平行于坐标轴的方程课件.ppt

1、 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量概念一、向量概念1.向量向量:既有大小,又有方向的量,称为向量(或矢量)2.向量的几何表示法向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.以线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.ABa特别:模为1的向量称为单位向量单位向量.以A为起点,B为终点的向量,记为AB,a.a向量AB的大小叫做向量的模向量的模.记为|AB|或 .|a 模为0的向量称为零向量零向量.记为0或 ,它的方向可以看作是任意的.03.3.自由向量自由向量ab自由向量自由向量:只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.ba与若向量

2、大小相等且方向相同,记作相等与称 .babaaa4.4.向量的夹角向量的夹角零向量与任意向量平行，零向量也与任意向量垂直零向量与任意向量平行，零向量也与任意向量垂直。(,)a bbaOAB1 1、向量的加减法、向量的加减法 向量加法.(1)平行四边形法则设有 (若起点不重合,可平移至重合).作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,称为 的和,记作ba、ba与.baba、baab(2)三角形法则baab将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合,则由 的起点到 的终点所引的向量为ba、aba.bab二、向量的线性运算二、向量的线性运算向量加法的运算规律向量加法的运算规律.(1)交换律:abbaba

3、ababbaabccbcba(2)结合律:)()(cbacba例如:4321aaaass1a2a3a4a 向量减法向量减法.(1)(1)负向量负向量:与 模相同而方向相反的向量,称为 的负向量负向量.记作aa.aaa(2)(2)向量减法向量减法.规定:)(baba(i)(i)平行四边形法则平行四边形法则.将 之一平移,使起点重合,作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,为 ba、ba和.ba(ii)(ii)三角形三角形法则法则.将 之一平移,使起点重合,由 的终点向 的终点作一向量,即为 ba、.baabbaabbaabb三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边|abab|abab上述不

4、等式中的等号只有在两向量同向或反向时成立.2 2、向量与数的乘法、向量与数的乘法1.1.定义定义:设为实数.aa乘积规定:向量 与数 的 为一个向量.其中:|aa当 0时,;同向与 aa当 0时,;反向与 aa当=0时,0,.a它的方向可以是任意的2.2.向量与数的乘积的运算规律向量与数的乘积的运算规律:(1)结合律:aaa)()()(2)分配律:(1)(aaa(2)(babaa(0)事实上，因为()0bba故有|0a 设 表示与非零向量 同向的单位向量.aae则|aaae或1|aaeaaa数轴与坐标数轴与坐标Oi1xPx例1:在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=ab试用 表示向量MA,M

5、B,MC,和MD.ba和其中,M是平行四边形对角线的交点.解解:ba由=AC=2MC有MC=)(21ba又 =BD=2MDab)(21ab有MD=MB=MD)(21)(21baab)(21baMA=MC abDABCM三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系1.空间直角坐标系ozxyzxy x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)按右手法则组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点.o2.坐标面.由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫xoy面.yoz面、zox面,它们将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0 xyVIIIIIIIII点在空间直角坐标系中的坐标表示点在空间直角坐标系中的

6、坐标表示.RQP (x,y,z)记:点M为M(x,y,z)OxyzMxyz(1)若点M在yoz面上,则 x=0;在zox面上,y=0;在xoy面上,z=0.(2)若点M在 x 轴上,则 y=z=0在 y 轴上,则 x=z=0在 z 轴上,则 x=y=0(3)各卦限点的坐标(+,+,+)(,+,+)(,+)(,)(+,)(+,+)(+,+,)(,+,)特别:空间两点间的距离空间两点间的距离M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间两点 d 2=|M1 M2|2=|M1N|2+|NM2|2=|P1 P2|2+|Q1 Q 2|2+|R1 R 2|2=|M1P|2+|PN|2+|NM2|

7、2=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2 POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N空间两点的距离公式:22122122121)()()(|zzyyxxMMd特别:点M(x,y,z)到原点O(0,0,0)的距离222|zyxOMd例例1 1:求证以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解解:14)12()31()47(|22221MM6)23()12()75(|22232MM6)13()32()45(|22213MM由|M2 M3|=|M3 M1|,所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.例例2 2 在z轴上求与两点 A(4

