第十五章 电路方程的矩阵形式课件.ppt

1、第十五章第十五章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式主要内容：主要内容：1、拓扑图的基本概念2、关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵3、节电电压方程的矩阵形式4、回路电流方程的矩阵形式5、割集电压方程的矩阵形式重点内容：重点内容：1.拓扑图的基本概念2.关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵3、节点电压方程的矩阵形式难点：难点：1.割集的意义2.、的列写及相互关系3.含有受控源的节点电压方程的矩阵形式 A fBfQ第十五章第十五章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式15.1网络图论的概念网络图论的概念 给定一个网络，如果不考虑元件的特性，可将各元件用一线段表示，由这种线段组成的图（反映了电路

2、的连接关系）称为拓扑图或线图。（各边称为支路，各顶点称为节点。）R5R2+_kuu4R3R4+u4-us5-Is1电路支路电压和支路电流的正方向与支路方向一致-有向图连通图连通图：是指拓扑图中任意两节点间都至少有一条通路。子图：子图：是指原拓扑图的一部分，可包括原图的一些边和顶点。树：树：在连通图中包含连通图中的全部节点和部分支路，不包含回路。如上图的一些树：拓扑图中属于树的各边称为树支树支，其余称为连支连支。由连支组成的部分称为余树余树。割集：割集：在连通图中符合下列条件的边的集合称为割集。(1).去掉该边集后原来的连通图不在连通；(2).如果该边集中保留一条边不去掉，则图仍连通；如上图，由

3、（b1 ,b4 ,b5）组成的割集。a.去掉b1 ,b4 ,b5后，分为两部分，不在连通；b.如果在b1 ,b4 ,b5中保留任意一条边则图仍为连通。由（b2,b3,b4,b5）也组成割集；由（b1,b3,，b5，b6）也组成割集。基本割集：就是单树支割集，即该割集 中只含一条树支，其余为连枝。如上图选b1,b3,b5为树，相应的基本割集如图，Q1由（b1,b2,b4,b6）组成，b1是树支，b2,b4,b6是连支；Q2由（b3,b4,b6）组成，b3是树支，b4,b6是连支；Q3由（b5,b2,b6）组成，b5是树支，b2,b6是连支。规定基本割集的方向基本割集的方向与其中的树支方向一致。若

4、将切割线Q1，Q2，Q3延伸成闭合面则有：基本回路：基本回路：就是单连支回路。规定基本回路的方向基本回路的方向与其连支的方向一致。0006436526421bbbbbbbbbbiiiiiiiiii-称为割集电流方程可见割集电流方程可看作广义的节点电流方程（KCL）。图中由（b2,b3,b6）组成的回路不是基本回路，因为有两条连支。b4b3b5b1b2b6l3l2l1如图：回路l1：由（b2,b1,b5）组成，b2是连支；回路l2:由（b4,b1,b3）组成，b4是连支；回路l3由（b6,b1,b3,b5）组成，b6是连支。0006531431521bbbbbbbbbbuuuuuuuuuu-称为

5、回路电压方程15.2关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵1关联矩阵（节点与支路的关系）a.关联矩阵设电路的节点数为n，支路数为b，依次给出支路和节点的编号，然后把有向图结构用一个n b阶矩阵来表示，记为 ，称为电路的节点-支路关联矩阵。简称关联矩阵。矩阵的行对应于有向图的节点，列对应于有向图的支路，其元素 定义如下：aAjka110jka 当支路k不连接到节点j时；当支路k连接到节点j时，且方向为离开节点；当支路k连接到节点j时，且方向为指向节点；1 2 3 4 5 6 行号 011100100101110010001011aA 列号b2b6b5b4b3b13124如图的关联矩阵为：特点：a.每一列的

6、代数和均为零。其中的行不是彼此独立的，其任意一行都与（n-1）行的和的相反的数相等。b.去掉以任意一个节点为参考节点所对应的一行后记为（n-1）b阶矩阵称为降阶的关联矩阵 简称关联矩阵。用符号 表示。在 中划去的行对应的节点即为参考节点。如上图选节点为参考节点则有：AaA 100101110010001011A每一行都是相互独立的；且与有向图是一一对应的。b.关联矩阵与节点电流定律（KCL）用矩阵形式表示的支路电流列向量为 Tbiiii.21若用关联矩阵 A左乘支路电流列向量 i可得一个n行的列向量矩阵，该列向量中每一行的元素之和恰为离开该节点的支路电流与流入该节点的支路电流的代数和。（离开节

