常微分方程33线性常系数齐次方程课件.ppt

1、13.3线性齐次常系数方程 在上一节中我们讨论了在上一节中我们讨论了线性方程通解线性方程通解的的结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出，结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出，对一般的线性方程没有普遍的解法，对一般的线性方程没有普遍的解法，但对但对常系数常系数线性方程线性方程及可化为这一类型的方程，及可化为这一类型的方程，可以说是彻底的解决了，本节将介绍求解常系数可以说是彻底的解决了，本节将介绍求解常系数齐次方程通解的解法。齐次方程通解的解法。2一一 复值函数复值函数 如果如果 和和是区间是区间(a,b)上定义的上定义的)(t)(t称称为该区间上为该区间上(a,b)()()(tittz实函

2、数，实函数，的的复值函数复值函数.1 1 连续连续 如果实函数如果实函数 和和在区间在区间(a,b)上上)(t)(t就称就称在区间上在区间上(a,b)上连续上连续.)(tz连续连续,2 2 可微可微 如果实函数如果实函数 和和在区间在区间(a,b)上上)(t)(t就称就称在区间上在区间上(a,b)上可微上可微.)(tz可微可微,且复值函数且复值函数)(tz的导数定义如下的导数定义如下:dtdidtddtdz3dttdzdttdzdttztzd)()()()(2121dttdzcdttczd)()(11dttdztztzdttdzdttztzd)()()()()()(212121性质性质1:1:

3、性质性质2:2:性质性质3:3:那么那么有如下性质有如下性质:若若)(1tz)(2tz和和可微可微,c为复值常数，为复值常数，4!4)(!2)(1 42tt!5)(!3)(53tttititsincos 3 3 欧拉公式欧拉公式 1)1)复指函数与欧拉公式复指函数与欧拉公式titetisincos)(21costitieet)(21sintitieeit其中其中)(tie!3)(!2)(132titititittiteeee)(52)2)复指函数的性质复指函数的性质记记i表示表示i的的共轭共轭.性质性质1:1:ttee性质性质2:2:1212()ttteee性质性质3:3:()ttdeedt6

4、 4 4 复值解复值解 考虑方程考虑方程 1111()()()()nnnnnnd xdxdxa tata t xf tdtdtdt其中其中()ftatb),2,1)(nitai及及是区间是区间 上的上的实函数实函数.若有区间若有区间（a,b）上复值函数上复值函数:)()()(tittzx为上述方程的为上述方程的复值解复值解.满足上述方程，满足上述方程，)(tzx 则称则称7定理定理3.123.12 如果方程如果方程1111()()()0nnnnnnd xdxdxa tata t xdtdtdt中所有系数中所有系数),2,1)(nitai都是实值函数都是实值函数.而而是该方程的是该方程的复值解复

5、值解,)()()(tittz以及以及则则 的的实部实部和和虚部虚部)(tz)(t)(t)(tz的的共共轭轭)(tz也都是该方程的解也都是该方程的解.(3.3.4)(3.3.4)8证明证明：由已知条件及由已知条件及 的性质可得的性质可得 xL0)()()()(tiLtLtitL由此得由此得0)()(tLtL所以所以 ，都是方程都是方程（3.3.43.3.4）的解）的解)(t)(t0)(tzL)(tz即即 也是方程（也是方程（3.3.43.3.4）的解的解.0)()(tLtL因为因为 可得可得)()()(tiLtLtzL又又1111()()()0nnnnnnd xdxdxa tata t xdtd

6、tdt(3.3.4)(3.3.4)9二二 常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程 11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5）（其中（其中 为常数）为为常数）为n阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程.12,na aa 为求得该方程的通解，我们先利用为求得该方程的通解，我们先利用待定指数函数法求其基本解组待定指数函数法求其基本解组.一阶常系数齐次线性微分方程一阶常系数齐次线性微分方程xdtdx有通解有通解tcex10因此，对方程（因此，对方程（3.3.53.3.5）求指数函）求指数函数形式的解数形式的解tex（3.3.63.3.6）把（把（3.3.63.3

7、.6）代入方程（）代入方程（3.3.53.3.5）得）得0)(12211tnnnnnteaaaaeL成为方程（成为方程（3.3.53.3.5）解的）解的充要条件充要条件为：为：te11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5）方程（方程（3.3.73.3.7）称为方程（）称为方程（3.3.53.3.5）的）的特征方程特征方程，它的根称为方程（它的根称为方程（3.3.53.3.5）的）的特征根特征根.0)(12211nnnnnaaaaF（3.3.73.3.7）111 1 特征根为单根特征根为单根 设设 是（是（3.3.73.3.7）的）的n个不相同根，个不相同

