(常微分方程)第3章线性方程课件.ppt

1、第3章线 性 方 程 第第3章线章线 性性 方方 程程 3.1 引言引言 3.2 解的存在性与唯一性解的存在性与唯一性 3.3 齐次线性方程组通解的结构齐次线性方程组通解的结构 3.4 非齐次线性方程组通解的结构非齐次线性方程组通解的结构 3.5 边值问题和周期解边值问题和周期解 3.6 高阶线性方程高阶线性方程 3.7 线性微分方程的一些求解方法线性微分方程的一些求解方法 3.8 线性方程的复值解线性方程的复值解 第3章线 性 方 程 3.1引言引言 在第2章中，我们介绍了解微分方程的一些初等积分法，利用这些方法，人们可以求得方程的通解表达式.然而，能用初等积分法解出的微分方程是很少的.这就

2、迫使人们将注意力转移到直接根据方程的结构以及出现在方程中的函数的性质去探索解的各种性质，建立方程的各种理论.本章至第5章所要讲述的就是沿着这个方向建立的基本理论和基本方法.第3章线 性 方 程 本章研究一类具有特殊结构的方程，即线性方程.这类方程，虽然结构简单，但一般不能用初等积分法求得它的通解表达式.然而，人们可直接根据方程的特点，从理论上推断它的通解具有简单而清晰的结构.这一重要事实不仅是线性方程理论的基石，而且在非线性方程的研究中也有着重要的应用.第3章线 性 方 程 由于高阶微分方程式总可以化成一阶微分方程组，因此本章将首先研究一阶线性微分方程组，然后将一阶线性微分方程组的结果应用到高

3、阶线性微分方程式上.所谓一阶线性微分方程组,是指形如 11111111d()()(),dd()()()dnnnnnnnnxat xat xf ttxat xat xf tt(3.1)的方程组，它的右端是x1,xn的线性函数，这里aij、fi(i,j=1,n)都是区间I上的已知函数.第3章线 性 方 程 为了书写方便，引进向量和矩阵记号.记1111111d()()()dd,(),().dd()()()dnnnnnnnxxatatf tttttxxatatf ttxxAf则方程组(3.1)可以简写为 d()(),dtttxAxf(3.2)其中,A(t)和f(t)分别称为系数矩阵和非齐次项.当非齐次

4、项f(t)0时，式(3.2)变成 d(),dttxAx(3.3)第3章线 性 方 程 它称为齐次线性微分方程组齐次线性微分方程组.而当非齐次项 ，即fi(t)(i=1,n)不都恒等于零时，式(3.2)称为非齐次线性微分非齐次线性微分方程组方程组.初值条件),2,1(,)(0nitxii()t f0也可简记为 0(),tx其中为维列向量，即向量的转置.以后凡谈到向量，如无特殊说明，都是指列向量.为了便于对写成向量和矩阵形式的微分方程组(3.2)进行讨论，我们引进一些记号和概念.第3章线 性 方 程 称一矩阵（包括作为特殊矩阵的向量）函数是连续（或可微，或连续可微连续可微，等等）的，指的是它的每一

5、个元素都是连续（或可微，或连续可微，等等）的；一矩阵函数的导数（或积分积分，或极限极限）,是指这样一个矩阵函数，它的各个元素是原矩阵的相应元素的导数（或积分，或极限）；称一矩阵函数序列是收敛收敛（或在区间上一致收敛）的，指的是它的每一个相应元素作成的序列是收敛（或在区间I上一致收敛）的.如果11111,nnnnnxaaxaaxA第3章线 性 方 程 则记 111,nnniijiijxaxA而依次称为向量x和矩阵A的模，也称为范数.从定义出发，容易推出如下几个不等式：(1)|Ax|A|x|.(2)若B也是nn矩阵，则|AB|A|B|；特别对任意自然数m，有 mmAA第3章线 性 方 程(3)三角

6、不等式：若y也是n维向量，则|x+y|x|+|y|.(4)若x(t)是n维向量，且在atb上连续，则()d()dbbaattttxx第3章线 性 方 程 3.2解的存在性与唯一性解的存在性与唯一性对于一个不能用初等积分法求解的微分方程，首要问题是，它是否有解？更明确地说，是否有满足给定初值条件的解？进而还要问：满足给定初值条件的解是否唯一？这些问题得不到满意的回答，就很难再谈关于这一方程的其他研究.下面的定理就线性方程组的情形对上述问题给出了完满的回答，它是线性微分方程理论的基础.第3章线 性 方 程 定理定理3.1设A(t)和f(t)均在区间I上连续，则对任一t0I和任意n维常向量,方程组(

