4-振动和波动复习(带习题)课件.ppt

1、半波损失半波损失)2cos(2cos2211221 tuxAyyy驻波驻波2022-12-31例：如图，一平面余弦波沿例：如图，一平面余弦波沿X轴正向传播，在轴正向传播，在X=L处有处有 一一无能损无能损的理想反射面，但出现的理想反射面，但出现半波损失半波损失。已知入射。已知入射 波经过坐标原点时原点的振动方程为：波经过坐标原点时原点的振动方程为：)2cos(tAy求：求：1、反射波的波函数；、反射波的波函数；2、合成波的波腹波节位置。、合成波的波腹波节位置。oXLuu解：（解：（1）入射波的波函数入射波的波函数：cos()2xyAtu入入射波传播到反射面处的振动方程（入射波传播到反射面处的振

2、动方程（X=L）：）：cos()2LyAtu入L2022-12-32入射波在反射点的相位为：入射波在反射点的相位为：反射波在反射点的相位为：反射波在反射点的相位为：()2Ltu因在反射点有因在反射点有半波损失（相位突变）半波损失（相位突变）2)(uLt2022-12-33cos()2LyAtu入L()2Ltu2cos()2xLAtu2022-12-34则反射波方程为：则反射波方程为：cos()()2LyAtLxuu反反射波在反射点的相位为：反射波在反射点的相位为：()2LtuoXLuuoXLuu2)(cosuxtAy入2)2(cosuLxtAy反2、不难求出合成波为驻波、不难求出合成波为驻波2

3、cos2cos2coscos2cos()cos()2xLLyAtuu合2022-12-352cos()cos()2xLLyAtuu合由由u2波节位置在（波节位置在（x=L处应为波节处应为波节）2xLk0,1,2,3k 波腹位置在波腹位置在(21)4xLk0,1,2,3k 2022-12-367 例例 如图，一列沿如图，一列沿x轴正向传播的简谐波轴正向传播的简谐波方程为方程为 在在1，2两种介质分界面上点两种介质分界面上点A与坐标原点与坐标原点O相距相距L=2.25 m。已知介质。已知介质2的波阻大于介质的波阻大于介质1的波阻，反射波与入射波的振幅相等，的波阻，反射波与入射波的振幅相等，求：求：

4、（1）反射波方程；反射波方程；（2）驻波方程；驻波方程；（本题留作课下自主练习）（本题留作课下自主练习）（3）在在OA之间波节和波腹的位置坐标。之间波节和波腹的位置坐标。yLOAx123110cos200(t/200)(m)yx812.25m(0,1,2,)4xnn0.25 m,1.25 m,2.25 mx波节坐标波节坐标波腹坐标波腹坐标12.25 m(1,2,)4xnn0.75m,1.75mx2022-12-3反射波方程为：反射波方程为：3210cos200()2002xty(m)3122 10 cos()cos(200)44yytyx 2022-12-39五、五、振动的简正模式振动的简正模

5、式 两端固定两端固定的弦线形成的弦线形成驻波驻波时，波长时，波长 和弦线长和弦线长 应满足应满足 n2nnl,2,12nlunnl2022-12-310,2,12nnln 两端两端固定固定的弦振动的简正模式的弦振动的简正模式21l222l233l2022-12-311一端一端固定固定一端一端自由自由的弦振动的简正模式的弦振动的简正模式,2,12)21(nnln41l432l453l复习复习2022-12-3121、简谐振动的描述、简谐振动的描述22020vxA00tanxvmk,T,(t),(t)Axv（1）谐振方程：）谐振方程：x=Acos(t+)三个特征量三个特征量振幅：振幅：初相：初相：

6、角频率：角频率：由初始条件（由初始条件（x0,v0）决定）决定由系统自身固有性质所决定由系统自身固有性质所决定（2）振动曲线：由）振动曲线：由x-t曲线可获得如下信息曲线可获得如下信息相位2022-12-313)2 cos(tAv)cos(2tAa2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa（3）旋转矢量）旋转矢量：以角速度：以角速度沿逆时针方向匀速转动的沿逆时针方向匀速转动的旋转旋转矢量矢量 的端点在的端点在X轴上的投影点的运动为简谐运动轴上的投影点的运动为简谐运动。A2022-12-3142 2、简谐振动的特征、简谐振动的特征（1）运动学特征）运动学特征:（2）动力学特征）动力学特征:（3

7、）能量特征）能量特征:kxFxa2221kAEEEpk221mvEk221kxEp2022-12-3153、同方向同频率的振动合成、同方向同频率的振动合成111()cos()x tAt，)cos()(222tAtx)cos()()()(21 tAtxtxtx式中：式中：)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg2022-12-316力学谐振系统中的振动势能力学谐振系统中的振动势能讨论讨论221kxEp222212121kAkxmEEEpkv简谐运动能量特征：简谐运动能量特征：Ep一定是弹性势能吗？一定是弹性势能吗？振动势能振动势能221kx

