2-1-高斯消元法与矩阵的初等变换课件.ppt

1、2022-12-3线性代数教学课件1第一节第一节 高斯消元法与矩阵的初等变换高斯消元法与矩阵的初等变换第二章第二章 矩矩 阵阵 第二节第二节矩阵的运算矩阵的运算第三节第三节 特殊矩阵特殊矩阵第四节第四节 逆矩阵逆矩阵第五节第五节 分块矩阵分块矩阵 第六节第六节 利用初等变换求逆矩阵利用初等变换求逆矩阵 第七节第七节 矩阵的秩矩阵的秩2022-12-3线性代数教学课件2第第一一节节 高高斯斯消消元元法法与与矩矩阵阵的的初初等等变变换换 一一 消消元元法法解解方方程程二二、矩矩阵阵的的定定义义 三三 矩矩阵阵的的初初等等变变换换 四四 方方程程组组的的求求解解问问题题 六六 结结论论 思思考考题题

2、五五 利利用用 G Ga au us ss s 消消员员元元法法求求解解线线性性方方程程 2022-12-3线性代数教学课件3第一节第一节 高斯消元法与矩阵的初等变换高斯消元法与矩阵的初等变换 对于包含 个未知数 个方程的方程组，或未知数系数形成的行列式值是零的方程组的解的存在条件和解法和解的个数。一般考虑 个方程 个未知数的线性方程组 n nnmmn2022-12-3线性代数教学课件4 301233231bxxxx (3)300011102301321bbxxxi 方方 程程 组组(3 3)是是 方方 程程 组组(2 2)同同 解解 的的 梯梯 形形 方方 程程 组组。如如 果果 3b方方

3、程程 组组(3 3)无无 解解，从从 而而 方方 程程 组组(2 2)无无解解。当当 3b 时时，方方程程组组(3 3)改改写写为为 3231132xxxx 其其中中变变量量 3x可可自自由由选选取取，令令 kx3 代代入入上上式式，得得到到 2022-12-3线性代数教学课件5消元法解方程消元法解方程 1.1.变换两个方程的位置；变换两个方程的位置；2.2.用非零常数乘某一个方程；用非零常数乘某一个方程；3.3.将某一个方程的常数倍加到另一个将某一个方程的常数倍加到另一个方程上。方程上。上述三种变换称为线性方程组的初等变换。初等变换上述三种变换称为线性方程组的初等变换。初等变换可逆，方程组可

4、逆，方程组(1)(1)经过上述三种初等变换后得到的新方程经过上述三种初等变换后得到的新方程组与方程组组与方程组(1)(1)有相同的解，即方程组的初等变换是方程有相同的解，即方程组的初等变换是方程组的同解变换。组的同解变换。2022-12-3线性代数教学课件6例例 1 1 bxxxxxxxx323213213315202 (2)(2)对应系数对应系数 bbxxxi33011520121321 用用2乘第一个方程后加到第二个方程上，得到乘第一个方程后加到第二个方程上，得到 bxxxxxxx321232133102 bbxxxi33011100121321 用用2乘第二个方程后加到第一个方程上；再用

5、乘第二个方程后加到第一个方程上；再用3乘第二乘第二个方程后加到第三个方程上，得到个方程后加到第三个方程上，得到 2022-12-3线性代数教学课件7将 方 程 组 系 数 的 变 化 用 数 表 表 示 成 下 面 的 形 式3000111023013301110012133011520121bbb kxkxkx321132 由由常常数数k的的任任意意性性可可知知，方方程程组组(2 2)有有无无穷穷多多解解。2022-12-3线性代数教学课件8二、矩阵的定义二、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij,2,1;,2,1 mnmmnnaaaaaaa

6、aa212222111211记作记作称为称为 行行 列矩阵列矩阵.简称简称 矩阵矩阵.mnm n2022-12-3线性代数教学课件9 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为简记为 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩阵矩阵nmA,.,简简称称为为元元的的元元素素个个数数称称为为这这Anm 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.主对角线主对角线副对角线副对角线2022-12-3线性代数教学课件10例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩

7、阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 2022-12-3线性代数教学课件11特特殊殊矩矩阵阵：*方方阵阵 nnijaA)(*单单位位阵阵 E或或nE 主主对对角角线线上上的的元元素素为为 1 1，其其余余元元素素全全为为零零的的n阶阶方方阵阵 *行矩阵行矩阵 当当1m *列矩阵列矩阵当当1n naaaA11211 12111maaaA 2022-12-3线性代数教学课件12零矩阵零矩阵 0 元素全等于零的元素全等于零的*矩阵矩阵 定义定义 2 2 矩阵的矩阵的初等变换初等变换 (1 1)法法换换变变换换 jirr 或

8、或 jicc (2)倍倍法法变变换换 irk 或或 jrk，这这里里 0k (3)(3)消法变换消法变换 jirrk 或或 jicck。2022-12-3线性代数教学课件13阶阶梯梯形形矩矩阵阵特特点点:(1)每一非零行第一个非零元素等于1(2)各行非零元素之前的零元素的个数随着行的序数增加而增加 形如 000000*10000*100*10*1 100031107501B 2022-12-3线性代数教学课件14定定理理 1 1 任任意意一一个个nm矩矩阵阵 nmijaA)(，经经过过有有限限次次初初等等行行变变换换和和列列的的换换法法变变换换可可以以化化为为矩矩阵阵 2022-12-3线性代