7、3.2)恒有定义在整个区间I上且满足初值条件式(3.4)的解.此外，方程组(3.2)也只能有一个解满足初值条件式(3.4).证明证明这个定理的证明分4步完成.(1)把初值问题式(3.2)、(3.4)化成下述等价的积分方程组：0()()()()d,tttssssxAxf(3.5)等价的意思是：如果x=(t)是初值问题式(3.2)、(3.4)的解，则它是积分方程组(3.5)的连续解；反之，如果x=（t)是积分方程组(3.5)的连续解，则它必是初值问题式(3.2)、(3.4)的解.这样一来，我们就只需证明：积分方程组(3.5)在区间I上有连续解，且只能有一个连续解.第3章线 性 方 程(2)用逐步逼

8、近法构造皮卡（Picard,1856-1941）序列，即 0(),t01()()()()d,1,2,.tkkttsssskAf用数学归纳法容易证明，k(t)(k=1,2,)在区间I上有定义且连续.第3章线 性 方 程(3)证明序列k(t)在区间I内一致收敛（即在I的任意有限闭子区间上一致收敛），且其极限函数是积分方程组(3.5)在区间I上的连续解.事实上，假设I1是I的一个任意给定的有限闭子区间，且t0I1.由序列与级数的关系知，只需证明无穷级数 11)()(mmmtt(3.7)在I1上一致收敛.以K表示|A(t)|和|A(t)+f(t)|在I1上的一个公共上界.于是当tI1时,有 0100(

9、)()()()d.ttttsssK ttAf第3章线 性 方 程 用数学归纳法容易证明，对任意自然数m，有.,!)()(101ItmttKttmmmm由此即见无穷级数(3.7)，从而序列)(tk于1I上一致收敛.显然每一个)(tk都在1I上连续，因此序列)(tk的一致极限)(t也在1I上连续.在(3.6)中令k，根据)(tk的一致收敛性，就得到 01()()()()d,tttsssstIAf第3章线 性 方 程 即)(tx是积分方程组(3.5)在1I上的一个连续解.既然)(tk在I的任何含0t的有限闭子区间上都一致收敛，特别它就在I上处处收敛，其极限函数仍记为)(t.函数)(t既然在I的任何含

10、0t的闭子区间上是(3.5)的连续解，它当然在整个I上也是如此.第3章线 性 方 程(4)证明唯一性，即证明：如果x=(t)，在区间 上是方程组(3.5)的连续解，且t0I0，则在I0上必有 II 0)()(tt(3.8)为此，设1I为0I的任一有限闭子区间，且10It，以N表示)(tA和)()(tt在1I上的一个公共上界.由(3.5)知，当1It 时 00()()()()()d()()d.ttttttssssNsssA(3.9)于是我们有.,)()(102ItttNtt第3章线 性 方 程 把它代入式(3.9)右端，进而得到.,!2)()(1203ItttNtt用数学归纳法容易证明，对任意自

11、然数m，有.,!1)()(101ItttNmttmm令m，即见(3.8)于1I上成立.由1I的任意性就知(3.8)必在0I上成立.定理全部证完.以下我们总假设()tA和()tf均于区间I上连续.将定理3.1应用于方程组(3.3)特别就有 第3章线 性 方 程 引理引理3.1方程组(3.3)的解，若在区间I的某点处为零（向量），则必在区间I上恒等于零（向量）.证明证明设x=x(t)是方程组(3.3)在I上的解，它在t0I处为零（向量）,则x=x(t)是方程组(3.3)满足初值条件x(t0)=0的解.由于x=0也是此方程组满足同一初值条件的解，因此根据定理3.1所指出的唯一性即知，必有(),.tt

12、Ix0引理证完.第3章线 性 方 程 注 3.1 定理 3.1 显然包含这样一个基本事实，即方程组(3.2)的任何解都能延拓到整个区间I上.为了说明这一点，设()tx为(3.2)的任一解，其定义区间为II 0.任取00It，并令0()t.根据定理 3.1，(3.2)于I上有解)(tx满足初值条件(3.4)，并且在0I上，.)()(tt 注注3.2皮卡迭代序列提供了近似求解方程组(3.2)的初值问题的方法.注注3.3设I=R1且A(t)和f(t)是以正数为周期的周期函数,x=(t)是方程组(3.2)在R1上的解，则(t)是以为周期的周期函数,当且仅当(0)=().第3章线 性 方 程 例例3.1