8、,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.解解 设该点为M(0,0,z)由题设|MA|=|MB|.即:222222)2()05()03()7()01()04(zz解得:914z所求点为 M(0,0,)914向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标1.起点在原点终点为 M(x,y,z)的向量(向径)OM以 i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.r=OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC=xi+yj+zk称 OA、OB、OC分别是OM 在 x 轴,y 轴,z 轴上的分向量,而x,y,z,分别是OM 在三坐标轴上的投影,称为OM 的坐标.简记为

9、 r=x,y,z,此称为向量r=OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN2.起点不在原点O的任一向量 a=M1M2设点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2 OM1=(x2 i+y2 j+z2 k)(x1 i+y1 j+z1 k)=(x2 x1)i+(y2 y1)j+(z2 z1)k (2)即 a=x2 x1,y2 y1,z2 z1 为向量a的坐标表示式记 ax=x2 x1,ay=y2 y1,az=z2 z1分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.zxyM1M2ao四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 设 a=ax,ay

10、,az,b=bx,by,bz,且为常数(1)a b=ax bx,ay by,az bz(2)a=ax,ay,az证明:(1)a+b=(ax i+ay j+az k)+(bxi+by j+bz k)=(ax i+bxi)+(ay j+by j)+(az k+bz k)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k两向量平行的充要条件.设 a=ax,ay,az,b=bx,by,bz,且为常数 a/b a=b即ax=bx,ay=by,az=bz,于是 a/bzzyyxxbababa注:在(3)式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零.已知(3)例例2:设 A(x1,y1,z1)和B(x2,y

11、2,z2)为已知两点,点M位于 AB直线上,且分有向线段AB为两个有向线段AM和MB,使它们的值的比等于数(1).求分点M的坐标.zxyoABM而AM=x x1,y y1,z z1MB=x2 x,y2 y,z2 z故有)()()(212121zzzzyyyyxxxx解之得M的坐标为:1 ,1 ,1212121zzzyyyxxx解解:设M点的坐标为x,y,z,由AM=MB（1）两向量的夹角两向量的夹角设有非零向量ba,(起点同).b),(baa记为 或),(ba),(ab规定：正向间位于0到之间的那个夹角为 的夹角,ba,ba,注2.类似可定义向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.注1.若中有一个为

12、零向量，规定它们的夹角可在0到之间任意取值.ba,五、向量的模、方向角和投影五、向量的模、方向角和投影.(2)方向角:向量a 与x,y,z 轴正向夹角,称为a 的方向角.(3)方向余弦:方向角的余弦 cos,cos,cos,称为方向余弦.(4)向量的模与方向余弦的坐标表达式故有 ax=|a|cos ay=|a|cos az=|a|cosayzx0设a=ax,ay,az,而222|zyxaaaa222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa(4)(5)故由(5)式可得cos2+cos2+cos2=1(6)设ea是与a同向的单位向量|aaea2222222

13、22,zyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa=cos,cos,cos(7)例例3.3.已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1 M2的模,方向余弦和方向角.2 解解:M1 M2=1,1,2|M1 M2|=;24)2(1)1(222;22cos ,21cos ,21cos43 ,3 ,32例例4.4.已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3).求方向和AB 一致的单位向量.解解:AB=3,1,2|AB|14)2(13222312,|141414ABABeAB 六六 向量在轴上的投影向量在轴上的投影(1)(1)点在轴上投影点在轴上投影设有空间一点A及轴u,过A作u轴的垂

14、直平面,平面与u轴的交点A叫做点A在轴u上的投影.AAu(2)(2)向量在轴上的投影向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A 和B.称有向线段A B 的值A B 为向量AB在轴u上的投影.记作 PrjuAB,或(AB)uBBAAu即:PrjuAB=A B 轴u叫做投影轴.（3 3）向量的投影性质向量的投影性质.性质性质1(1(投影定理投影定理)设向量AB与轴u的夹角为.则 PrjuAB=|AB|cos BBAAuuB性质性质2 2.1212Prj()PrjPrjuuuaaaa推论推论:1212Prj()PrjPrjPrjunuuunaaaaaa性质性质3:3:设

