微分方程一-课件.ppt

1、xdxdyxdxdyxdxdy222112,122xyDyxCxy，满足)()(tkNdttdN例例3：自由落体问题自由落体问题222221112122()1()20,0,00,012d sd sdsmmggdgdtdtdtdtdsgtCdsgtC dtsgtC tCdtdstsCCdtsgt0),(nyyyxF0000yyyyxxxx或时1010000,yyyyyyyyxxxxxx或),(yxFdxdy dxxfygdyygxfdxdy)()()()(dxxfygdy)()()1(2yxdxdyxdxydy21解：分离变量得Cxarctgy221)21(2Cxtgy0 xdyydxCxy22

2、222022 yxdMdMMdtdtM tCCteeeMCtM11_ln1tteMMCMCeM00_初始0.0 20.0 2ln0.0 2lntd xxd txtCxC e tex02.010（千克）679.3101ex二、一阶齐次方程二、一阶齐次方程定义定义 如果一阶微分方程，可化为如果一阶微分方程，可化为称这微分方程为称这微分方程为齐次微分方程。齐次微分方程。例：例：考察方程考察方程 p119()yyfx()()dududxuxf udxf uux两边积分，用两边积分，用u=y/x代入。代入。例：例：例例6-7、6-8、6-9)()(xQyxPy0)(yxPy )()(xQyxPy 1()

3、()11()ln()_p x dxp x dxdyp x dxyp x dxCyyC eyCeCC dxxpCey)()()_()ln()()()dyQ xp x dxyyQ xydxp x dxu xp x dxy记作两边积分dxexQeCeydxxpdxxpdxxp)()()()()()()()()()p x dxp x dxu xu xp x dxyeeyeeyc x e 记作设想方程的解有形式：设想方程的解有形式：()()p x dxyc x e 222xxexydxdy02xydxdyxdxydy22xCey代入方程有222)(2)()(xxxexxCexCdxdyexCyCxxCx

4、xC2)(_2)(2)(2xeCxy22)(_2)(xxexQxxPxexyysincoscxyxdxydyxydxdylnsinlncos0cosxCeysinxxxexxCexCyexCysinsinsin)(cos)()(CxxCeexCxx)()(sinsinxxxxeCeeCxysinsinsin)(21xyxyCxyyxdxdy01)()()(xCxxCyxxCyCxxCxxC221)()(xCxy)21(261_214xyxydxdyx32xyxdxdy220_dydyydxdxxyx 分离变量得2 Cxy2)(xxCyCxxCxxC6)(_)(652461xCxy0611Cyx

5、461xy 四、伯努利方程四、伯努利方程定义定义 称伯努利称伯努利（Bernoulli）方程。方程。()()(0,1)ndyP x yQ x yndx01nn或线性微分方程；线性微分方程；0,1nn非线性微分方程非线性微分方程1(1)()()1(1)()(1)()nnnnndzdyzynydxdxydzPx zyQxyn dxdzn Px zn Qxdx令例：例：p123 例例6-122122(ln)1ln(ln)2(ln)12d yyaxyd xxd zzyzaxd xxazx Cxay x Cx 令令通通 解解：例例：11111ln1ln11_yCdydxxyxyudxxydydydudu

6、uuuxCdxdxdxuyxyCxC eyCe 例例：令令例：例：求微分方程的通解求微分方程的通解()cosyxCx例：例：通解为通解为 的微分方程为：的微分方程为：xyCex111xyCeyxyyxxytgxycos例：例：曲线曲线y=f(x)过点过点(0,-1/2)，其上任一点，其上任一点(x,y)的切线斜率为的切线斜率为xln(1+x2),求求f(x).20222221ln(1)_21ln(1)(1)ln(1)1201()(1)ln(1)12xdyxxydxyxxdxxxCCfxxx 初初解解始始：例：例：求微分方程的通解求微分方程的通解3()20yx dxxdy253212211()5