13、半径为R的球一半沉入水中，用手将其稍微向下按后放手，球即上下振动，求振动周期.解解以球原位置为坐标原点，x为球心位移.球密度(kg/m3)，水密度=1(kg/m3)，则有21233222201 4d()d()2 3d3xxxRgRxxgR xt 因x0(微振动)，故取近似微分方程为 xRgxR2332即，角频率Rg23，周期gRT322 第3章线 性 方 程 3.3 齐次线性方程组的通解的结构齐次线性方程组的通解的结构本节研究齐次线性方程组(3.3)的所有解所构成的集合的结构.因为任何解都能延拓到I上，所以我们只考虑那些在I上有定义的解.齐次线性方程组的最基本的性质是它的解具有可叠加性，即下面

14、的结论成立.第3章线 性 方 程 引理 3.2（叠加原理叠加原理）若)(1tx和)(2tx都是方程组(3.3)的解，则对任意常数)()(,221121tctcxcc都是方程组(3.3)的解.由叠加原理知，若已知(3.3)的n个解)(,),(1ttn，则含任意常数ncc,1的向量函数)()(11tctcxnn也是方程组(3.3)的解.但它未必是方程组(3.3)的通解.例如当1(t)0时，上式变成)()(22tctcxnn第3章线 性 方 程 它只含有个任意常数，又如当)()()(321ttt时，上式变成)()()()()(331221tctcctccxnn它实际上也只有n-1个任意常数.因此为了

15、使它能构成方程组(3.3)的通解，必须对解组1(t),n(t)之间的关系作适当限制，这就引出了一组向量函数线性相关和线性无关的概念.第3章线 性 方 程 如果有不全为零的常数1,m,使得 Itttmm,0)()(11(3.10)则称向量函数1(t),m(t)在区间I上是线性相关的.否则，要想式(3.10)成立，除非1=m=0，便称此m个向量函数在区间I上是线性无关的.第3章线 性 方 程 引理引理 3.33.3 设,0It)(,),(1ttm是区间I上方程组(3.3)的m个解，则)(,),(1ttm在区间I上线性相关的充要条件是向量组)(,),(001ttm线性相关.证明证明 若向量组)(,)

16、,(001ttm线性相关，则存在不全为零的常数m,1使得.0)()(0011ttmm根据引理 3.2，)()(11ttmm是(3.3)的解.它既然在0tt 处 为 零，由 引 理 3.1 便 知(3.10)必 成 立，即)(,),(1ttm于区间I上线性相关.引理的另一部分是显然的.第3章线 性 方 程 定理 3.2 设方程组(3.3)于区间I上有n个线性无关的解.如果)(,),(1ttm是区间I上(3.3)的n个线性无关的解，则含任意常数ncc,1的表达式)()(11tctcxnn(3.11)是方程组(3.3)的通解，确切地说，是方程组(3.3)的全部解的共同表达式，即对任意常数c1,cn，

17、向量函数(3.11)都是方程组(3.3)的解；反之，方程组(3.3)的任一解，都可以写成式(3.11)的形式.第3章线 性 方 程 证明 任 意取定一 点It 0和n个线性无 关的n维常向量n,1.对每一nii,1,，以)(txi表示方程组(3.3)满足初值条件itx)(0的解.由定理 3.1 知，此解存在且于I上有定义.由于向量组)(,),(001txtxn是线性无关的，根据引理 3.3 就知，)(,),(1txtxn于I上线性无关.设)(,),(1ttm是方程组(3.3)在I上的n个线性无关的解.则首先由引理 3.2 知，对任意常数ncc,1，(3.11)是方程组(3.3)的解.其次，若)

18、(tx是方程组(3.3)的任一解，取定It 0，由引理3.3 知，向量组)(,),(001ttn线性无关，从而由线性代数知，存在常数001,ncc，使得.)()()(0000101txtctcnn第3章线 性 方 程 根据引理 3.2，向量函数)()()(0101txtctcxnn是方程组(3.3)的解，而上式表明，它在0t处为零，故由引理 3.1 知，必有 Ittxtctcnn,0)()()(0101这表明解x(t)可以通过在式(3.11)中适当选取c1,cn而得到.第3章线 性 方 程 注注3.4定理3.2表明，方程组(3.3)的解的全体构成一个n维线性空间.方程组(3.3)的任意n个线性