15、为某一实数.则Prj()PrjuuaaBBAAuCC1a2a21aaazijkMoxyCABzayaxN第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积例例:设力F作用于某物体上,物体有一段位移S,求功的表示式.解解:由物理知,与位移平行的分力作功,与位移垂直的分力不作功.于是且;,20作正功时当;,2作负功时当.,2不作功时当W=|F|cos|S|=|F|S|cossF1.定义定义:设有两个向量 a、b,它们的夹角为,将数值|a|b|cos 称为a与b的数量积,记作 a b.即:a b=|a|b|cos由于 当 a 0时,|b|cos =Prjab当 b 0时,|a|cos =Prjba故 a b=

16、|a|Prjab=|b|Prjba注:a a=|a|2例如:i i=j j=k k =12.2.数量积的性质数量积的性质(1)交换律 a b=b a (2)分配律 (a+b)c=a c+b c(3)数量积满足如下结合律:(a)b=a (b)=(a b)为实数()|Prj()|(PrjPrj)cccabccabcab|Prj|Prjcccacba cb c (4)两个非零向量a,b 垂直 a b=0证:必要性:设a b,.2则02cos|baba充分性:设a b=|a|b|cos=0;由a 0,b 0,得:cos=0 ,2即 a b例如:i、j、k 互相垂直,所以i j=j k=i k =0例例

17、1:1:如图,利用数量积证明三角形的余弦定理|c|2=|a|2+|b|2 2|a|b|cos证证:由于c=a b,于是|c|2=|a b|2=(a b)(a b)=a a+b b 2 a b=|a|2+|b|2 2|a|b|cos|c|2=|a|2+|b|2 2|a|b|cos故:abc3.3.数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式设 a=ax,ay,az,b=bx,by,bz,则a b=(ax i+ay j+az k)(bx i+by j+bz k)=ax i (bx i+by j+bz k)+ay j (bx i+by j+bz k)+az k (bx i+by j+bz k)=ax bx

18、i i+ax by i j+ax bz i k +ay bx j i+ay by j j+ay bz j k +az bx k i+az by k j+azbz k k=ax bx+ay by+az bz得公式:a b=ax bx+ay by+az bz(1)推论:两个非零向量a=ax,ay,az,b=bx,by,bz垂直 ax bx+ay by+az bz=04.4.数量积在几何中的应用数量积在几何中的应用设 a=ax,ay,az,b=bx,by,bz,(1)求 a 在 b 上的投影.已知:Prjba=|a|)cos(ba,由|a|b|=a b,得)cos(ba,222jPrzyxzzyyx

19、xbbbbababa|b|baab(2)(2)求两向量 a,b 的夹角由|a|b|cos=a b,知|babacos(3)222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa例例2.2.已知三点 M(1,1,1),A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.解解:AMB即为向量MA与MB的夹角.由MA=1,1,0 MB=1,0,1得:cosAMB=|MBMAMBMA21101011100111222222所以3AMB由力学规定:力F 对支点O的力矩是一个向量M.例例:设O为一根杠杆L的支点,有一个力F 作用于这杠杆上P点处,F与OP的夹角为,考虑F 对支点O的力矩.其中:FOQPL(

20、1)|M|=|OQ|F|=|OP|sin|F|=|OP|F|sin(2)M的方向:垂直于OP与F 所在的平面,指向满足右手规则.即:右手四指从OP以不超过的角转向F 握拳,大拇指的指向就是M 的方向.1.1.定义定义:设有两个向量 a、b,夹角为,作一个向量c,使得abc=ab(1)|c|=|a|b|sin(2)c 与a、b所在的平面垂直,(即 c a且c b).c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定.则将向量c 称为 a 与 b 的向量积,记作:a b.即:c=a b注注:向量积的模的几何意义向量积的模的几何意义.以a、b为邻边的平行四边形,其面积等于|a|b|sin,所以a b的模,

