第七节二阶常系数线性微分方程课件.ppt

1、第七节第七节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程1、定义定义)(1)1(1)(xfypypypynnnn n 阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式)(0是常数是常数、其中其中qpqyypy 二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式)()(是常数是常数、其中其中qpxfqyypy 二二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式阶常系数非齐次线性微分方程的标

2、准形式2、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程,得得0)(2 rxeqprr,0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy(1)特征方程特征方程有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解为两个线性无关的特解为:得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为.2121xrxreCeCy )0(特征根为特征根为(2)特征方程特征方程有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221p

3、rr )0(一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为.)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy ,0)()2(1211 uqprrupru,0 u知知,)(xxu 取取则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为,12xrxey (3)特征方程特征方程有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir )0(特征根为特征根为这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解:xiey)(1 )sin(cosxixex xiey)(2 )sin(cosxixex 可得可得)(21211yyy ,cosxex )(21212yyy

4、i ,sinxex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程 求通解的一般步骤求通解的一般步骤:0 qyypy02 qprr(1)写出相应的特征方程写出相应的特征方程:(2)求出特征根求出特征根:(3)根据特征根的不同情况根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式 实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2,1 xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 21,rr定义定义 由常系数齐次线性方程的特征

5、方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.043的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0432 rr解得解得,11 r故所求通解为故所求通解为.321xxeCeCy 例例1 1,32 r.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例2 2.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx

6、 例例3 3例例4 4 求解初值问题求解初值问题02 sss,40 ts20 ts解解 特征方程特征方程0122 rr有重根有重根,121 rr因此原方程的通解为因此原方程的通解为,)(21tetCCs 利用初始条件得利用初始条件得,41 C于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为.)24(tets 22 C01)1(1)(ypypypynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnprprpr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(1

7、1101110推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n.0)4(的通解的通解求方程求方程 yy解解特征方程为特征方程为,014 r解得解得,11 r故所求通解为故所求通解为.sincos4321xCxCeCeCyxx 例例1 1,12 r,4ir ,3ir 例例2 2 .032)4()5(yy解方程解方程解解 特征方程：特征方程：,03245 rr特征根特征根:23,054321 rrrrr原方程通解原方程通解:1Cy xC2 23xC 34xC.235xeC思考与练习思考与练习求方程求方程0 yay的的通解通解.答案答案:0 a通解为通解为.21xCCy :0 a通解为

8、通解为.sincos21xaCxaCy :0 a通解为通解为.21xaxaeCeCy 二、二阶常系数非齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式由线性微分方程的结构知由线性微分方程的结构知:非齐次线性微分方程的通解非齐次线性微分方程的通解=对应齐次线性微分方程的通解对应齐次线性微分方程的通解 +非齐次线性微分方程的一个特解非齐次线性微分方程的一个特解)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程,0 qyypy通解结构通解结构,yYyf(x)常见类

9、型常见类型,)(次多项式次多项式的的为为设设mxxPm.sin)(,cos)()2(xexPxexPxmxm 难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.;)()1(xmexP 1、f(x)=Pm(x)e x 型型设设方程方程特解为特解为,)(*xQeyx 其中其中 Q(x)为为待定多项式待定多项式 ,)()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原代入原方程方程,得得 )(xQex )()2(xQp )()(2xQqp )(xPemx )(xQ )()2(xQp )()(2xQqp )(xPm)(xQ )(xPm)()(2xQqp 不是特征方程的根

10、，不是特征方程的根，若若)1(,02 qp ,)()(xQmxQm次次待待定定系系数数多多项项式式为为与与可可设设从而得到特解形式为从而得到特解形式为;)(xmexQy )()2(xQp (2)若若 是特征方程的是特征方程的单根单根,02 qp ,02 p)(xQ 则则为为m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为.)(*xmexQxy (3)若若 是特征方程的是特征方程的重根重根,02 qp ,02 p)(xQ 则则是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为.)(*2xmexQxy 即即即即综上可得：综上可得：(Page291),)(xQexymxk k其中其中可设特解形式为可

11、设特解形式为 不是特征方程的不是特征方程的根根 是特征方程的是特征方程的单根单根 是特征方程的是特征方程的二重根二重根012)(xPeqyypymx 对对方方程程注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.1632的通解的通解求方程求方程 xyyy解解故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为特征方程为特征方程为,0322 rr其特征根为其特征根为,3121 rr，,321xxeCeCY ,0不是特征方程的根不是特征方程的根 ,baxy 可设可设代入原方程代入原方程,得得,16)(32 xbaxa,1,2 b

12、a，于是特解为于是特解为12 xy原方程通解为原方程通解为.12321 xeCeCyxx例例1 1对应齐次方程为对应齐次方程为,032 yyy.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为特征方程为特征方程为,0232 rr其特征根为其特征根为，2121 rr,221xxeCeCY ,2是特征方程单根是特征方程单根 ,)(2xebaxxy 可设可设代入原方程代入原方程,得得,22xabax ,1,21 ba，于是特解为于是特解为xexxy2)121(原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例2 2对应齐次方程为对应齐次方

13、程为,023 yyy.1)1(,1)1(2 yyexeyyyxx求特解求特解例例3 3解解特征方程为特征方程为,0122 rr特征根为特征根为,121 rr故对应齐次方程的通解为故对应齐次方程的通解为.)(21xexCCY ,)(2xebaxxy 可设可设对应齐次方程为对应齐次方程为,02 yyy,1是特征方程二重根是特征方程二重根 代入原方程代入原方程,得得,126 xbax,21,61 ba，于是特解为于是特解为,)26(23xexxy 原方程通解为原方程通解为.)26()(2321xxexxexCCy ,1)1(y,1)31(21 eCC,6)1()(3221xexxCCCy ,1)1(

