,1,0(e)(*kxQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.)(xQ)()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的
3、 k 重根 时,可设特解例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解:本题而特征方程为,0322 rr不是特征方程的根.设所求特解为,*10bxby代入方程:13233010 xbbxb比较系数,得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0例例2.xxyyy2e65 求方程的通解.解解:本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxCCY3221ee设非齐次方程特解为xbxbxy210e)(*比较系数,得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.e)1(*221xxxy3,221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxCCy322
4、1ee.e)(2221xxx,2例例3.求解定解问题 0)0()0()0(123yyyyyy解解:本题特征方程为,02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得,12b故,*21xy0321CCC21322CC2,1,0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xCe2xC23e原方程通解为x211Cy xCe2xC23e由初始条件得0432CC,0于是所求解为xyxx21e41e432解得)ee423(412xxx41 143321CCC二、二、型xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第二步第二步 求出如下两个方程的特解x
5、mxPyqypy)i(e)(yqypy分析思路:第一步第一步将 f(x)转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点xmxP)i(e)(第一步第一步利用欧拉公式将 f(x)变形xxfe)(i2)(2)(xPxPnlx)i(ei2)(2)(xPxPnlx)i(exmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(则令,maxlnm)(xPl2eeiixx)(xPni2eeiixx 第二步第二步 求如下两方程的特解 i是特征方程的 k 重根(k =0,1),xmkxQxy)i(1e)()(次多项式为mxQm故xmxPyqyp
6、y)i(111e)()()(等式两边取共轭:xmxPyqypy)i(111e)(1y这说明为方程 的特解.xmxPyqypy)i(e)(xmxPyqypy)i(e)(设则 有特解:第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:11*yyy xkxexmxmQQiiee原方程 yqypy xxPxxPnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQm xkxexRmcosxRmsinmmRR,其中均为 m 次多项式.xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(第四步第四步 分析的特点yxRxRxyyymmxksincose11因11
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