21、等于以a、b为邻边的平行四边形的面积.2.2.向量积的性质向量积的性质(1)a a=0(2)a b=b a(3)分配律 a(b+c)=a b+a c(4)向量积与数乘满足结合律:(b+c)a=b a+c a(a)b=a (b)c=(a b)为实数(5)两个非零向量a、b平行 a b=0 证证:必要性:设a、b平行,则 =0或 =.于是|a b|=|a|b|sin=0所以 a b=0 充分性:设 a b=0 则|a b|=|a|b|sin=0由|a|0,|b|0,得=0或 =.所以 a 与 b 平行例如:i i=j j=k k=0 i j=k j k=i k i=j j i=k k j=i i

22、k=jkji设 a=ax,ay,az,b=bx,by,bz,则a b=(ax i+ay j+az k)(bx i+by j+bz k)=ax i (bx i+by j+bz k)+ay j(bx i+by j+bz k)+az k (bx i+by j+bz k)=ax bx(i i)+axby(i j)+axbz(i k)+ay bx(j i)+ayby(j j)+aybz(j k)+azbx(k i)+azby(k j)+azbz(k k)=ax by k+ax bz(j)+ay bx(k)+ay bz i+az bx j+az by(i)=(ay bz az by)i+(az bx ax

23、 bz)j+(ax by ay bx)k得公式:a b=(aybz azby)i+(azbx axbz)j+(axby ay bx)kxyzxyzijkaaabbb例例3:3:求垂直于向量 a=2,2,1和b=4,5,3的向量c.解解:a b 同时垂直于a与b，而221453ijkab=6i+4j+10k 8k 6j 5i=i 2j+2k取 c=a b=1,2,2.显然,对于任意 0R,c=,2,2 也与a、b垂直.例例4:4:已知ABC的顶点分别是A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求ABC的面积.xyzABCo解解:由向量积的定义.|21ACABSABC而AB=2,2,2

24、AC=1,2,4所以222124ABAC ijk=4i 6j+2k于是|21ACABSABC142)6(421222,333zyxc 333222111)(zyxzyxzyxcba则 基本性质基本性质 abc 已知已知2 cba，计算计算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba.4 例例50|830|7)27()4(22bbaababa(2)baa 2|20|1516|7)57()3(22bbaababa(1)bab 2|21

25、cos(,)|2a ba ba b(,)3a b06123432231)(cba)42,33,2()6,12,3(因此应有 642123332bac 5Prj|cos,|ac accc aa 1414511451第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程1.1.定义定义:若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有如下关系:(1)S上任一点的坐标满足方程F(x,y,z)=0;(2)不在S上点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.F(x,y,z)=0 Sxyzo M01.1.球面球面考虑球心为M0(x0,y0,

26、z0),半径为R的球面.即:(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2 =R2 (1)称方程(1)为球面的标准方程球面的标准方程.M R特别:当球心在原点O(0,0,0)时,球面方程:x2+y2+z2 =R2 对于球面上任一点M(x,y,z),都有|M M0|2=R2.解解:原方程可改写为(x 1)2+(y+2)2+z2 =5故原方程表示球心在M0(1,2,0),半径为 的球面.5例例1:1:方程 x2+y2+z2 2x+4y=0表示怎样的曲面?xyzo2.柱面:例如:考虑方程x2+y2=R2所表示的曲面.在xoy面上,x2+y2=R2 表示以原点O为圆心,半径为R的圆.xoy面上的圆 x

27、2+y2=R2 叫做柱面的准线准线.平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线母线.曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线l沿xoy面上的圆x2+y2=R2 移动而形成,称该曲面为圆柱面圆柱面.olM(x,y,0)(1)(1)定义定义:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面柱面.定曲线C叫做柱面的准线准线.动直线 L 叫做柱面的母线母线.例例2:2:方程 y2=2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面,它的准线是xoy面上的抛物线y2=2x,该柱面叫做抛物柱面.oxzyy2=2x例例2:2:方程 xy=0表示.母线平行于 z 轴的柱面,它的准线是xoy面上的直线xy=0,所以它是过