8、Ep弹性势能弹性势能重力势能重力势能弹性势能和重力势能之和弹性势能和重力势能之和答：不一定答：不一定水平放置的弹簧振子水平放置的弹簧振子单摆，复摆单摆，复摆竖直放置的竖直放置的弹簧振子弹簧振子平衡位置平衡位置处为势能处为势能零点零点2022-12-317gmfTCO对于对于单摆单摆kxxlmgmgmgFsin 以最低点以最低点O(平衡位置平衡位置)处为重力势处为重力势能零点，则任一位置处的重力势能为能零点，则任一位置处的重力势能为)cos(1mglEp!cos6421642!cos,2152 2211mglmglEp)cos(lx又222212121kxxlmglxmglEp)(竖直放置的弹簧

9、振子情形见习题集例竖直放置的弹簧振子情形见习题集例123（P.201)2022-12-318第十五章第十五章 机械波机械波复习复习2022-12-3191、波的几何描述、波的几何描述波线；波面；惠更斯原理波线；波面；惠更斯原理2、平面简谐波的波动方程、平面简谐波的波动方程（1）波动特征量）波动特征量波的频率波的频率 ：波场中媒质质元振动的频率波场中媒质质元振动的频率波速波速 u：单位时间内振动传播的距离单位时间内振动传播的距离波长波长 ：沿波的传播方向两相邻的同相点沿波的传播方向两相邻的同相点 之间的距离之间的距离由波源所决定由波源所决定取决于传播介质的性质取决于传播介质的性质一个周期内，振动

10、状态所传播的距离一个周期内，振动状态所传播的距离一个完整波形的长度一个完整波形的长度u2022-12-320（2）平面简谐波的波动方程）平面简谐波的波动方程)(cosuxtAy cos2()cos()txyATAtkx2022-12-321(a)画不同时刻波形图画不同时刻波形图 y-x(b）波程差引起的相差）波程差引起的相差(c)由波形图画任一点由波形图画任一点p振动曲线振动曲线 y-t或旋转矢量或旋转矢量(d)振动速度振动速度v与波速与波速u 的区别的区别2/x讨论讨论坐标系选择对波动方程有何影响？坐标系选择对波动方程有何影响？（1）坐标轴正向的选取）坐标轴正向的选取)(cosuxtAy 其

11、中负号表示沿其中负号表示沿X轴正向传播，正号表示沿轴正向传播，正号表示沿X轴轴负向传播负向传播。我们可我们可任选一波射线作为任选一波射线作为X轴轴，通常沿波的通常沿波的传播方向取传播方向取X轴正向轴正向。但在波的叠加问题中，。但在波的叠加问题中，就会碰到两列沿相反方向传播的波，这时只能就会碰到两列沿相反方向传播的波，这时只能在同一坐标系中处理问题，这就不可避免地要在同一坐标系中处理问题，这就不可避免地要建立沿建立沿X轴负向传播的波动方程轴负向传播的波动方程。2022-12-322（2）坐标原点的选取）坐标原点的选取坐标原点不一定要选在波源上，原则上可以选取波线上坐标原点不一定要选在波源上，原则

12、上可以选取波线上任一点作为坐标原点。坐标原点选取不同，所建立的波任一点作为坐标原点。坐标原点选取不同，所建立的波动方程也有所不同。（动方程也有所不同。（a)波动相位不同（波动相位不同（b)波动方程的波动方程的适用范围不同适用范围不同。l波源波源u例：例：波源波源在在 处处)(cosuxtAyOXY波源波源ul波源波源u适用于适用于)(x例：例：波源波源在在 处处例：例：波源波源在在x=l处处)(cosuxtAy)(cosuxtAy适用于适用于)(xl 对对X轴整个区域均轴整个区域均不适用不适用)(cosulxtAy)(lx 2022-12-323xl 根据已知条件，写出波线上某点根据已知条件，

13、写出波线上某点 A的的 振动方程（振动方程（A点不一定是波源、原点）点不一定是波源、原点）(B)建立坐标系建立坐标系(C)在坐标轴上任选一点在坐标轴上任选一点P，求出，求出P点相对点相对 于于A点振动所点振动所落后落后（或（或超前超前）的时间）的时间(D)将振动方程中的将振动方程中的t 减去减去（或（或加上加上）这段）这段 时间即可得波动方程时间即可得波动方程2022-12-324（3）建立平面简谐波的波动方程的方法）建立平面简谐波的波动方程的方法3 3、波的能量传输、波的能量传输（1 1）机械波的能量和能量密度）机械波的能量和能量密度（A A）弹性质元）弹性质元 中的能量中的能量dV)(si