8、根，12,n 则对应方程（则对应方程（3.3.53.3.5）有）有n个解个解12,nttteee（3.3.83.3.8）11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5）0)(12211nnnnnaaaaF（3.3.73.3.7）这这n个解在区间个解在区间a t b上上线性无关线性无关，从而组成方程（从而组成方程（3.3.53.3.5）的）的基本组解基本组解.12,21tttneeeW1121121)(11121nnnnntne所以解组（所以解组（3.3.83.3.8）线性无关线性无关.0)(1jinij12,nttteee（3.3.83.3.8）tnntntn

9、tntttttnnneeeeeeeee112112121212113（1 1）若）若).,2,1(nii均为实数均为实数，则（则（3.3.83.3.8）是方程（）是方程（3.3.53.3.5）的）的n个线性无关的实值解个线性无关的实值解，11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5）12,nttteee（3.3.83.3.8）tnttnececectx2121)(其中其中nccc,2,1为任意常数为任意常数.则方程（则方程（3.3.53.3.5）的）的通解通解为为14（2 2）若）若).,2,1(nii中有中有复数复数，则因方程的则因方程的系数是实常数系数是

10、实常数，复根将成对，复根将成对共轭共轭出现出现.1i设设 是特征根，则是特征根，则 2i也是也是特征根，特征根，则方程相应地有则方程相应地有两个复值解两个复值解：)sin(cos)(titeetti)sin(cos)(titeetti11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt12,nttteee由定理由定理3.123.12知它们的知它们的实部和虚部实部和虚部也是方程的解也是方程的解，cos,sinttet et故方程的两个实值解为故方程的两个实值解为：152 2 特征根有重根特征根有重根 设特征方程有设特征方程有k 重根重根 1,则有则有(1)1111()()()0,()0kk

11、FFFF110nnn kaaa，因此，因此，若若（1）10则特征方程有因子则特征方程有因子k则特征方程有则特征方程有110nnkn kaa形式：形式：而对应的齐线性方程为：而对应的齐线性方程为：1110nnkn knnkd xdxd xaadtdtdt特征方程的特征方程的k 重零根对应齐线性重零根对应齐线性方程方程k个个线性无关解线性无关解为为 12,1kttt16（2）若）若01tyex1,作变换作变换,代代入方程：入方程：11111()nntttnnnd yd yL yebb y eL y edtdt（3.3.93.3.9）011111ybdtdybdtydbdtydyLnnnnnn（3.

12、3.103.3.10）11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5）特征方程：特征方程：0)(111nnnnbbbG（3.3.113.3.11）0)(12211nnnnnaaaaF（3.3.73.3.7）ttttteGeeLeLeF)(1)()(11111)()(),()(1GF.,1111)1(2tktttetettee（3.3.123.3.12）的的k 重根重根1对应着对应着k重零根重零根.对应着方程的对应着方程的1k个解个解0)(F0)(G17类似地，假设方程（类似地，假设方程（3.3.73.3.7）的其他根）的其他根m,32的重数依次为的重数依次为;

13、,32mkkk,1ik而且而且,21nkkkm),(jiji则方程（则方程（3.3.53.3.5）相应有解）相应有解.,121222222tkttttktttmmmmmetetteeetettee（3.3.133.3.13）11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5）0)(12211nnnnnaaaaF（3.3.73.3.7）需要证明需要证明（3.3.123.3.12）,（3.3.133.3.13）构成方程（）构成方程（3.3.53.3.5）的的基本解组基本解组，即证明这些函数线性无关即证明这些函数线性无关.18求常系数齐线性方程方程的通解的求常系数齐线性

14、方程方程的通解的一般步骤一般步骤：第一步第一步 求方程的特征方程及求方程的特征方程及特征根特征根 1,n第二步第二步 计算方程相应的解计算方程相应的解 a)对每一个对每一个单实根单实根 kkte有解有解b)对每一个对每一个m 1重实根重实根 k方程有方程有m个解个解 1,kkktttmetete11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdtc)对每一个对每一个重数为重数为1的的共轭复根共轭复根 cos,sinttet eti方程有方程有2 2个解：个解：d)d)对每一个重数对每一个重数 m 1 1的共轭复根的共轭复根 i第三步第三步 根据第二步根据第二步写出写出基本解组和通解基本解

