高数 多元函数微分学 知识点与例题精讲课件.ppt
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1、习题课习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数微分学多元函数微分学一、一、基本概念基本概念连续性连续性 偏导数存在偏导数存在 方向导数存在方向导数存在可微性可微性1.多元函数的定义、极限多元函数的定义、极限、连续、连续 定义域及对应规律定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系几个基本概念的关系机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习机动
2、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.讨论二重极限讨论二重极限yxyxyx 00lim解法解法101lim1100 xyyx原式原式解法解法2 令令,xky 01lim0 kkxx原式原式解法解法3 令令,sin,cos ryrx0sincossincoslim0 rr原式原式时时,下列算法下列算法是否正确是否正确?分析分析:yxyxyx 00lim解法解法101lim1100 xyyx解法解法2 令令,xky 01lim0 kkxx原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的
3、情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况此法排除了沿曲线趋于原点的情况.时时例如例如xxy 21lim2230 xxxx原式原式此时极限为此时极限为 1.第二步第二步 未考虑分母变化的所有情况未考虑分母变化的所有情况,1,111 xyxxy时时例如例如解法解法3 令令,sin,cos ryrx0sincossincoslim0 rr原式原式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 此法忽略了此法忽略了 的任意性的任意性,时时当当4,0 r)sin(2sincossincossincos4 rr极限不存在极限不存在!由以上分析可见由以上分析可见,三种解法都不对三种解法都不对,因为都
4、不能保证因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内但要注意在定义域内 r,的变化应该是任意的的变化应该是任意的.同时还可看到同时还可看到,本题极限实际上不存在本题极限实际上不存在.xxyyxsinlim.200计算极限yxxaxy 2)11(lim.3),(y)(x,求求 0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示:利用利用,222yxyx 2122)(41),(yxyxf )0,0(0),(lim00fyxfyx 故故
5、f 在在(0,0)连续连续;,0),0()0,(yfxf又因又因0)0,0()0,0(yxff所以所以知知在点在点(0,0)处连续且偏导数存在处连续且偏导数存在,但不可微但不可微.4.证明证明:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 而而 )0,0(f,00时时,当当 yx22)0,0()()(yxf 22222)()()()(yxyx 0所以所以 f 在点在点(0,0)不可微不可微!232222)()()()(yxyx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1.已知已知求出求出 的表达式的表达式.),(yxf解法解法1 令令,yxu ),(vuf
6、)(uvu 即即)(),(xyxyxf ,)0,(xxf)1(),(yxyxf解法解法2)()(),(yxyxyxyxyxf )(),(xyxyxf 以下与解法以下与解法1 相同相同.,)(),(22yxyxyxyxf ,)0(xxf,)()(vuyvux 2121,则则xx )(且且,yxv )()()(241241uvuvu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构显示结构隐式结构隐式结构1.分析复合结构分析复合结构(画变量关系图画变量关系图)自变量个数自变量个数=变量总个数变量总个数 方程总个数方程总个数自变量与因变量由所求
7、对象判定自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则正确使用求导法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”注意正确使用求导符号注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习题练习题,1),(2 xyyxf,2),(21xyxfxy 1.已知已知求求.),(22xyyxf 解解:由由1),(2 xxf两边对两边对 x 求导求导,得得02),(),(2221 xxxfxxfxxxf2),(21 1),(22 xxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束
8、2.)1,1(,1()1(ff 1)(dd3 xxx1)1,1(f1dd)(32 xxx 3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf),(2xxf 1 x 351,1)1,1(f,),(,()(xxfxfx ,2)1,1(xf求求.1)(dd3 xxx),(yxfz 在点在点)1,1(处可微处可微,且且设函数设函数,3)1,1(yf解解:由题设由题设 2 3)32(考研题考研题)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.设设其中其中 f 与与F分别具分别具,0),(,)(zyxFyxfxz解法解法1 方程两边对方程两边对 x 求导求导,得得 xz
9、dd)0(23 FFfx xzdd 1F 23FFfx 1 32FFfx 12FFfxffx 221FffFxfFx 有一阶导数或偏导数有一阶导数或偏导数,求求fxfxzxyfx dddd132ddddFxzFxyF f fx)dd1(xy.ddxz xyFdd20dd3 xzF(考研考研)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解法解法2 0),(,)(zyxFyxfxz方程两边求微分方程两边求微分,得得化简化简消去消去 即可得即可得yd.ddxzyF d2 0d3 zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321 zFyFxFxfxfd)(xF d1 机
10、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习题练习题1.设函数设函数 f 二阶连续可微二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数求下列函数的二阶偏导数.2xyz ),()3()()2()()1(222xyxfzxyxfzxyfxz 2.同济同济(下下)P73 题题12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解答提示解答提示:)()1(2xyfxz :)()2(2xyxfz xyxyfxyz2)(2 xyfyz2 fxyxyfxy )1(22222fxy 232fy 2 xyz2 xyz2 fy2)(22xy fxy 2)1(22xy fxy22第第 1 题题机动
11、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2222fxyxyz)(2xy21f 2222fxy :),()3(2xyxfz 22fxyyz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xvuxuv P73 题题12 设设求求,sin,cosvuzveyvexuu yzxz ,zvuyxyxxz 得得由由,sin,cosveyvexuu 得得由由,vuz vveuvexuudsindcosd 提示提示:vveuveyuudcosdsind 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yvuyuv yz 利用行列式解出利用行列式解出 du,dv:veveveveveyvexu
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