7、点的电流为正，流入节点的电流为负）由KCL可得节点电流代数和为零。因此有 左乘其值 为零的向量即有：0A i 称为矩阵形式的KCL.Ai或 0AI （正弦稳态电路时应用）如前图有：1234561234 65321100101110010001011iiiiiiiA000631652421iiiiiiiii为n-1个节点的KCL。c.节点电压与支路电压之间的矩阵形式关系式设电路(n-1)节点电压的列向量为：Tnnnnnuuuu)1(21.支路电压的列向量为：Tbuuuu.21用关联矩阵的转置矩阵 左乘节点电压列向量可得一个b行的列矩阵。中的每一列元素反映了支路所连接的两个节点且为一正一负。TAn

8、u A因此 与 乘积的列向量每一行中只包含该支路离开节点的电压（为正）与指向节点的电压（为负）之差即为该支路电压，即有：TAnu uuAnT UUAnT或 如前图，节点电压列向量为 1234561234 Tnnnnuuuu321 131122133214325236101110001100010011nnnnnTnnnnnnnnuuuuuuuuuAuuuuuuuuuuu矩阵形式的KVL,反映了节点电压与支路电压之间的关系12345612342.回路矩阵a.回路矩阵独立回路可以选取单连支回路，这样建立的回路矩阵（b-n+1）b阶矩阵）称为基本回路矩阵，简称回路矩阵。用 表示，其行对应于某一回路；

9、列对应于某一支路；元素 bjk满足下列关系：fB011jkb支路k不包含在回路j中；支路k包含在回路j中，且方向与回路j的绕向一致；支路k包含在回路j中，且方向与回路j的绕向相反；J为回路号也是行号，k为支路号也是列号。如图选取支路1、2、3作为树，则有基本回路矩阵为：11 110011001001 1001fB 回路l1(1,2,3,4)回路l2(1,2,5)组成。回路l3(2,3,6)（各回路的绕向与该回路中连支的方向相同）由此可知：.若支路编号采取先树支后连支，则 的右半部分是个单位矩阵，即有 若支路的编号采取先连支后树支则有：fB1ftBB tfBB 1 是由树支组成的回路子矩阵。fB

10、.回路矩阵的行反映了某一回路与支路的关系即该回路是由那些支路组成，以及支路与回路的方向是否相同；而回路矩阵的列反映了某一支路与所有回路的关系即该支路都属于哪个回路中，以及该支路与回路的方向是否相同。.若选取网孔回路则称为网孔回路矩阵。通常用 表示。mBb.回路矩阵与回路电流定律支路电压与回路电压的关系：支路电压与回路电压的关系：设支路电压的参考方向与支路电流的方向为关联方向，Tbuuuu21为支路电压列向量；用回路矩阵 左乘支路电压列向量 可得一个（b-n+1)个元素的列向量，fB u其每一行都包含了该回路中所有支路电压的代数和 （支路方向与回路绕向一致为正，反之为负）由KVL可知，任一闭合回

11、路电压的代数和恒为零即有 或 称为矩阵形式的KVL。u 0uBf 0UBf如上图中，123456l1l2l3 Tuuuuuuu65432111 110011001001 1001fB 0001001100100110011116325214321654321uuuuuuuuuuuuuuuuuBf支路电流与回路电流的关系：支路电流与回路电流的关系：设回路电流列向量为 Tnllllliiii)1(21用 TfB左乘 li中所有回路电流的代数和，且回路电流方向与支路方向一致时为正，反之为负；即为该支路的电流值。则乘积的每一行之和恰为流过该支路则有：iiBlTf或 IIBlTf如上图有：iiiiiii

12、iiiiiiiiiiiiiiBllllllllllllllTf6543213213132121321100010001101111011或 lTfiB654100010001101111011iii6546465454iiiiiiiiii123456iiiiiii3.割集矩阵 fQa.割集矩阵（割集与支路的关系）割集与支路的关系可以用一个矩阵来描述，其行号对应于割集号，列号对应于支路号，则元素：011jkq当支路k不再割集j内；当支路k在割集j内，且方向与割集j方向一致；当支路k在割集j内，且方向与割集j方向相反；这样建立的矩阵称为割集矩阵。fQ表示。（n-1）b阶矩阵）用选择单树支割集作为一