28、z轴的平面.xy=0zxyo(2)(2)母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程.1 方程F(x,y)=0 表示:母线平行于 z 轴的柱面,准线为xoy面上的曲线 C:F(x,y)=0.2 方程F(x,z)=0 表示:母线平行于 y 轴的柱面,准线为xoz面上的曲线 C:F(x,z)=0.3 方程F(y,z)=0 表示:母线平行于 x 轴的柱面,准线为yoz面上的曲线 C:F(y,z)=0.3.3.旋转曲面旋转曲面(1)(1)定义定义:以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转旋转曲面曲面,这条定直线叫旋转曲面的轴轴.yxzooC例例:已知yoz面上一条曲线C,

29、方程为F(y,z)=0,曲线C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面.设M0(0,y0,z0)是C上任意一点,则有F(y0,z0)=0当C绕 z 轴旋转而M0随之转到M(x,y,z)时,有|0220yyxzz220yxy将z0=z,代入方程F(y0,z0)=0,得0),(22zyxFyxozM0(0,y0,z0)MC旋转曲面的方程:例例4:4:求直线 z=ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程.zxyz=ay解解:将 y 用 代入直线方程,得22yx)(22yxaz平方得:z2=a2(x2+y2)该旋转曲面叫做圆锥面,其顶点在原点.xy例例5.5.求坐标面 xoz 上的双曲线22221xzac分别

30、绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转222221xyzac绕 z 轴旋转222221xyzac这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z1.1.定义定义:由x,y,z的二次方程:ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面,称为二次曲面二次曲面.其中a,b,i,j 为常数.研究方法是采用平面截痕法平面截痕法.zoxyO2 用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆kzckbyax2222221当|k|c 时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c 时,椭圆退缩成点.2.2.几种常见二次曲面几种常见二次曲面.(1

31、)椭球面椭球面1 用平面z=0去截割,得椭圆012222zbyax2222221xyzabc3 类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:,012222xczby.012222yczax特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.(2)(2)椭圆抛物面椭圆抛物面:zbyax22221 平面 z=k,(k 0)截割,截线是平面 z=k上的椭圆.kzkbyax2222k=0时,为一点O(0,0,0);随着k增大,椭圆也增大.zyxo2 用平面 y=k去截割,截线是抛物线,2222kyzbkax.,022axzk为时当3 类似地，用平面 x=k 去截割

32、,截线是抛物线.kxzbyak2222.,022byzk为时当(3)(3)双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222(p,q 同号)xyzo(4)(4)单叶双曲面单叶双曲面by 1)1上的截痕为平面1zz 椭圆.时,截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x 轴）by 1)2时,截痕为0czax)(bby或by 1)3时,截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线:双曲线:0(5)(5)双叶双曲面双叶

33、双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面（6 6）椭圆锥面）椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.zxyo1)()(2222t byt axtz,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到)xyz思考题思考题方程方程 3254222xzyx表示怎样的曲线？表示怎样的曲

34、线？思考题解答思考题解答 3254222xzyx.316422 xzy表示双曲线表示双曲线.第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程设有两块曲面S1,S2,它们的方程依次为:S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此0),(0),(zyxGzyxF即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程.(1)x y zo S1S2C例例1:1:球面 x 2+y 2+z 2=32与平面 z=2的交线是一个圆,它的一般方程是x 2+y 2+z 2=32 z=2例例2:2:方程组222222)2()2(

35、ayaxyxaz表示怎样的曲线?解解:方程 表示球心在原点O,半径为a的上半球面.222yxaz方程 表示母线平行于z 轴的圆柱面.222)2()2(ayax它的准线xOy面上的圆,圆心在点.2),0,2(aa半径为所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.Oxyz将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.x=x(t)y=y(t)(2)z=z(t)当给定 t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着 t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例例3:3:如果空间一点 M 在圆柱面 x2+y2=a2 上以角速度 绕 z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于