19、无关的解合起来称为它的一个基本解组.如果以它们作为列向量排成一个n阶矩阵，则此矩阵称为方程组(3.3)的一个基本解矩阵.若以(t)表示方程组(3.3)的一个基本解矩阵，则可将表达式(3.11)简写为()t xc其中c=(c1,cn)T是任意的n维常向量.作为方程组(3.3)的基本解矩阵，(t)满足:d()()(),dttttItA(3.12)第3章线 性 方 程.,0)(detItt(3.13)式(3.12)之所以成立，是因为(t)的每一列都是方程组(3.3)在I上的解；式(3.13)之所以成立，是因为(t)的每一列都是方程组(3.3)的解，而且这n个解是线性无关的.顺便指出，对于n个一般的n

20、维向量函数，线性无关并不包含相应的n阶行列式不等于零，例如二维向量函数:0,01t在任意区间上线性无关，可是相应的行列式却恒等于零.第3章线 性 方 程 设有n个定义在区间I上的向量函数：,)()()(,)()()(11111ttttttnnnnn由它们排列而成的行列式:)()()()()(1111tttttWnnnn称为这n个向量函数的朗斯基(Wronski,1776-1853)行列式.第3章线 性 方 程 引理引理3.4(刘维尔公式刘维尔公式)若1(t),n(t)是方程组(3.3)的解，则它们的朗斯基行列式W(t)可表示为 00()()exp()d,ttW tW ttrA sstI其中t0

21、I可任意取定，而.)()()(11sasastrAnn证明证明由行列式的微商公式知 1d()()()dnW tW tW tt其中)(tWi是这样的n阶行列式，它的第i行元素是)(tW中第i行相应元素的微商，而除第i行元素外的其他元素仍是)(tW中的相应元素.注意到)(,),(1ttn是方程组(3.3)的解，由行列式的性质知 第3章线 性 方 程 nitWtatWiii,1),()()(可见x=W(t)是下述初值问题的解 1100d()(),()().dnnatattW ttxxx所以引理的结论成立.这个引理加强了前面的结论式(3.13).第3章线 性 方 程 注注3.5设1(t)和2(t)是方

22、程组(3.3)在区间I上的两个基本解矩阵,则存在非奇异常矩阵C，使得.,)()(12ItCtt注注3.6设I.若方程组(3.3)的基本解矩阵(t)满足初值条件()=E(n阶单位矩阵），则(t)称为状态转移矩阵.显然，对任一基本解矩阵(t),(t,)=(t)-1()是状态转移矩阵.容易证明：(1)状态转移矩阵(t,)与基本解矩阵(t)的选择无关；第3章线 性 方 程(2)(t,)关于变量t是矩阵方程 d()dYtt AY满足初值条件Y()=E的唯一解；(3)对任意t,I,(t,)是非奇异的，并且-1(t,)=(,t)；(4)对任意t,I,有(t,)=(t,)(,)；(5)方程组(3.3)的解x(

23、t,)有表达式),(),(tx第3章线 性 方 程 例例3.2证明函数组 时，时000,)(21xxxx时时0,0,0)(22xxxx在区间(-,+)上线性无关，但它们的朗斯基行列式恒为零.证明证明要证明1(x)、2(x)在(-,+)上线性无关，只需证明等式11(x)+22(x)=0对一切x成立，必须取1=2.实际上，若取10，对于x0,有)0(0020)(2xxxxW)0(0200)(2xxxxW即对所有的x，恒有W(x)=0.第3章线 性 方 程 例例3.3设在方程y+p(x)y+q(x)y=0中，p(x)在某区间I上连续且恒不为零，试证：它的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I上的

24、严格单调函数.证明证明设y1(x)、y2(x)是已知方程的定义在区间I上的任意两个线性无关的解.根据刘维尔公式，有 0()d0()()xxpW xW x e其中W(x0)0.考察 0()d0d()()()dxxpW xW xp x ex 第3章线 性 方 程 由 于)(,0)(0 xpxW在I上 恒 不 等 于 零，并 且0()d0 xxpe，故在I上d()dW xx恒为正或者恒为负，从而)(xW在I上是严格单调函数.第3章线 性 方 程 例例3.4求微分方程 022)4(2 yyxyx的通解.解解 可 以 验 证xy 1为 方 程 的 一 个 解.设 另 一 个 解 为xxuy)(2，代入方

25、程可解得422 xy.因21,yy线性无关，故所求通解为)4(221xCxCy下面给出通过建立数学模型来解决实际问题的例子.先介绍几个基本概念.出生（死亡）率出生（死亡）率:单位时间内每N个成员中出生（死亡）的成员数与N之比.增长率增长率:单位时间内每N个成员中增长的成员数与N之比，其中N是一个适当的数，例如1000.第3章线 性 方 程 显然以上三者有关系:增长率增长率=出生率出生率-死亡率死亡率（3.14）设时刻t某物种的成员数为y，即y=y(t),则从t到t+t时成员数增长()()yy tty tD=+D-所以，从t到t+t这段时间中的平均增长率为)(tyty当成员可数时，成员数是非负整