14、n)(uxtAdVdWdWdWpk222（B B）能量密度）能量密度uxtAddW 222sinV=w平均能量密度：平均能量密度：2221Aw2022-12-325（2 2）波的强度）波的强度（A）能流（能流（单位时间通过介质中某一垂直截面的能量）单位时间通过介质中某一垂直截面的能量）wuSP 平均能流平均能流uxtAuS 222sinuSwP 2221AuS（B）波的强度波的强度（单位时间内通过单位截面所传递的平均能量）（单位时间内通过单位截面所传递的平均能量）uAuwSPI22212022-12-3264、波的相干叠加波的相干叠加（1）波的干涉的概念：在相干波的相遇处）波的干涉的概念：在相

15、干波的相遇处，形形 成稳定的、有规律的振动强弱分布的现象成稳定的、有规律的振动强弱分布的现象。（2）波的）波的相干条件相干条件：同频率，同振动方向，相位：同频率，同振动方向，相位 差恒定差恒定。（3）波的干涉加强减弱条件）波的干涉加强减弱条件12122rr)()(122kk加强加强减弱减弱2022-12-3275、驻波驻波（1）驻波的形成：）驻波的形成：沿相反方向传播的两列等幅相干波沿相反方向传播的两列等幅相干波（2）驻波的表达式）驻波的表达式cos()cos(2 cos(2)cos()xxyAtAtuuxAt21)(cos)(cosuxtAuxtAy21122 coscos()22xAtu2

16、022-12-328（3）驻波的特征）驻波的特征（A）各点的振幅）各点的振幅xAA22cos合随随x作空间周期性变化，不随时间改变作空间周期性变化，不随时间改变,2102kkx 波腹的位置为波腹的位置为：,)(210124kkx 波节的位置为波节的位置为：（B）各点的相位）各点的相位相邻节点间各点同相位，一个节点两侧各点反相位。相邻节点间各点同相位，一个节点两侧各点反相位。（C）驻波的能量）驻波的能量势能集中在波节附近，动能集中在波腹附近。势能集中在波节附近，动能集中在波腹附近。动能势能不断来回转换，平均能流为零。动能势能不断来回转换，平均能流为零。2022-12-3291、一平面简谐波在介质

17、中以速度、一平面简谐波在介质中以速度u=20m/s自左向自左向右传播，已知在传播路径上的某点右传播，已知在传播路径上的某点A的振动方程的振动方程为为 ，另一点，另一点D在点在点A右方右方9m处。处。（典型题典型题）（1）若取）若取x轴方向向轴方向向左左，并以，并以A为坐标原点，试为坐标原点，试 写出波动方程，并求出写出波动方程，并求出D点的振动方程。点的振动方程。（2）若取）若取x轴方向向轴方向向右右，以，以A左方左方5m处的处的O点作点作 为坐标原点，重新写出波动方程，并求出为坐标原点，重新写出波动方程，并求出D 点的振动方程。点的振动方程。3cos 4ytSI2022-12-3303cos

18、 4ytSI解解:(1)A点振动方程已知点振动方程已知X轴上任意位置坐标为轴上任意位置坐标为x的的P点比点比A点的振动相位点的振动相位超前超前uxP点的振动相位为点的振动相位为)(4uxt所以波动方程为：所以波动方程为：(SI)(4cos3uxtyD点的振动方程为点的振动方程为(SI)544cos(3 )209(4cos3ttyDAPxu2022-12-3313cos 4ytSI解解:(2)A点振动方程已知点振动方程已知X轴上任意位置坐标为轴上任意位置坐标为x的的P点比点比A点的振动相位点的振动相位落后落后ux5P点的振动相位为点的振动相位为)5(4uxt所以波动方程为：所以波动方程为：(SI

19、)205(4cos3xtyD点的振动方程为点的振动方程为：(SI)20514(4cos3tyPAOxu2022-12-3322、一平面简谐波沿、一平面简谐波沿x轴正方向传播，波的振幅轴正方向传播，波的振幅A10cm，波的圆频率，波的圆频率 。当。当 t1.0s时时x10cm处的处的a质点正通过其平衡位置向质点正通过其平衡位置向y轴负方向轴负方向运动，而运动，而x20cm处的处的b质点正通过质点正通过y5.0cm向向y轴轴正方向运动。设该波正方向运动。设该波波长波长 ，求该平面求该平面波的表达式。波的表达式。17 rad s10cmuOab解解Oaby2022-12-333由波的传播方向知由波的传播方向知b点的相位落后于点的相位落后于aabxx 2由画出的旋转矢量图得由画出的旋转矢量图得b点的相位落后于点的相位落后于a65652abxx因此求出波长因此求出波长m24.0因平面简谐波沿因平面简谐波沿x轴正方向传播，所以波动方程为轴正方向传播，所以波动方程为)(24.027cos(10.0 )2cos(SIxtxtAy2022-12-334旋转矢量图得旋转矢量图得a点在点在t=1s相位为相位为2)(24.027cos(10.0y SIxt20.1 710.242 3Oaby2022-12-335作业作业13章：章：41，43，47，51，55，562022-12-336