9、数教学课件15B 其中的左上角是一个r阶单位阵，,minnmr。称。称为为 “B型阵”型阵”标准形矩阵标准形矩阵 I:B型矩阵中型矩阵中 )1,(0nrjmricij 2022-12-3线性代数教学课件16推论推论 任意一个任意一个nm 矩阵矩阵A都可以经过有限次都可以经过有限次初等变换化为一个标准型矩阵初等变换化为一个标准型矩阵I。特特别别熟熟练练将将一一个个矩矩阵阵用用初初等等变变换换化化成成B型型矩矩阵阵：例 1565422812610421270200 step 1.第第一一列列不不全全是是零零，将将11a变变为为非非零零，21rr 1565421270200281261042 202

10、2-12-3线性代数教学课件17step 2.将11a变成单位1，121r 1565421270200146311step 3.将第一列，除11a外都变为零，312rr 2917050012702001463521 2022-12-3线性代数教学课件18step 4.从第二行以下重复前边过程，221r 2917050062701001463521 step 5.325rr 1210000627010014635212022-12-3线性代数教学课件19step 6.将矩阵化成将矩阵化成 B型矩阵型矩阵 32 r 21000062701001463521 2022-12-3线性代数教学课件20方

11、程组的求解问题方程组的求解问题 考虑方程组考虑方程组(1)(1)对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组 0.00221122221211212111nmnmmnnnnxaaxaxaxaxaxaxaxaxa (2)(2)方方程程组组（2 2）系系数数矩矩阵阵A经经过过有有限限次次初初等等变变换换可可以以化化成成B型型矩矩阵阵。BA有限次初等变换 B对对应应的的线线性性方方程程组组(3 3)与与原原方方程程组组(2 2)是同解方程组。2022-12-3线性代数教学课件21讨论方程组讨论方程组(3)(3)*如果如果nr ,（3 3）从而方程组（从而方程组（2 2）只有零解没有）只有零解没有非零解，

12、非零解，0,0,021nxxx *如果如果nr ,)4()3(2022-12-3线性代数教学课件22由于k的任意性，所以(5)有无穷组，从而方程组(2)亦有无穷多组解。(4)式称为方程组(2)的通解或一般解。通解或一般解。*当 nm 时，显然 nr，方程组(2)有无穷多组解。2022-12-3线性代数教学课件23在(4)中，令 nnrrkxkxkx,2r21r1；其中),2,1(nrriCki，称为 自由未知量.方程组(3),从而方程组(2)的解为 2022-12-3线性代数教学课件24非齐次线性方程组(1)的解的讨论 00000000000100010001)()(1122121111rrr

13、nrrnrnrddccdccdccdBBdAA (6)2022-12-3线性代数教学课件25对应增广矩阵B 的线性方程组是：1122122111110.rrnrnrrrnnrrnnrrddxccxdxcxcxdxcxcx （7）*如果nr 并且 01rd，方程组(7)从而方程组（1）无解，*0,1rdnr 或者 nr 方程组(7)从而方程组(1)的同解方程是 2022-12-3线性代数教学课件26*当 nr 时方程组(1)有唯一解 rrdxdxdx,2211*当 nr 时方程组(1)有无穷多解 2022-12-3线性代数教学课件27其中 nrriCki,2,1 称为自由未知量自由未知量。(9)

14、是方程组(7),从而是方程组(1)的解。称(9)是方程组(1)的通解或一通解或一般解般解。2022-12-3线性代数教学课件28利利用用 G Ga au us ss s 消消员员元元法法求求解解线线性性方方程程 解解：6184806251501050013425620020231A2022-12-3线性代数教学课件29进行行初等变换进行行初等变换,221rr 312rr 6180840051501050013021000020231A 242321,4,5rrrrr 2600000000000013021000020231A 212rr 2022-12-3线性代数教学课件302022-12-3

15、线性代数教学课件310,634dr 方方程程有有解解，其其同同解解方方程程是是：310202436435421xxxxxxx 3122436435421xxxxxxx2022-12-3线性代数教学课件32取 352412,kxkxkx 称为自由未知自由未知量量245,xxx 是是 原原 方方 程程 的的 自自 由由 未未 知知 量量。由由 自自 由由 未未知知 量量 的的 任任 意意 性性，原原 方方 程程 有有 无无 穷穷 多多 解解。2022-12-3线性代数教学课件33结结 论论关关于于非非齐齐次次方方程程组组(1 1)的的解解，以以下下结结论论成成立立 (1)(1)有解有解 (充分必要

16、条件充分必要条件)n0,1rdnrr或且 (1 1)有有唯唯一一解解(1 1)有有解解，且且 .nr (1)(1)有无穷多解有无穷多解 (1)(1)有解，且有解，且,nr 其中其中 r是方程组是方程组(1)(1)系数矩阵系数矩阵 A 的的 B 型矩阵不等于型矩阵不等于零的行数零的行数 m 是是(1)(1)的方程组的个数的方程组的个数 n 是方程是方程组组(1)(1)的未知数的个数。的未知数的个数。2022-12-3线性代数教学课件34思考题思考题矩阵与行列式的有何区别矩阵与行列式的有何区别?2022-12-3线性代数教学课件35思考题解答思考题解答 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个矩阵仅仅是一个数表数表，它的行数和列数可以不同，它的行数和列数可以不同.