26、数.如果对一系列时间t1,t2,知道相应的成员数y(t)为 1122(),(),yy tyy t=L第3章线 性 方 程 则我们把y(t)开拓为实变数t的非负实数值y的函数y=y(t)，并且使y(t)连续，有连续导数.这样一来，就得到)()()(lim0tytytytytt时刻的增长率（3.15）第3章线 性 方 程(1)增长率是常数(0).此时根据式（3.15），物种成员数y=y(t)应满足微分方程:yy即 ddyyta=（3.16）设t=0时，成员数为y(0)，则满足此初始条件的解为()(0)ty tyea=显然，只要y(0)0，就有.也就是说，物种的成员会无限地增长.)(limtyt第3

27、章线 性 方 程(2)增长率依赖于主要食物供给量(0).设维持该物种生存的最低食物供应量为0.例如，某种猫靠食鼠为生.要捕食鼠首先就要有机会遇到鼠，因此维持这种猫的生存就要在它的活动范围内有一个最低的鼠的只数0.当0时,增长率为正；当0时，物种成员将无限增长；当=0时，物种成员将维持不变；而当（3.18）方程右端出现了非线性项cy2，它反映社会摩擦.第3章线 性 方 程 显然，y0,y都是方程(3.18)的解.而当t=0时,y=y(0)(y(0)0,y(0)的解是)0()0(lnlnyyctyy当t+时,y.亦即，若开始时物种成员数为0或，则分别保持此成员数.而开始时，不论成员数是多于还是少于

28、，终将达到极限值.第3章线 性 方 程 3.4非齐次线性方程组通解的结构非齐次线性方程组通解的结构 引理引理 3.5 非齐次线性方程组(3.2)的解与相应的齐次线性方程组(3.3)的解之和仍是(3.2)的解.(3.2)的两个解之差是相应的(3.3)的解.利用这一关系和相应的(3.3)的通解就可得到(3.2)的通解.第3章线 性 方 程 定理定理3.3设(t)是方程组(3.2)的一个解，(t)是相应的方程组(3.3)的一个基本解矩阵，则含n维任意常向量c的表达式()()tt xc(3.19)是方程组(3.2)全部解的共同表达式.证明证明首先，由引理3.5知对任意n维常向量c，式(3.19)是方程

29、组(3.2)的解.其次，若x(t)是方程组(3.2)的任意给定的解，则由引理3.5知x(t)-(t)是相应的方程组(3.3)的解.再由定理3.2知存在n维常向量c0，使得 Itctttx,)()()(0这表明解x(t)可通过在式(3.19)中适当选取c而得到.定理证完.第3章线 性 方 程 根据定理3.3，假如已知相应的方程组(3.3)的一个基本解矩阵，则求方程组(3.2)的通解的问题就归结为求它的任意一个特解.为求方程组(3.2)的特解，我们可采用常数变易法.利用这种方法，实际上不仅只得到方程组(3.2)的一个特解，而且同时可得到它的通解.第3章线 性 方 程 定理定理3.4（常数变易公式）

30、（常数变易公式）设(t)是与方程组(3.2)相应的方程组(3.3)的一个基本解矩阵，则方程组(3.2)的全部解的共同表达式可以写成 01()()()d)ttts f ssxc(3.20)其中c是任意的n维常向量，t0I可任意取定.证明证明我们知道方程组(3.3)的通解可表示为()xt c其中c=(c1,cn)T为任意的n维常向量.现在将常向量c换成向量函数c(t)，考虑形如()()ttxc(3.21)第3章线 性 方 程 的向量函数，而设法在这种形式的函数中去求方程组(3.2)的解，其中c(t)是待定的可微向量函数.将式(3.20)代入方程组(3.2)，得到d()d()()()()()()()

31、.ddttttttttttccAcf因为(t)是方程组(3.3)的基本解矩阵，故上式可简化为 d()()().dttttcf这是一个关于的线性代数方程组.由于det(t)0，故可解出 d()dttc1d()()().dttttcf第3章线 性 方 程 任取t0I，积分上式得到 01()()()dtttsssccf(3.22)其中c是任意的n维常向量.取c=0，并将 01()()()dtttssscf代入式(3.21)，可得到方程组(3.2)的一个特解01()()()dtttsssxf再由定理3.3便得到所要证明的结论.实际上，将式(3.22)代入式(3.21)就可直接得到定理的结论.第3章线

