平面及其方程-课件.ppt

1、2009.2.6北京工商大学7-5-17.5 平面及其方程平面及其方程平面的各种方程形式平面的各种方程形式两平面的夹角两平面的夹角点到平面的距离点到平面的距离小结小结 思考题思考题 作业作业2009.2.6北京工商大学7-5-2一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程1.点法式方程点法式方程xyzOn如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于法线向量的法线向量的特征特征垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量.设有法向量设有法向量)C,B,A(n ),z,y,x(M0000任取平面上一点任取平面上一点 ，),(zyxM0M M 一平面一平面,称此向量为该平面的法线称此向量为该平面的法线向量向

2、量(法向量法向量).平面及其方程平面及其方程及平面上的定点及平面上的定点定义定义2009.2.6北京工商大学7-5-3xyzO MM0平面的平面的点法式方程点法式方程平面称为方平面称为方 CBAn,法向量法向量0)()()(000 zzCyyBxxAn0MM平面上的点都满足上方程平面上的点都满足上方程,不在平面上的点都不不在平面上的点都不满足上方程满足上方程,上述方程称为平面的方程上述方程称为平面的方程,平面及其方程平面及其方程),(000zzyyxx 于是于是,则有则有程的图形程的图形.nMM 0则必有则必有00 nMM(1)2009.2.6北京工商大学7-5-42.三点式方程三点式方程平面

3、及其方程平面及其方程解解 12121221zz,yy,xxPP 取取131313121212zzyyxxzzyyxxkji n)z,y,x(P),z,y,x(P),z,y,x(P333322221111设一平面过设一平面过 ，n3121PPPP 1P2P 3P 求此平面方程求此平面方程.13131331zz,yy,xxPP 2009.2.6北京工商大学7-5-5显然，显然，nPP 1由点法式得由点法式得 0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzzyxx平面的平面的三点式方程三点式方程(2)平面及其方程平面及其方程2009.2.6北京工商大学7-5-6例例平面及其方程平面及

4、其方程3P 解解 21PP取取 n平面方程为平面方程为,0)1(4)1()1(zyx化简得化简得.024 zyx),4,1,1(0)()()(000 zzCyyBxxA122011 kjin求过求过P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,-1,0)的平面方程的平面方程.)0,1,1()1,2,2(31PP3121PPPP 1P2P 3P 4,1,1,CBA法一法一2009.2.6北京工商大学7-5-7求过求过P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,-1,0)的平面方程的平面方程解解所求方程的三点式为所求方程的三点式为0122011111 zyx平面方程为平面方程为.02

5、4 zyx 1P2P 3P),(zyxP 法二法二平面及其方程平面及其方程2009.2.6北京工商大学7-5-8x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距3.截距式方程截距式方程平面及其方程平面及其方程解解由三点式得，由三点式得，),b,(B),a(A0000一平面与坐标轴的交点分别为一平面与坐标轴的交点分别为求此平面方程求此平面方程.),c,(C00所求平面方程为所求平面方程为000 cabazyax整理得整理得 1 czbyax平面的平面的截距式方程截距式方程),0,0,0(cba其中其中 当平面不与任何坐标面平行当平面不与任何坐标面平行,且不过原点且不过原点时时,才有截距式方

6、程才有截距式方程.(3)2009.2.6北京工商大学7-5-9平面的点法式方程平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxACzByAx D0 DCzByAx 平面的平面的一般式方程一般式方程法向量法向量 CBAn,二、平面的一般方程二、平面的一般方程 任意一个形如上式任意一个形如上式0)(000 CzByAxABC的的x、y、z的三元一次的三元一次方程都是平面方程方程都是平面方程.平面及其方程平面及其方程(4)2009.2.6北京工商大学7-5-10平面一般方程的几种平面一般方程的几种情况情况,0)1(D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；,0)2(A ,0D平面通过平面通过 轴；

7、轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x,0)3(BA平面平行于平面平行于xOy 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论0,0 CBCA0,0 CB类似地可讨论类似地可讨论y轴轴轴轴zxOz面面 yOz面面(由柱面可知由柱面可知)0 DCzByAx 平面的一般方程平面的一般方程平面及其方程平面及其方程,0 D2009.2.6北京工商大学7-5-11例例 设平面过点设平面过点M0(-3,1,-2)及及x轴轴,求此平面方程求此平面方程.平面及其方程平面及其方程3P 0)()()(000 zzCyyBxxA3P 用平面的点法式方程用平面的点法式方程.由点法式方程得平面方程由点法式方程得平面方程:求法

