备《一元二次方程的实根分布问题》课件.ppt

1、一元二次方程的实根分布问题一元二次方程的实根分布问题 ：对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0f(x)=0的的实数实数x x叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的的零点零点(zero point).(zero point).方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)y=f(x)有零点有零点剖析概念剖析概念,你能得出什么结论吗？你能得出什么结论吗？结论：结论：函数函数y=f(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)=0的实的实数根。数根。想一想想一想,怎样求函数的

2、零点呢？怎样求函数的零点呢？求函数的零点有两种方法：求函数的零点有两种方法：代数法代数法:求方程求方程f(x)=0的实数根；的实数根；几何法几何法:将它与函数将它与函数y=f(x)的图象联的图象联系起来系起来,并利用函数的性质找出零点。并利用函数的性质找出零点。如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图上的图象是象是连续不断一条曲线连续不断一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内内有零点有零点.即存在即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根.连续函数在某个区间上连续函

3、数在某个区间上存在零点的判别方法：存在零点的判别方法：思考思考:若函数若函数y=f(x)在区间在区间a,b上有零点，是否上有零点，是否一定有一定有f(a)f(b)0 =0 0)的图象的图象一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根 一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集的解集 一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c0)的解集的解集 有相异两实根x1,x2(x1x2)有相等两实根x1 x2b/2a没有实根xx2xb/2aRx1x0)+bx+c=0(a0)的实根分布的实根分布两个根均在两个根均在 (m(m，n)n)内内X X1 1(m(m，n)n)，X

4、 X2 2(p(p，q)q)。0)(0)(20nfmfnabm小结：小结：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的实根分布的实根分布0)()0(nfmf两根均在两根均在mm，nn外两旁外两旁OxynmnOxymOxypmqn0)(0)(0)(0)(qfpfnfmf小结：小结：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的实根分布的实根分布两个根有且仅有一个在两个根有且仅有一个在(m(m，n)n)内内0)()(nfmf220)(nmabmmf 且或或nabnmnf220)(且或或nOxymnOx

5、ymnOxymxy1x2x0aO02abxy1x2x0aO02ab240(0).axbxca结论一元二次方程 有一根为零一根非零0,021xx0,021xx小结：小结：突现函数图象，研究二次方程突现函数图象，研究二次方程ax2+bx+c=0的根的的根的分布问题：分布问题：二次项系数二次项系数a的符号；的符号；判别式的符号；判别式的符号；区间端点函数值的正负；区间端点函数值的正负；对称轴对称轴x=b/2a与区间端点的关系与区间端点的关系注：方程、不等式问题等价转化图形问题注：方程、不等式问题等价转化图形问题 等价转化简单不等式组等价转化简单不等式组 例1(1)若一元二次方程(m1)x22(m1)

6、xm0有两个正根，求m的取值范围【答案】(0,1)例题讲解例题讲解(2)若一元二次方程kx23kxk30的两根都是负数，求k的取值范围(3)k在何范围内取值，一元二次方程kx23kxk30有一个正根和一个负根？【答案】(0,3)(4)若一元二次方程kx2(2k1)xk30有一根为零，则另一根是正根还是负根？【解析】由已知k30，k3，代入原方程得3x25x0，另一根为负【答案】负根 例2(1)已知方程x211xm20的两实根都大于1，求m的取值范围(2)若一元二次方程mx2(m1)x30的两个实根都大于1，求m的取值范围(3)若一元二次方程mx2(m1)x30的两实根都小于2，求m的取值范围(

7、5)已知方程x2(m2)x2m10有一实根在0和1之间，求m的取值范围(6)已知方程x2(m2)x2m10的较大实根在0和1之间，求m的取值范围 变式：改为较小实根(7)若方程x2(k2)xk0的两实根均在区间(1,1)内，求k的取值范围(8)若方程x2(k2)x2k10的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围(9)已知关于x的方程(m1)x22mxm2m60的两根为，且01，求m的取值范围例例1、若关于、若关于x的方程的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于的两根一个小于1，另一根，另一根大于大于1，试求实数试求实数k 的取值范围。的取值范围。1xy0123时当

8、0k0)1(f由图象得：4 k0k时当0k0)1(f由图象得：4 k4k04kk或综上得：2423)(2kxkxxf解：设例例3、已知关于、已知关于x的方程的方程4x2-4x+m=0在在-1，1上上有两个根，求有两个根，求m的取值范围。的取值范围。1xy01mxxxf44)(2解：令0)1(01616fm由图象知：10m例例1、若关于、若关于x的方程的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于的两根一个小于1，另一根，另一根大于大于1，试求实数试求实数k 的取值范围。的取值范围。1xy01230)1(kf由图象得：04kk或解得：2423)(2kxkxxf解：设2(2)(2)(21)0 1

9、012 .mxmxmm已知二次方程 的两根分别属于（，）和（，）求的取值范围21210 1)(87)01122 17480011 42mmmmmffmffm(-1)(0)()()解：由题(1(4 )(2)的取值范围。求实数满足、两根的的方程、若关于练习pppxpxx,21002)13(71221xy02如图解：因为,21002)13(22802)13(702222pppppppp304221ppppp或或4312pp或0)2(0)1(0)0(fff小结：小结：突现函数图象，研究二次方程突现函数图象，研究二次方程ax2+bx+c=0的根的的根的分布问题：分布问题：二次项系数二次项系数a的符号；的