32、性 方 程 注注3.7利用状态转移矩阵(t)，初值问题式(3.2)和(3.4)的解可表示为 01()()()d)tttsssxf(3.23)例例3.5验证微分方程组 2112221cossin21d21dsin21sin2xxyyyyxxx(3.24)的通解为 xxCxexeCyyxxcossinsincos2121(3.25)第3章线 性 方 程 证明证明事实上，不难验证 xxxexexxcossin,sincos(3.26)是齐次线性微分方程组(3.24)在区间-x0或x0,00，且皆是常数.我们把方程改写为 d()(0,0)dyC xD yCDx=-(3.28)第3章线 性 方 程 设食

33、x的食物是充分供给的，有一个稳定的出生率A.x的死亡率等于单位时间内食的x成员中的死亡数与x之比.而单位时间内食的x成员中的死亡数应该与x及y都是成正比的，是Bxy.这是因为两倍的猫将吃掉两倍的鼠；鼠有两倍就使猫有两倍的机会遇到鼠.于是由式（3.14）得 ByAxBxyAx的增长率从而得到食x满足的微分方程:d()(0,0)dxABy xABt=-(3.29)联合方程(3.28)与(3.29)得到Volterra-Lotka的捕食方程:(),(,).().xABy xA B C DyC xD y=-=-皆正第3章线 性 方 程(2)考虑社会摩擦.由于考虑社会摩擦，因此要增加非线性项，由方程（3

34、.30）进而得到极限增长的捕食方程：(),(,).().xAByx xA B CDyC xDy yll mm=-=-皆正第3章线 性 方 程 3.5边值问题和周期解边值问题和周期解 周期边值条件：)()(bxax两点边值条件：()()0 x ax bLN其中,a、bI,L、N为nn阶常矩阵.与初值问题不同，一般来说，边值问题不一定有解，即使有，也不一定唯一.但我们有下面的基本结果.第3章线 性 方 程 定理定理3.5若方程组(3.3)的边值问题仅有平凡解x=0，则对任何f(t)，方程组(3.2)的边值问题恒有解.证明证明先考虑周期边值条件.由定理3.4知，方程组(3.2)的解可表示成(3.34

35、)1()()()d)taxt cs f ss 由此知，它满足周期边值条件当且仅当向量c满足 1()()()()d)baa cb cs f ss 即 1()()()()()dbaab cbs f ss (3.35)第3章线 性 方 程 对于齐次方程组(3.3)，(3.35)变成 0)()(cba(3.36)按假设，方程组(3.3)只有平凡解满足周期边值条件，即关于c的线性代数方程组(3.36)只有零解c=0，故必有 0)()(det(ba从而可由式(3.35)把c解出，代入式(3.34)便得到方程组(3.2)满足周期边值条件的解.假如所考虑的是两点边值条件，则代替式(3.35)和式(3.36)的

36、分别是 1()()()()()dbaLaNb cNbs f ss 第3章线 性 方 程 和0)()(cbNaL其余同理.定理证完.第3章线 性 方 程 注注3.8从定理3.5的证明可知,齐次方程组(3.3)只有零解x=0满足周期边值条件（两点边值条件）的充要条件是:(b)-(a)L(a)+N(b)是非奇异矩阵.下面讨论方程组(3.2)的周期解.问题是：如果A(t)和f(t)都在R1上有定义，并且是周期函数，即以为周期的周期函数，这里0为某常数，那么在何种条件下，方程组(3.2)存在周期解？下述马塞拉(Massera,1915-2002)准则给出了回答.第3章线 性 方 程 定理定理3.6若A(

37、t)和f(t)在R1上有定义，并且是周期函数，则方程组(3.2)存在周期解的充要条件是：方程组(3.2)有一个在R1上有界的解.证明证明必要性是显然的.只需证明充分性.设x=x0(t)是方程组(3.2)在R1上的有界解.由A(t)和f(t)的周期性知，对任何正整数k,x0t+(k-1)是方程组(3.2)满足初值条件x(0)=x0(k-1)的解，故由式(3.23)有1000(1)()(1)()()d),1,2,tx tkt xks f ssk 其中(t)是方程组(3.3)的状态转移矩阵，特别就有,2,1,)1()()(00kvkxkx(3.37)第3章线 性 方 程 其中 10()()()dvs