8、向量求法向量解解 法一法一kjkji 22130010)2(1)1(2 zy即即02 zy0OMin xyzOn 0M2009.2.6北京工商大学7-5-12用用待定常数待定常数法法.即即 法二法二0 DCzByAx设平面方程是设平面方程是0 CzBy从而从而平面方程是平面方程是02 CB 即即从而平面方程是从而平面方程是.2CB .02 CzCy.02 zy得得平面及其方程平面及其方程点点(0,0,0)及及(1,0,0)在平面上在平面上,0 D A2009.2.6北京工商大学7-5-13 易知平面上三点易知平面上三点 O(0,0,0),P(1,0,0),设设M(x,y,z)为平面上的任意一点

9、为平面上的任意一点,可得其方程可得其方程 想一想想一想 还有别的方法吗还有别的方法吗?答答 有有!法三法三)2,1,3(0 M平面及其方程平面及其方程根据三向量根据三向量 OM,共面的充要条件共面的充要条件,有有 OM0,OP 0001213 zyx02 zy00 OPOMOM即即 2009.2.6北京工商大学7-5-14 求平面方程常用两种方法求平面方程常用两种方法:利用条件定出其中的待定的常数利用条件定出其中的待定的常数,此方此方法也称待定常数法法也称待定常数法.主要是利用条件用向量代数的方法找出主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量平面的一个法向量.(1)用平面的点法式方程用

10、平面的点法式方程.(2)用平面的一般方程用平面的一般方程.平面及其方程平面及其方程2009.2.6北京工商大学7-5-151 2 定义定义(取锐角取锐角)两平面法向量的夹角称为两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角三、两平面的夹角平面及其方程平面及其方程两平面的两平面的夹角夹角.0:11111 DzCyBxA 0:22222 DzCyBxA 1n2n),(1111CBAn ),(2222CBAn 根据向量夹角余弦公式有根据向量夹角余弦公式有|cos2121nnnn 两平面两平面夹角余弦公式夹角余弦公式222222212121212121|CBACBACCBBAA 取锐角取锐角2009.2.6北

11、京工商大学7-5-16两平面位置特征两平面位置特征 21)1(0212121 CCBBAA21)2(/212121CCBBAA 两平面两平面垂直、平行的充要条件垂直、平行的充要条件平面及其方程平面及其方程2009.2.6北京工商大学7-5-17例例 研究以下各组里两平面的位置关系研究以下各组里两平面的位置关系:013,012)1(zyzyx解解 cos601cos 两平面相交两平面相交,.601arccos 夹角夹角平面及其方程平面及其方程,31)1(2)1(|311201|22222 ),(n1211 ),(n3102 2009.2.6北京工商大学7-5-18,)0,1,1(1 M两平面平行

12、两平面平行但不重合但不重合.,212142 ,)0,1,1(1 M两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合02224,012)3(zyxzyx解解01224,012)2(zyxzyx解解),1,1,2(1 n)2,2,4(2 n,212142 两平面平行两平面平行2)0,1,1(M2)0,1,1(M平面及其方程平面及其方程2009.2.6北京工商大学7-5-19例例解解),()0,(),0,0,0(21aaaMaaMO和和平面通过点平面通过点).0(axOy面的交角面的交角求该平面与求该平面与所求方程的三点式为所求方程的三点式为00 aaaaazyx21,MMO故过故过三点的平面方程为三点的平

13、面方程为02 zyx的方程为的方程为平面平面xOy.0 z设两平面的交角为设两平面的交角为,则则 cos222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 36.36arccos 平面及其方程平面及其方程222222100)2(11|1)2(0101|2009.2.6北京工商大学7-5-20例例设平面为设平面为,0 DCzByAx,0 D0236 CBA)2,1,4(n024 CBA,32CBA .0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解一解一平面及其方程平面及其方程 与平面与平面 824 zyx 垂直且过原点及点垂直且过原点及点 )2,3,6(的平面方程为的平面方程为

14、().nxyzO),(CBA 2009.2.6北京工商大学7-5-21平面及其方程平面及其方程 与平面与平面 824 zyx 垂直且过原点及点垂直且过原点及点 )2,3,6(的平面方程为的平面方程为().解二解二)2,1,4()2,3,6(n)6,4,4()3,2,2(平面的点法式方程平面的点法式方程0322 zyx nxyzO 2009.2.6北京工商大学7-5-22设所求平面为设所求平面为1 czbyax1 V12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得向量平行的充要条件向量平行的充要条件解解平面及其方程平面及其方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程所围成的四

15、面体体积为一个单位的平面方程.0566 zyx而与三个坐标面而与三个坐标面cba61161 t xyzOabc611161cba 例例 求平行于平面求平行于平面2009.2.6北京工商大学7-5-23,61ta ,1tb tc61 ttt61161611 代入体积式代入体积式61 t1,6,1 cba.666 zyx所求平面方程为所求平面方程为12131 abc平面及其方程平面及其方程cba61161 t 所围成的四面体体积为一个单位的平面方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.0566 zyx 求平行于平面求平行于平面而与三个坐标面而与三个坐标面2009.2.6北京工商大学7-5-24例