7、5d yxyd xxyxxCxCx 解解：例：例：22_(1)1x yxyyy求求的的解解。221221332111111112()21yyyyyyxxxxzyzzxxxzxCyxyx 解解令令：一、可降阶微分方程一、可降阶微分方程)(xfy 211)()(CxCdxxfyCdxxfy 2型),(yxfy 代换：设代换：设)(pdxdpyxpy),(),(1cxppxfp通解为 即即：211),(),(cdxcxycxdxdy 例：例：p123 例例6-13 0)1(2xyyxdxxxpdpxpdxdpx221_0)1(分离变量得212111xCdxdyxCp21arcsinCxCy),(yy

8、fy)(ypy)(ypdxdy令 dydpypdxdydydpdxdpy)(方程变为：方程变为：),(pyfdydpp 通解：通解：),(),(cydxdycyp分离变量后再积分，分离变量后再积分，通解：通解：2),(Cxcydy例：例：p124 例例6-14、6-15六、二阶常系数线性微分方程六、二阶常系数线性微分方程()()()yP x yQ x yf x()ypyqyf x )()(21xyxy和()()()yP x yQ x yf x )()()(2211xyCxyCxy kxyxy)()(1211212211)(CyykCCyCyCy2112,)()(CCxyxy常数时，2211yC

9、yCy0)()(2211xykxyk.3,22是线性相关与是线性无关；与与xxxxxeeeeex)(),(21xyxy )()(2211xyCxyCy 21,CC)(xy)()()(2211xyCxyCxY)()()(2211xyxyCxyCyYy0 yyxyxycos,sin21xCxCycossin21xyy xCxCycossin21xy xxCxCyYycossin21 rxe 20rprq 242ppqr2()0rxerprq240pq r1 r2。则。则 常数xrrxrxreeeyyrr)(21211212 通解为：通解为：xrxreCeCy2121240pq，122prr：xre

10、y11 设设 21()yu xy 常数将将 12)(yxuy xrxeyxxu12)(通解为：通解为：xrexCCyCyCy1)(212211240pq ，ir常数xieyy212xixieyey)(2)(1cossinixexix)sin(cos)sin(cos21xixeyxixeyxxxeiyyxxeyyxxsin2cos22121通解为通解为：)sincos(212211xCxCeyCyCyx(1)写出特征方程写出特征方程 20rprq(2)求出两个特征根求出两个特征根(3)根据特征根的情况，按表写出方程的通解根据特征根的情况，按表写出方程的通解21,rr20rprq 的根21,rr相

11、异实根21rr 重根ir复根0ypyq 的通解xrxreCeCy2121xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx例：例：p128 例例6-17、6-18、6-19054 yyyxxeCeCy5212,40200 xxyyyyyxexCCy)(21xexy)2(2054 yyyir 22,1)sincos(212xCxCeyxirr3_092特征根xCxCy3sin3cos21xCxy3sin3cos2xxy3sin313cos0)(2 qprrxfqypyy特征方程：yYy2 2xyyyxxeCeCxY221)(则设左边含有是二次多项式因为,)(2yxxf代入原方程2120b

12、xbxby22101020)22()22(2xbbbxbbxb43212102202212210210100bbbbbbbbb2212113224xxy Yy CeCexx 1.()()rxmf xe Px型型1011()mmmmmP xa xa xaxa特解形式：特解形式：代入方程代入方程 _()rxyQx e2()(2)()()()()mQ xrp Q xrprq Q xP xypyqyf x()1、如果、如果r不是特征根不是特征根20rprq因为因为Pm(x)是是m,次多项式次多项式Q(x)必须是必须是m次多项式次多项式.1011()_()rxmmmmmmyQx eQxb xb xbxb

13、 2、如果、如果r是特征方程的单根是特征方程的单根20,20rprqrpQ(x)必须是必须是m次多项式，即次多项式，即Q(x)必须是必须是m+1次次多项式。多项式。()r xmyx Qxe20,20rprqrpQ(x)必须是必须是m次多项式，即次多项式，即Q(x)必须是必须是m+2次多项式。次多项式。_2()rxmyx Qx e特解形式：特解形式：_()krxmyx Qx er不是特征根不是特征根k0；单根单根k1；重根重根k2例：例：p130 例例6-20、6-21、6-22例：例：设二阶常系数微分方程设二阶常系数微分方程 的一个特解为的一个特解为确定确定 。xyyye2(1)xxyex e