38、 f ss 方程组(3.2)的任何解都可由式(3.20)表示出，它是周期解，当且仅当 10(0)()()()d)ccs f ss 注意到(0)=E，上式就可写成 vcE)(3.38)假如方程组(3.2)没有周期解，则关于c的线性代数方程组(3.38)必无解.由线性代数的知识我们知道，必存在非零向量u，使得 0)(EuT0vuT(3.39)(3.40)第3章线 性 方 程 联合式(3.37)和式(3.39)可以证明,2,1,)0()(00kvkuxukxuTTT(3.41)但由于有式(3.40),而x0(t)又是有界的，当k充分大时，式(3.41)不可能成立，这一矛盾就表明方程组(3.2)必有周

39、期解.下面由式(3.37)和式(3.39)推导式(3.41).假设当k=m时，式(3.41)成立.利用当k=m+1时的式(3.37)可得 vumxumxuTTT)()()1(00vumxumxEuTTT)()()(00vuvmuxuTTT)0(0vumxuTT)1()0(0第3章线 性 方 程 故当k=m+1时，式(3.41)也成立.利用当k=1时的式(3.37)容易验证当k=1时，式(3.41)也成立.总之，式(3.41)对任何正整数k都成立.至此，定理证明完毕.下面给出通过建立数学模型来解决实际问题的例子。以下对两个竞争物种的情况进行讨论.两个物种x与y竞争共同的食物.设它们的增长方程为

40、yyxNyxyxMx),(),(（3.42）第3章线 性 方 程 其中,x与y的增长率M与N都是非负变量x、y的函数.设它们对x、y连续，有连续一阶偏导数，且满足以下三个条件：（1）一种物种的成员数增加时另一物种的增长率下降，所以 0,0 xNyM（2）任一物种的成员数过多，两物种都不能增长.所以存在常数K0，使得：当xK或yK时，有 M(x,y)0,N(x,y)0 第3章线 性 方 程（3）只有一个物种时，按极限增长.所以存在常数a0,b0，使得当x0；当xa时，M(x,0)0.当y0；当yb时，N(0,y)0.它们的求解方法读者可参照相关书籍.第3章线 性 方 程 3.6高阶线性方程高阶线

41、性方程本节讨论形如 111dd()()()ddnnnnnxxa ta t xf ttt(3.43)的n阶线性微分方程，其中x,a1(t),an(t),f(t)都是区间I上的纯量函数.当f(t)0时，式(3.43)变成 111dd()()0ddnnnnnxxa ta t xtt(3.44)它称为阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程.我们要讨论它们解的结构以及关于周期解和边值问题的一些基本结果.第3章线 性 方 程 1.通解的结构通解的结构 由于引进个未知函数 1121dd,ddnnnxxxx xxtt后，方程(3.43)化成等价方程组：11112101000d.00d001()()()()nnn

42、nnxxxxtxxf ta ta ta t (3.45)第3章线 性 方 程 这里说的等价指的是：如果x=(t)(tI)是方程(3.43)的解，则)()(,),(),()1(21Ittxtxtxnn是(3.45)的解.反之，如果 Ittxtxnn),(,),(11是方程组(3.45)的解，则x=1(t)是方程(3.43)的解.利用这种等价关系，容易把前几节的结果搬到方程(3.43)和方程(3.44)上.第3章线 性 方 程 定理定理3.7设a1(t),an(t)和f(t)均在区间I上连续，则对任一t0I和任意n个常数0,1,n-1,方程(3.43)恒有定义在整个区间I上且满足初值条件 10)1

43、(1000)(,)(,)(nntxtxtx的解.此外，方程(3.43)也只能有一个解满足此初值条件.第3章线 性 方 程 以下我们总认为a1(t),an(t)和f(t)均在区间I上连续.引理引理3.6若在区间I的某点处，齐次线性方程(3.44)的解及其直到n-1阶微商均为零，则它必在区间I上恒等于零.引理引理3.7(叠加原理叠加原理)若x=1(t)和x=2(t)都是方程(3.44)的解，则对任意常数c1、c2,函数x=c11(t)+c22(t)都是方程(3.44)的解.如果有不全为零的常数1,m,使得Itttmm,0)()(11(3.46)则称函数1(t),m(t)在区间I上线性相关，否则，要

44、想式(3.46)成立，除非1=m=0，便称这m个函数在区间I上线性无关线性无关.第3章线 性 方 程 引理引理3.8设t0I,1(t),m(t)是区间I上齐次线性方程(3.44)的m个解,则解组1(t),m(t)在I上线性相关的充要条件是向量组)()()(,)()()(01000110101ttttttnmmmn线性相关.第3章线 性 方 程 定理定理3.8如果1(t),n(t)是方程(3.44)在区间I上的n个线性无关的解，则含任意常数c1,cn的表达式)()(11tctcxnn是方程(3.44)的通解，确切地说，是方程(3.44)的全部解的共同表达式.第3章线 性 方 程 注注3.9定理3