16、例 求过点求过点(1,1,1)且与平面且与平面 和平面和平面),1,1,1(1 n)12,2,3(2 n取法向量取法向量21nnn )5,15,10(0)1(1)1(3)1(2 zyx化简得化简得.0632 zyx平面方程为平面方程为解解)1,3,2(.平面及其方程平面及其方程7 zyx051223 zyx都垂直的平面方程都垂直的平面方程.2009.2.6北京工商大学7-5-25四、点到平面的距离四、点到平面的距离平面及其方程平面及其方程点到平面的垂直距离点到平面的垂直距离 设设P0(x0,y0,z0)是平面是平面:Ax+By+Cz+D=0外外一点一点,求求P0到平面到平面的距离的距离.,),

17、(1111 zyxPn0P),(CBAn 1Pd并作向量并作向量.01PP d|cos|01 PP),(01之夹角之夹角的法向量的法向量与与是是nPP 即即 d|01PP|n|cos|n|01nnPP 由于由于nPP 01),(111000CzByAxCzByAx D 1PP0到平面到平面的距离的距离2009.2.6北京工商大学7-5-26平面及其方程平面及其方程222000|CBADCzByAxd 0:),(0000 DCzByAxzyxP 到平面到平面点点的距离公式为的距离公式为313 填空填空的的到平面到平面点点01022)1,1,1(0 zyxM).(距离为距离为解解222)1(22|

18、101)1(1212|d313 2009.2.6北京工商大学7-5-27解解例例平行且平行且一平面与平面一平面与平面075420 zyx,6个单位个单位相距相距求这平面方程求这平面方程.设所求平面为设所求平面为05420 zyxD 在平面在平面075420 zyx上任取一点上任取一点).0,47,0(222000|CBADCzByAxd ,62516400|7|D.126|7|D133 D119 D或或故所求平面为故所求平面为01335420 zyx或或01195420 zyx平面及其方程平面及其方程2009.2.6北京工商大学7-5-28 1 .两平行平面两平行平面 与与 间距离为间距离为(

19、),其其 的方程分别为的方程分别为:(A)1(B)21(C)2(D)21A 选择题选择题,0218419 zyx0428419 zyx2 1,1 2 提示提示,21 ).821,0,0(1 上上任任取取一一点点可可在在 平面及其方程平面及其方程2009.2.6北京工商大学7-5-29 2.已知平面通过点已知平面通过点(k,k,0)与与(2k,2k,0),其中其中k0,且垂直于且垂直于xOy平面平面,则该平面的一般式方程则该平面的一般式方程Ax+By+Cz+D=0的系数必满足的系数必满足().a;0,)(DCBAa;0,)(DACBb;0,)(DBACc.0,)(DBACd解答解答代入代入与与将

20、将)0,2,2()0,(kkkk,0中中 DCzByAx分别得分别得0 DBkAk022 DBkAk,0 D.0 C,BA 平面及其方程平面及其方程2009.2.6北京工商大学7-5-30(熟记平面的几种特殊位置熟记平面的几种特殊位置两平面的夹角两平面的夹角点到平面的距离公式点到平面的距离公式平面的平面的点法式方程点法式方程(两平面垂直、平行的充要条件两平面垂直、平行的充要条件)四、小结四、小结平面及其方程平面及其方程(关键确定平面的法向量关键确定平面的法向量)平面的一般平面的一般方程方程的方程的方程)平面的平面的截距式方程截距式方程(研究几何图形研究几何图形)2009.2.6北京工商大学7-

21、5-31思考题思考题1平面及其方程平面及其方程如何确定平面的法向量如何确定平面的法向量?解答解答 确定平面的法向量是建立平面方程的关键所确定平面的法向量是建立平面方程的关键所在在,平面法向量的确定要根据不同的条件采用不同方法平面法向量的确定要根据不同的条件采用不同方法(1)如果已知点如果已知点M0(x0,y0,z0)在平面在平面 上的垂足上的垂足为为M1(x1,y1,z1),则则);,(010101zzyyxxn (2)如果平面如果平面 与已知平面与已知平面0 DCzByAx平行平行,则则);,(CBAn (3)如果平面如果平面 过三点过三点 A,B,C,则则.ACABn 2009.2.6北京工商大学7-5-32思考题思考题2(是非题是非题)平面及其方程平面及其方程非非平面平面0 czbyax在在x、y、z 轴的截距轴的截距分别是分别是a、b、c.因为这是一因为这是一过原点的平面过原点的平面.2009.2.6北京工商大学7-5-33作业作业习题习题7-5(3297-5(329页页)1.5.8.9.平面及其方程平面及其方程