14、,2(42)(32)(1)420323,2,110 xxxxeexee 解解：代代入入原原方方程程例：例：21yyx求求的的特特解解解：解：这里这里r=0,m=2，r不是特征根不是特征根k=0，设设_22012012_2()1,0,11yQ xb xb xbbbbyx 代入方程，代入方程，例：例：22xyyye232xyyyxedtdxdtdCdttdCdttCCddtdx)()(0零级反应：零级反应：化学反应速度与反应物浓度无关。化学反应速度与反应物浓度无关。零级零级 一定剂量的药物（丹参、青霉素注射液）一定剂量的药物（丹参、青霉素注射液）做恒速静脉滴注的过程是零级速率过程。做恒速静脉滴注的

15、过程是零级速率过程。设时刻设时刻t，瓶内药量为，瓶内药量为x，滴注速率为，滴注速率为k。则。则cktxkdtdx（零级速率常数）初始：初始：t=0,x=x0c=x0有有0 xktx药量与时间呈线性关系。药量与时间呈线性关系。例题例题：镭的初始量镭的初始量x0，求残存量，求残存量x与时间的关系。与时间的关系。据题意据题意：）为一级速率常数，（0kkkxdtdxAB000_0,ktktxCetxxCxxx e 初始tox0 x2、二级反应、二级反应 称二级反应。一定温度时等称二级反应。一定温度时等容反应的速率与各反应物浓度的乘积成正比容反应的速率与各反应物浓度的乘积成正比 ABC0()(),0td

16、xk axbxxdt1()ln()ka tkb tka tkb tax babktabbx aeexa ba eb e22()1abdxk axda ktxakttd Vk Vd td kkd t Akdtdk为常数，记为,00000AttVVVV e，由方程得由此可见，肿瘤按指数生长，生长速率为由此可见，肿瘤按指数生长，生长速率为A0,_0tkAeAtk由 方 程 得：其 中为时 的 值。将上式代入将上式代入dV/dt=kV方程，得方程，得)(10tAeVV e这是描述肿瘤生长的数学关系，称为高帕茨这是描述肿瘤生长的数学关系，称为高帕茨Gompertz（德国数学家）（德国数学家）函数。函数。

17、0101,0tAttetVV et（）当时，由于所以可见，当为不等于 的有限值时，只要 足够小，即肿瘤生长初期，呈指数生长。max0(2)0,_tAteVV e 当时，有ln21ln()ln2ddttAAtAe为常数，而在按高姆帕茨生长时，有显然，显然，td不是常数，它随不是常数，它随t的增大而增大。的增大而增大。三、药学模型三、药学模型快速静脉注射快速静脉注射消除消除D0-kxVx(t)一室模型近似将机体看成是一个动力学单元，给一室模型近似将机体看成是一个动力学单元，给药后瞬时分布到血液和器官。药后瞬时分布到血液和器官。例例1 快速静脉注射模型快速静脉注射模型设体内为一个室（动力学一室模型）

18、，设体内为一个室（动力学一室模型），V表观容积。表观容积。设药物消除是一级速率，一次设药物消除是一级速率，一次快速静脉注射剂量为快速静脉注射剂量为D0 ,求血药浓度变化。求血药浓度变化。设设设设t时刻药量为时刻药量为x，则则00000_lnlntktktdxkxxDdtdxkdtxktCxC edxDC eCxD e 血药浓度血药浓度00()_DxC tCVV血药浓度消除率血药浓度消除率0()ktC tC e例例2 恒速静脉注射一室模型恒速静脉注射一室模型 K0-kxVX(t)K0 恒速注射，体内变化速恒速注射，体内变化速率为输入药量速率与消除率为输入药量速率与消除药量速率之差。药量速率之差。00_0tdxkkxxdt齐次方程解齐次方程解ktxCe常数变易常数变易 代入原方程代入原方程()ktxC t e000000()_0(1)ktktkttktkC tke dteCkkkxCexCkkkxek 血药浓度血药浓度00()(1)lim()ktsstkkC teCC tkVkV剂量剂量D0在时间在时间T内恒速内恒速k0=D0/T滴注滴注0()(1)ktDC tekVT