15、组和通解 19解：解：特征方程特征方程 32340故故特征根特征根为为 11 2,32例例1 1：求：求3232340d xd xxdtdt的通解的通解.其中其中11 2,32是是单根单根，是是二重根二重根，因此有解因此有解.,22tttteee方程通解为：方程通解为：.)(23221ttttececectx其中其中123,c c c为任意常数为任意常数.20例例2 2：求：求的通解的通解.044 xdtxd解：解：特征方程特征方程 014故故特征根特征根为为 ii4321,1,1上述上述两实根和两复根两实根和两复根均是均是单根单根，方程通解为：，方程通解为：.sincos)(4321tctc

16、ecectxtt其中其中为任意常数为任意常数.4321,cccc21例例3 3：求：求的通解的通解.033223344dtdxdtxddtxddtxd解：解：特征方程特征方程 0)1(333234故故特征根特征根为为 1,021.)()(24321tetctccctx其中其中为任意常数为任意常数.4321,cccc方程通解为：方程通解为：其中其中是是单根单根，是是三重根三重根，011222例例 4：求：求 的通解的通解 424220d xd xxdtdt方程的四个实值解方程的四个实值解为：为：cos,cos,sin,sint ttt tt故通解为故通解为 解：解：特征方程特征方程 422221

17、(1)0 特征根特征根 i2,1是是二重根二重根.1234()()cos()sinx tcc ttcc tt其中其中为任意常数为任意常数.4321,cccc23三三 某些变系数线性齐次微分方程的解法某些变系数线性齐次微分方程的解法1 1 化为常系数法化为常系数法 欧拉方程欧拉方程 111110nnnnnnnnd xdxdxta taa xdtdtdt这里这里为常数为常数.),2,1(niai令令 ute将欧拉方程化为常系数将欧拉方程化为常系数 齐次微分方程齐次微分方程.特点特点：x的的k 阶导数的系数是阶导数的系数是t 的的k 次方的常数倍次方的常数倍.24例例5 5 ：求：求 2220d x

18、dxttxdtdt解：令解：令 ，则，则 ,utelnut1.dxdx duxdtdu dtt du222221.()dxdd xdud xdxdtdtdudttdudu代入原方程得代入原方程得:2220d xdxxdudu方程的通解为方程的通解为:12()ux tcc u e为任意常数为任意常数.12(ln)x tcct t故原方程的通解为：故原方程的通解为：其中其中21,cc25考虑二阶变系数方程考虑二阶变系数方程 化为常系数方程化为常系数方程.这里这里 a(t)是待定是待定的函数的函数.()()0 xp t xq t x（3.3.173.3.17）的系数的系数 和和 ()p t()q t

19、满足什么条件，可经线性变换满足什么条件，可经线性变换 ()()xa t y t（3.3.183.3.18）()2()()()()a t ya tp t a tya t()()()()0p t a tq t a ty将（将（3.3.183.3.18）代入（）代入（3.3.173.3.17）得）得:（3.3.193.3.19）211()()()()42I tq tp tp t如果如果为常数为常数,)(21()(dttpexpta 取取代入（代入（3.3.193.3.19）整理得）整理得 211()()()042yq tp tp ty（3.3.203.3.20）26解：解：1()p tt21()14

20、q tt 因为因为222111()11442I tttt 故令故令 1 11exp()2xdt yytt例例6 6：求：求221()04t xtxtx的通解的通解 故原方程的通解为：故原方程的通解为：12cossinttxcctt将原方程化为将原方程化为常系数方程：常系数方程：0yy12cossinyctct通解为：通解为：272 2 降阶法降阶法对对n阶线性齐次微分方程阶线性齐次微分方程0)()()1(1)(xtaxtaxnnn(3.3.22)(3.3.22)若能找到若能找到k个线性无关解个线性无关解(k n),),则可选择适当的变换则可选择适当的变换,使使n阶齐次方程阶齐次方程降低降低k阶

21、阶，化为化为n-k阶方程，且阶方程，且保持线性和齐次性保持线性和齐次性设设)(1txx 是齐次方程的一个非零解，是齐次方程的一个非零解，作线性变换作线性变换ytxx)(1代入代入(3.3.22)(3.3.22)，则可得：，则可得：0)()(1)1(1)(ytbytbynnn再令再令 uy 28例例 7 7：求：求 的通解的通解 解：解：方程有特解方程有特解1()x tt从而得到从而得到.22121,cdttecytecutt取取 121,0cc，得另一个解，得另一个解 .22dttetxt故原方程通解为故原方程通解为 .221dttetctcxt,则则令令 ytx,ytyxytyx 20 xxtxt代入方程得代入方程得 0)2(22 yttyt，得，得 0)2(22uttut令令 uy 29作业作业:P140 1(1,3,4,6,7),2,3,4(2,3)，5，6(3),8,9