14、y,1)652(21 eCC,31121 eCC,651221 eCC由由解得解得 ,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey 2、f(x)=e xPl(x)cos x+Pn(x)sin x型型sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22(,)()()()(ximximexPexP ,)()(ximexPqyypy 利用欧拉公式利用欧拉公式 ),max(nlm 令令求如下两方程的特解：求如下两方程

15、的特解：,)()(ximexPqyypy ,)()(1ximkexQxy ,)()(2ximkexQxy )()(ximximxkexQexQexy ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max,10 是特征方程的单根是特征方程的单根不是特征方程的根不是特征方程的根 iikPage 293注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微阶常系数非齐次线性微分方程分方程.xxyy3sin303cos189 求方程求方程的通解的通解.解解:特征方程为特征方程为,092 r其根为其根为对

16、应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为,3sin3cos21xCxCY )3sin3cos(*xbxaxy 比较系数比较系数,得得,5 a,3 b因此特解为因此特解为),3sin33cos5(*xxxy ,32,1ir 代入方程代入方程:xaxb3sin63cos6 所求通解为所求通解为xCxCy3sin3cos21 为特征方程的为特征方程的根根,ii3 ).3sin33cos5(xxx xx3sin303cos18 可设非齐次方程特解为可设非齐次方程特解为例例1 1.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐次方程为对应齐次方程为,0 yy例例2 2特征方程为特征方程为,012 r

17、.0)(,)(20 xPxxPnl，,2 不是特征方程的根不是特征方程的根ii 对应齐次方程通解为对应齐次方程通解为,sincos21xCxCY 特征根为特征根为,2,1ir .2sin)(2cos)(*xdcxxbaxy 设特解为设特解为得得代入原方程代入原方程,2cos2sin)433(2cos)433(xxxadcxxcbax ,043,03,043,13adccba，得，得比较两端同类项的系数比较两端同类项的系数 940031dcba解得解得.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy 从而所求的通解为从而所求的通解为.2sin942cos31*xxxy .sin4的通解

18、的通解求方程求方程xyy 提示提示 对应齐次方程通解为对应齐次方程通解为,sincos21xCxCY ),sincos(xbxaxy 可设可设所求非齐次方程特解为所求非齐次方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy 例例3 3,是单根是单根ii ).2cos(214xxyy 求解方程求解方程例例4 4解解对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为,042 r特征根为特征根为,22,1ir 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 可设

19、可设得得代入原方程代入原方程,，xbax2144 0,81 ba;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 可设可设得得代入原方程代入原方程,2cos212sin42cos4xxcxd ,81,0 dc;2sin81*2xxy 故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy .)(d)()(sin)(,)(0的表达式的表达式求求且满足方程且满足方程为连续函数为连续函数设设xfttftxxxfxfx 例例5 5.1)0(,0)0(sin yyxyy即求特解即求特解).cos(sin21)(xxxxf 3、小结、小结可以是复数）可以是复数）

20、(),()()1(xPexfmx,)(xQexymxk 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2.10k二阶常系数非齐次微分方程特解形式：二阶常系数非齐次微分方程特解形式：(待定系数法待定系数法)(xfqyypy ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max,10 是单根是单根不是根不是根 iik练习练习xyysin)1(1)*(cossin).yx axbxxexyy )2(.)(*)2(xecbaxxy 写出下列二阶常系数线性非齐次方

21、程的特解形式写出下列二阶常系数线性非齐次方程的特解形式:解解三、二阶常系数线性微分方程应用举例三、二阶常系数线性微分方程应用举例1、建立微分方程的基本条件、建立微分方程的基本条件1)要熟悉能用导数表示的各种常见变化率要熟悉能用导数表示的各种常见变化率.;ddxyk 切线斜率切线斜率;dddddd22txtvatxv 与加速度与加速度速度速度;ddtQi 电流电流.目标函数的变化率目标函数的变化率由题设条件用导数表示由题设条件用导数表示2)要熟悉与问题有关的各种定律、原理要熟悉与问题有关的各种定律、原理.;、牛顿万有引力定律、牛顿万有引力定律力学中的牛顿第二定律力学中的牛顿第二定律;热学中的牛顿

22、冷却定律热学中的牛顿冷却定律减少率减少率增加率增加率改变率改变率原则是：原则是：变化问题中常常遵循的变化问题中常常遵循的 ;定律定律弹性变形问题中的胡克弹性变形问题中的胡克;电学中的基尔霍夫定律电学中的基尔霍夫定律;化学中的质量作用定律化学中的质量作用定律2、建立微分方程及求解的注意点、建立微分方程及求解的注意点1)如果问题要求如果问题要求“运动规律运动规律”、“变化规律变化规律”等，等，2)则需要用微分方程来解决问题则需要用微分方程来解决问题.这时应根据这时应根据3)问题的特征利用已知定律来建立微分方程或问题的特征利用已知定律来建立微分方程或4)用微元法导出微分方程用微元法导出微分方程.2)根据问题给出的特定时刻或位置的信息根据问题给出的特定时刻或位置的信息,写写 出定解条件或确定解中的积分常数、比例出定解条件或确定解中的积分常数、比例 系数等系数等.3)要注意单位的统一要注意单位的统一.