36、z 轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M 构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.解解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上的一点 A(a,0,0)处,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).xyzhAOMtM(1)动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM =t.从而x=|OM|cosAOM =acos ty=|OM|sinAOM =asin t(2)动点同时以线速度v沿 z 轴向上升.因而z=MM =vt 得螺旋线的参数方程x=acos ty=asin tz=vt 注注:还可以用其它变量作参数.xyzAOMtMyxzA

37、OMtM例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:x=acos y=asin z=b.vb 这里当从 0变到 0+是,z由b 0变到 b 0+b,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.特别,当=2 时,M点上升高度h=2 b,h在工程上称 h=2 b为螺距.设空间曲线C的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(3)由方程组(3)消去z后得方程H(x,y)=0 (4)方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面,曲线C 一定在曲面上.以曲线C为准线,母线平行于z 轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面,投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线,或简

38、称投影.所以方程所表示的曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上的投影.H(x,y)=0z=0注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.例例4:4:已知两个球面的方程分别为:x2+y2+z2 =1和 x2+(y 1)2+(z1)2 =1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解解:联立两个方程消去 z,得01)21(4222zyx1)21(4222yx这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为例例5:5:设一个立体由上半球面 和锥面224yxz)(322yxz所围成,求它在xoy面上的投影.解解:半球面与锥面的交线为)(34:2222yxzyxzC由

39、方程消去 z,得 x2+y2=1yxzOx2+y2 1这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为x2+y2=1z=0这是xoy面上的一个圆.所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y2 1第五节第五节 平面及其方程平面及其方程1.1.法向量法向量:若一非零向量n垂直于一平面，则称向量n为平面 的法向量.注注:1 对平面,法向量n不唯一;2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.2.2.平面的点法式方程平面的点法式方程设平面过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量n=A,B,C.对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOn M0 M=0

40、而M0 M=x x0,y y0,z z0,得:A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0称方程(1)为平面的点法式方程点法式方程.(1)例例1:1:求过点(2,3,0)且以 n=1,2,3为法向量的平面的方程.解解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1 (x 2)2 (y+3)+3 (z 0)=0即:x 2y+3z 8=0 nM3M2M1解解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2=3,4,6 M1M3=2,3,1可取n=M1M2 M1M3132643kji=14i+9j k例例2:2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0

41、,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x 2)+9(y+1)(z 4)=0即:14x+9y z 15=0 1.1.定理定理1:1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n=A,B,C证证:A,B,C不能全为0,不妨设A 0,则方程可以化为0)0()0()(zCyBADxA它表示过定点 ,且法向量为 n=A,B,C的平面.)0,0,(0ADM注：注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0 (2)称为平面的一般方程一般方程.例例2:2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x 3y+4z 1=0,求其方程.解解:所求平面与已知平面

42、有相同的法向量n=2 3,42(x+1)3(y 2)+4(z 3)=0即:2x 3y+4z 4=02.2.平面方程的几种特殊情形平面方程的几种特殊情形(1)(1)过原点的平面方程过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0(2)(2)平行于坐标轴的方程平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=A,B,C与x 轴上的单位向量 i=1,0,0垂直,所以n i=A 1+B 0+C 0=A=0于是:平行于x 轴的平面方程是 By+Cz+D=0;平行于y 轴的平面方程是 Ax+Cz+D=0;平行于z 轴的平面

43、方程是 Ax+By+D=0.特别:D=0时,平面过坐标轴.(3)(3)平行于坐标面的平面方程平行于坐标面的平面方程平行于xOy 面的平面方程是 Cz+D=0;平行于xOz 面的平面方程是 By+D=0;平行于yOz 面的平面方程是 Ax+D=0.例例3:3:求通过x 轴和点(4,3,1)的平面方程.解解:由于平面过x 轴,所以 A=D=0.设所求平面的方程是 By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3B C=0 C=3B所求平面方程为 By 3Bz=0即:y 3z=0 例例4:4:设平面与x,y,z 轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程.