45、.8表明，n阶齐次线性方程(3.44)的解的全体，构成一个n维线性空间.齐次线性方程(3.44)的任意n个线性无关的解合起来，称为它的一个基本解组.设有n个定义在区间I上且n-1次可微的函数1(t),n(t)，由它们及其直到n-1阶微商排列而成的行列式)()()()()()()(11111tttttttWnnnnn称为这n个函数的朗斯基行列式.第3章线 性 方 程 引理引理3.9(刘维尔公式刘维尔公式)若1(t),n(t)是方程(3.44)的解，则它们的朗斯基行列式W(t)可表示为 001()()exp()d,ttW tW ta sstI(tI)其中t0I可任意取定.第3章线 性 方 程 引理

46、引理3.10若x=(t)和x=(t)分别是方程(3.43)和方程(3.44)的解，则函数x=(t)+(t)是方程(3.43)的解；若x=(t)和x=(t)是方程(3.43)的解，则函数x=(t)-(t)是方程(3.44)的解.定理 3.9 设)(t是(3.43)的一个解，)(,),(1ttn是相应的(3.44)的一个基本解组.则含n个任意常数ncc,1的表达式)()()(11ttctcxnn是方程(3.43)全部解的共同表达式.第3章线 性 方 程 定理定理3.10(拉格朗日常数变易公式）拉格朗日常数变易公式）设1(t),n(t)是与方程(3.43)相应的方程(3.44)的一个基本解组.则方程

47、(3.43)的全部解的共同表达式可以写为 011(,)()()()d()tnntt sxctctf ssW s其中:c1,cn是任意常数;t0I可任意取定;W(t)是1(t),n(t)的朗斯基行列式;(t,s)是这样的n阶行列式：前n-1行是W(s)的前n-1行相应元素，而第n行是W(t)第一行的相应元素.第3章线 性 方 程 例例3.11设1(t)、2(t)是与二阶线性方程)()()(21tfxtaxtax(3.47)相应的齐次方程的基本解组.则(3.47)的全部解的共同表达式为 0121211221212()()()()()()()d()()()()ttttxctctf (3.48)第3章

48、线 性 方 程 例例3.12求解微分方程 22yxyyx的通解.解解令y=ux，化简原方程得2d1duux 解得 Cxuarctan即)tan(Cxxy第3章线 性 方 程 例例3.13解微分方程xeyy 12解解对应齐次方程的通解为 xeCCy221用y=Ax+Bex代入方程可待定出方程的一个特解：xexy3121所以方程的通解为 xxexeCCy3121221第3章线 性 方 程 2.边值问题和周期解边值问题和周期解因为高阶线性方程可以化成等价的一阶线性方程组，所以关于一阶线性方程组的边值问题和周期解的结论都可以通过这种等价关系转移到高阶线性方程.下面我们将针对二阶线性方程 12()()(

49、)xa t xa t xf t(3.49)进一步讨论它的边值问题和周期解以及其他相关的问题，这里a1(t)、a2(t)、f(t)都是区间I上的连续函数.相应的齐次方程为 12()()0 xa t xa t x(3.50)我们只考虑边值条件 0)()(bxax其中,a、bI,a0.于是，由于x(b)=0，必存在(a,b，使得 0)();,(,0)(xattx(3.52)第3章线 性 方 程 而由x(a)=x()=0进而可知，存在c(a,)，使得x(c)=0.将式(3.50)的两端同乘以 11()d()d2()()()0ttaaassassx t ea t ex t从a到c积分，注意到x(c)=0

50、,即有 1()d2()()()d0tacassax aa t ex tt但由x(a)0,a2(t)0和式(3.52)可知，上式左端为负数.这一矛盾表明：齐次方程的边值问题式(3.50)和(3.51)不可能有非平凡解存在.第3章线 性 方 程 为证明定理的第二部分，注意方程(3.49)与方程组)()()(,12tfytaxtayyx(3.53)等价，而边值条件式(3.51)可写成00)()(0100)()(0001bybxayax(3.54)既然边值问题式(3.50)和(3.51)只有平凡解，易见齐次方程组(3.53)也只有平凡解满足边值条件式(3.54)，故由定理3.5知，边值问题式(3.53