13、组独立的割集，对应的矩阵称为基本割集矩阵。110100111010101001fQ12 3564Q1Q2Q3如图所示，选支路（1，2，3）为树，单树支割集及方向如图，则有 若支路编号按照先树支后连支，而且顺次列写，割集方向为树支方向则 中包含一个（n-1）(n-1)阶单位矩阵，表示为：ltfQQ1fQ 表示由连支组成的割集矩阵.lQb.割集KCL的矩阵形式用割集矩阵 左乘支路电流列向量 则其乘积的每一行之和恰好为穿过该割集表面的支路电流的代数和（KCL）即为零向量。fQi 0iQf 0IQf或（为广义节点的KCL的矩阵形式）如上图：12 3564Q1Q2Q3 TIIIIIII654321则有：

14、0001101001110101010016536542641654321IIIIIIIIIIIIIIIIIQfc.割集电压与支路电压的关系若选单树支割集为基本割集，则割集电压即为树支电压，可用（n-1）阶列向量表示 ，用割集矩阵的转置矩阵 左乘割集电压列向量 其乘积为支路电压列向量 即有：tuTfQ u tu uuQtTf或 UUQtf如上图有：Ttuuuu321100101010111001011fQ 则有 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuQtTf654321321322132132111111001110001000112 3564Q1Q2Q315.3关联矩阵、基本回路矩阵和基

15、本割集矩阵的关系 对于同一个电路，若各支路、节点的编号及方向均相同时，其关联矩阵 基本回路矩阵 和基本割集矩阵 存在一定的关系。如图所示，选1、2、3为树支，采取单树支割集和单连支回路矩阵，则有：AfBfQ524163Q2Q3Q112341 11 1 0 011 00 1 0011 0 0 1fB1 0 01100 1 01110 0 1101fQ用 左乘 可得：TfQfB 1000101111000000011100100000111011001000110011TffBQ 即有：0TffBQ 或 0TffQB 若电路的支路编号按先树支后连支则上式可写为：1 10TTTfftltlBQBQB

16、Q 即有：TtlBQ 表示由树支组成的回路矩阵子矩阵；表示由连支组成的割集矩阵子矩阵。tBlQ在上图中，设节点为参考节点，则关联矩阵为：524163Q2Q3Q11234 100110110001001101A 用 左乘 可得：ATfB 1101111001100001011100010000100001101000010001TfABA 即有 0TfAB 或 0TfBA若选择只包围一个节点的割集，且方向为离开节点，则有割集矩阵 就是关联矩阵 fQ A如果支路编号按先树支后连支方式，则关联矩阵 tlAA A 10TTTftltttlABA ABABA 两边左乘 可得：1tA 1TttlBAA 即

17、有：1TTtllBAA 所以基本回路矩阵可写为：111TTftllBBAA 可由关联矩阵求得基本回路矩阵。同样由 TtlBQ 和 1TTtltBAA 可得：1ltlQAA所以有 111fltlQQAA即可由关联矩阵求得基本割集矩阵。15.4节点电压方程的矩阵形式节点电压方程的矩阵形式本节介绍用系统性的方法来建立矩阵形式的节点电压方程组。+-+-kikuskuskikRkLkC典型支路结构如图：由支路元件(,)kkkR L C、独立电压源、独立电流源 skuski组成，支路电流，支路电压 ，其电流电压的参考方向如图。在正弦稳态情况下，可得支路电流电压关系式：kiku()kkkskskUZIIU其

18、中 1kZRj Lj C，含有b条支路组成的电路有：11111()()()sskkkskskbbbsbsbUZ IIUUZIIUUZIIU其矩阵形式为，()ssUZIIU 12121212.TkbTkbTssssksbTssssksbUUUUUIIIIIUUUUUIIIII 其中有：支路电压列向量矩阵；支路电流列向量矩阵；支路电压源列向量矩阵；支路电流源列向量矩阵；+-+-kikuskuskikRkLkC 为支路阻抗矩阵，电路不包含受控源时为一对角线矩阵，即有 Z 12.kbZdiag Z ZZZ与之对应的支路导纳矩阵为：12.kbYdiag Y YYY且有 1YZ对式 ()ssUZIIU 两