44、解解:设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上,于是aA+D=0bB+D=0cC+D=0解得:cDCbDBaDAoyPxzQR所求平面的方程为:0DzcDybDxaD即:1czbyax(3)上式称为平面的截距式方程截距式方程。1.1.定义定义:两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角两平面的夹角.1n1n22若已知两平面方程是:1:A1x+B1y+C1z+D1=0法向量 n1=A1,B1,C12:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量 n2=A2,B2,C2,),(),(),(21212121两者中的锐角和应是的

45、夹角与平面nnnnnn),cos(21nn|2121nnnn222222212121212121|CBACBACCBBAAcos所以2.平面1与2 相互垂直 A1A2+B1B2+C1C2=0平面1与2 相互平行212121CCBBAA规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.例例6:6:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面 x+y+z=0,求它的方程.解解:设所求平面的一个法向量 n=A,B,C已知平面 x+y+z=0的法向量 n1=1,1,1 所以:n M1M2 且n n1 而 M1M2=1,0,2于是:A (1)+B 0+C (2)=0 A 1+B 1

46、+C 1=0解得:B=CA=2C取C=1,得平面的一个法向量n=2,1,1所以,所求平面方程是2 (x 1)+1 (y 1)+1 (z 1)=0即:2x y z=0例例7:7:设P0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到这平面的距离d.解解:在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)P0P1Nn则 P1P0=x0 x1,y0 y1,z0 z1过P0点作一法向量 n=A,B,C于是:01jPrPPdn|01nnPP222101010)()()(CBAzzCyyBxxA又 A(x0 x1)+B(y0 y1)+C(z0 z1)=Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+

47、C z1+D)=Ax0+By0+Cz0+D所以,得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:222000CBADCzByAxd(4)例如:求点A(1,2,1)到平面:x+2y+2z 10=0的距离13322110122211222d7|4|236|26|122211DDd716236|1226|2222d7|4|236|26|122211DDd716236|1226|2222d012236zyx或 020236zyx 第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程空间直线可看成是两个不平行的平面1和2的交线.已知平面1:A1x+B1y+C1z+D1=02:A2x+B2y+C2z+D2=0那末

48、,交线L上的任何点的坐标满足:A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0不在交线L上的点不满足方程组(1)(1)称方程组(1)空间直线的一般方程空间直线的一般方程.xyzO12L1.1.定义定义:与空间直线L平行的向量s=m,n,p,称为该直线的方向向量方向向量.而s 的坐标m,n,p称为直线L的一组方向数方向数.sL2.2.直线的对称式方程直线的对称式方程已知直线L过M0(x0,y0,z0)点方向向量 s=m,n,p在L上任取一点M(x,y,z),有M0 M/s.而M0 M=xx0,yy0,zz0所以得比例式pzznyymxx000(2)称为空间直线的对称式方程或点向式

49、方程.sM0LM3.3.空间直线的参数式方程空间直线的参数式方程tpzznyymxx000 令得:x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt称为空间直线的参数方程参数方程.(3)例例1:1:写出直线x+y+z+1=02x y+3z+4=0的对称式方程.解解:(1)先找出直线上的一点M0(x0,y0,z0)令z0=0,代入方程组,得x+y+1=02x y+4=0解得:32 ,3500yx)0,32,35(0M所以,点 在直线上.(2)再找直线的方向向量 s.由于平面1:x+y+z+1=0的法线向量n1=1,1,1平面2:2x y+3z+4=0的法线向量n2=2,1,3所以,可取111213ijk

50、=4i j 3k于是,得直线的对称式方程:3132435zyx21nns例例2:2:求通过点A(2,3,4)与B(4,1,3)的直线方程.解解:直线的方向向量可取 AB=2,2,1所以,直线的对称式方程为142322zyx定义定义:两直线的方向向量间的夹角称为两直线的夹角,常指锐角.s1s2已知直线L1,L2的方程,:1111111pzznyymxxLs1=m1,n1,p1,:2222222pzznyymxxLs2=m2,n2,p21.L1与 L2的夹角的余弦为:cos2.L1垂直于 L2 m1 m2+n1 n2+p1 p2=03.L1平行于 L2.212121ppnnmm|),cos(|21