10、符号；判别式的符号；判别式的符号；区间端点函数值的正负；区间端点函数值的正负；对称轴对称轴x=b/2a与区间端点的关系与区间端点的关系注：方程、不等式问题等价转化图形问题注：方程、不等式问题等价转化图形问题 等价转化简单不等式组等价转化简单不等式组课堂练习：课堂练习：1.1.若方程若方程7x7x(m+13)x+m(m+13)x+mmm2=0在区间在区间(0，1)1)、(1(1，2)上各有一个实根，求实数上各有一个实根，求实数mm的取值范围。的取值范围。)4,3()1,2(2.2.若方程若方程2x x(m(m2)x2)x2mmm=m=0的两根在区间的两根在区间 0，1 1 之外两旁，求实数之外两

11、旁，求实数mm的取值范围。的取值范围。),1()2,(4.4.若方程若方程x x2mx+m2mx+m1=1=0在区间在区间(2 2，4)4)上有两根，上有两根，求实数求实数mm的取值范围。的取值范围。)3,1(3.3.关于关于x x的方程的方程2kx2kx2 2-2x-3k-2=0-2x-3k-2=0的二根，一个小于的二根，一个小于1 1，另一个大于另一个大于1 1，则求实数，则求实数k k的取值范围。的取值范围。),0()4,(课堂练习：课堂练习：24.1(0,3),(3,0).yxmxABABm 例 若二次函数的图像与两端点为 的线段有两个不同的交点，求 的取值范围223(03)3(03)

12、1(1)400,3.0103103.23(0)40(3)93(1)4010(3,3ABxyxxyxyxmxxmxmmffmm 解：线段的方程为 由题意得：有两组实数解 整理得 在上有两个不同的实根 故 解得 故 的取值范围是 例1、已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。例题例题oxym=0m0oxyoxyoxy例1、已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。解：当 m=0 时，f(x)=-3x+1与x轴交点为(,0)满足条件 当m0时，开口向下，0时所以m的取值范围是(-，1

13、m1100230mmm31例题例题 例2、关于x的方程lg(kx)=2lg(x+1)有且仅有一个实数解，求实数k的取值范围。解：原方程可化为：lg(kx)=lg(x+1)2,它等价于 有且仅有一个实数解方程有两个相等的实根，此根大于，且不为，令f(x)=x2+(2-k)x+1，则求得k=4方程有二根，一个大于，一个小于，则f(-1)0，解得k0所以k得取值范围是k0或k=401)2(1)1(01022xkxxxkxxkx12204)2(2kk例2、关于x的方程lg(kx)=2lg(x+1)有且仅有一个实数解，求实数k的取值范围。例题例题 例3、对于任意的实数x，sin2x+2kcosx-2k-

14、20,令t=cosx 则|t|，令f(t)=t2-2kt+2k+1,即f(t)的图象在-1,1内与横轴没有交点，对称轴为 t=k.(1)若k0,即 k，故不存在满足条件的k.(2)若-1 k1,只需4k2-4(2k+1)0,求得 1-1时，只需f(1)，求得k1综上所述，k的取值范围是k1-22例3、对于任意的实数x，sin2x+2kcosx-2k-20恒成立，求实数k的取值范围21，的解集为解：记不等式Aaxx0922，的解集为记不等式Bxx0342，的解集为记不等式Cxx0862CBA则由题意知：31|xxB42|xxC41|xxCBA212,092xxaxx的根为设方程4121xx21,

15、xx 不妨设的范围中的一个，求和，至少满足不等式的满足不等式练习axxxxxaxx086034092:2222212,092xxaxx的根为设方程4121xx21,xx 不妨设的范围中的一个，求和，至少满足不等式的满足不等式练习axxxxxaxx086034092:2222xy1040(1)0(4)0ff 2()29f xxxa令，81 807040aaa8178a my0212112kxgxxxf)(,23)(2令25169k16925)11(,23)(2xxxxf另解：令25,169)(的值域为xf25,169k的范围。上有实根，求，在、若练习kkxx 1102342例例3.就实数就实数k

16、的取值，讨论下列关于的取值，讨论下列关于x的方程的方程解的情况：解的情况：223xxk2 4 =43 43 33.2kkkkkyxxyk ：将方程视为两曲线 与相交，其交点横坐标便是方程的解，由图知：时，无解；或时，有两解；时有四个解；时有三个解解34yx 1一元二次方程的根的基本分布零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧 设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个实根为x1，x2，且x1x2.小结小结 2一元二次方程的根的非零分布k分布 设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根为x1，x2，且x1x2.k为常数则一元二次方程根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下若干定理【定理3】x1kx2af(k)0.推论1x10 x2ac0.推论2x11x2a(abc)0.【定理4】有且仅有k1x1(或x2)k2f(k1)f(k2)0.