19、边左乘支路导纳矩阵可得：()ssYUIIYU 即有：ssIYUYUI 对其式两边左乘关联矩阵 得：A 0ssAIA YUA YUAI 即有 ssA YUA YUAI因为支路电压与节点电压之间有 TnUAU所以上式可以写成 TnssA YAUA YUAI或 nnssYUA YUAI以上两式均称为矩阵形式的节点电压方程式。其中 称为节点导纳矩阵。TnYA YA1.2(1)Tnnnn nUU UU为节点电压列向量矩阵。列矩阵形式的节点电压方程的解题步骤：a.对各支路及节点进行编号，并给出各支路的参考方向；b.做出有向图；c.选定参考节点，写出关联矩阵 d.依据典型支路结构和方向分别写出：A YsUs

20、I e.代入公式 TnssA YAUA YUAI中即可得到节点电压方程的矩阵形式。例题：如图所示电路各支路阻抗值、电压源及电流源均为已知，是建立矩阵形式的节点电压方程。12341R+-2R1sU6sU3R3sI5j L5sI6j L1j C1I2I3I4I6I5I解：1.对各支路及节点进行编号，并给出各支路的参考方向如图。2.做出有向图如图。12341234563.选节点为参考节点则有关联矩阵 111000010110100011A16.0.0.0.0.TsssUUU4.3.5.0.0.0.0TsssIII 41235611111.Ydiagj CRRRj Lj L5.分别求出：1234561

21、23214225515151110111011100011000101100101000110111001111111111111111TnYAYARRRjCjLjLRRRRRjCRRjLjLRjLRjL6jL 112346561116161101110001001011001000110110ssssssAYURURRjCUjLjLURUURjL 335550011100001011001000110ssssssIIAIIII 6.代入公式 TnssA YAUA YUAI或 nnssYUA YUAI可得：11312321111342552255351611611515611111111101

22、1111sssnsnssnssssUUIRRRRRRRUIj CUIIRRj Lj LUIUUUURj LRRj LRj Lj L656ssIj L由此可见，与直接对电路列写的节点电压方程是一样的。+-+-kikuskuskikZ-+kj ejr ieki*一般支路中若包含元件电流控制的电压源ejIjjZ如图所示，为第 条支路中流过 的电流，为控制系数，若设一个有b条支路，其中 kjrkj第 条支路中有一受 支路元件电流控制的电压源，方向如图，则有 支路的电压电流方程为：k()()kkkskkjjsjskUZ IIr IIU其余支路电压电流方程为：()qqqsqsqUZIIU则该电路的支路电压

23、电流方程为：（矩阵形式）11111ssjjjsjsjkjkkkskskbbbsbsbZUIIUZUIIUrZUIIUZUIIU或记为 ()ssUZIIU 支路阻抗矩阵 不再是一个对角线矩阵，Z在支路阻抗矩阵中的第 行第 列多了一个非零元素 即为受控源的控制系数。kjkjr其余的步骤方法与不含受控源的电路完全相同。*如果电路中包含元件电压控制的电流源 其支路形式如图：对于这种形式的电路可直接写出支路电流表达式为：()()kkkskkjjsjskIY UUg UUIkjgj式中 表示由 支路中元件电压ejjsjUUU控制 支路中受控电流源的控制系数。kkj若b条支路中第 支路有一受 支路元件电压控

24、制的电流源，则可写出各支路的电流方程并用矩阵形式表示位为：11111ssjjjsjsjkjkkkskskbbbsbsbYIUUIYIUUIgYIUUIYIUUI由此可看出支路导纳矩阵 不再是一个对角线矩阵，在支路导纳矩阵中的第 行第 列多了一个非零元素 即为受控源的控制系数。其余的步骤方法与不含受控源的电路完全相同。Ykjkjg*如果电路中包含支路的元件电流控制的受控电流源时如图电路。对于这种形式的电路可直接写出支路电流表达式为：()kkkskkj ejskIY UUiIkjj式中 表示由支路 中元件电流 ejjsjIIIk控制 支路中受控电流源的控制系数。kj若b条支路中第支路有一受的电流源，则可写出各支路的电流方程并用矩阵形式表示为：支路元件电流控制11111ssjjjsjsjkjjkkkskskbbbsbsbYIUUIYIUUIYYIUUIYIUUI由此可看出支路导纳矩阵 不再是一个对角线矩阵，在支路导纳矩阵中的第 行第 列多了一个非零元素 即为受控源的控制系数。其余的步骤方法与不含受控源的电路完全相同。YkjkjjY