数学建模第六章代数方程与差分方程模型模板课件.ppt

1、6.1 投入产出模型投入产出模型6.2 CT技术的图像重建技术的图像重建6.3 原子弹爆炸的能量估计原子弹爆炸的能量估计6.4 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型6.5 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动6.6 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长第六章第六章 代数方程与差分方程模型代数方程与差分方程模型 国民经济各个部门之间存在着国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约相互依存和制约关系，关系，每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工（每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工（投入投入）变为自己的产品（变为自己的产品（产出产出）.根据各部门间根据各部门间投入和产出的平衡投入和产出

2、的平衡关系，确定各部关系，确定各部门的产出水平以满足社会的需求门的产出水平以满足社会的需求.20世纪世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究.从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合，从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合，应用领域不断扩大应用领域不断扩大.6.1 投入产出模型投入产出模型背景背景建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用.投入产出表投入产出表 国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系 产出产出投入投入农业农业工业工业建筑建筑业业运输运输邮

3、电邮电批零批零餐饮餐饮其他其他服务服务外部外部需求需求总产出总产出农业农业464788229131271312842918工业工业499860514444035571223408316814建筑业建筑业593202312426912875运输邮电运输邮电62527128163671464771570批零餐饮批零餐饮79749140431302739272341其他服务其他服务146128527222521954227255414初始投入初始投入1663485165970312183093总投入总投入2918168142875157023415414中国中国2002年投入产出表（产值单位：亿元）

4、年投入产出表（产值单位：亿元）直接消耗系数表直接消耗系数表 产出产出投入投入农业农业工业工业建筑业建筑业运输邮电运输邮电批零餐饮批零餐饮其他服务其他服务农业农业0.1590.0470.0800.0080.0540.002工业工业0.1710.5120.5020.2570.2380.226建筑业建筑业0.0020.0010.0010.0130.0100.023运输邮电运输邮电0.0210.0310.0450.1040.0290.027批零餐饮批零餐饮0.0270.0450.0490.0270.0560.050其他服务其他服务0.0500.0760.0950.1430.0940.100一个部门的单

5、位产出对各个部门的直接消耗一个部门的单位产出对各个部门的直接消耗 中国中国2002年直接消耗系数表年直接消耗系数表 由投入产出表直接得到由投入产出表直接得到 农业每农业每1亿元产出直接消耗亿元产出直接消耗0.159亿元农业产品亿元农业产品 直接消耗直接消耗0.171亿元工业产品亿元工业产品 反映国民经济各个部门之间的投入产出关系反映国民经济各个部门之间的投入产出关系投入产出的数学模型投入产出的数学模型 xi第第i部门的总产出部门的总产出di对第对第i部门的部门的外部需求外部需求xij第第i部门对第部门对第j部门的投入部门的投入aij直接消耗系数直接消耗系数第第j部门部门单位产出单位产出对对第第

6、i部门的直接消耗部门的直接消耗 xij第第j部门总产出对第部门总产出对第i部门的直接消耗部门的直接消耗每个部门的总产出等于总投入每个部门的总产出等于总投入 xj第第j部门的总投入部门的总投入 injijidxx1jijijxxa/ijnjijidxax1设共有设共有n个个部门部门nnijaA)(Tnxxx),(1Tnddd),(1dAxx技术水平没有明显提高技术水平没有明显提高模型应用模型应用 假设直接消耗系数不变假设直接消耗系数不变 问题问题1 如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮电、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为电、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为

7、1500,4200,3000,500,950,3000亿元亿元,问这问这6个部门的总产个部门的总产出分别应为多少？出分别应为多少？d=(1500,4200,3000,500,950,3000)T A由直接消耗系数表给出由直接消耗系数表给出6个部门的总产出个部门的总产出 x=(3277,17872,3210,1672,2478,5888)（亿元）（亿元）.dAxx(),IA xddAIx1)(求解求解模型应用模型应用 dAxx(),IA xddAIx1)(dAIx1)(总产出对外部需求线性总产出对外部需求线性dd增加增加1个单位个单位 x的增量的增量若农业的外部需求增加若农业的外部需求增加1单位

8、单位 Td)0,0,0,0,0,1(1)(AIx为为 的第的第1列列 6个部门的总产出分别增加个部门的总产出分别增加1.2266，0.5624，0.0075，0.0549，0.0709，0.1325单位单位.问题问题2 如果如果6个部门的外部需求分别增加个部门的外部需求分别增加1个单位个单位,问它们的总产出应分别增加多少？问它们的总产出应分别增加多少？求解求解其余外部需求增加其余外部需求增加1单位单位 1)(AIx为为 的其余各列的其余各列 6.2 CT技术的图像重建技术的图像重建 CT(计算机断层成像计算机断层成像)技术是技术是20世纪世纪50至至70年代由年代由美国科学家科马克和英国科学家

9、豪斯费尔德发明的美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的.1971年第一代供临床应用的年第一代供临床应用的CT设备问世设备问世.螺旋式螺旋式CT机等新型设备被医疗机构普遍采用机等新型设备被医疗机构普遍采用.CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测等领域也得到了广泛的应用等领域也得到了广泛的应用.背景背景什么是什么是CT，它与传统的，它与传统的X射线成像有什么区别？射线成像有什么区别？光源光源人眼人眼光源光源人眼人眼一个半透明物体嵌入一个半透明物体嵌入5个不同透明度的球个不同透明度的球 概念图示概念图示 单方向观察无法确定单方向观察无法确定球的数目和透

10、明度球的数目和透明度 让物体旋转从多角度观察能让物体旋转从多角度观察能分辨出分辨出5个球及各自的透明度个球及各自的透明度 人体内脏人体内脏胶胶片片 传统的传统的X射线成像原理射线成像原理 CT技术原理技术原理 探探测测器器 X射射线线X光光管管人体内脏人体内脏CT技术技术:在在不同深度不同深度的断面上的断面上,从从各个角度各个角度用探测器用探测器接接收旋转的收旋转的X光管发出、穿过人体而使光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线强度衰减的射线;经过经过测量和计算测量和计算将人体器官和组织的将人体器官和组织的影像影像重新重新构建构建.图像图像重建重建 X射线强度衰减与图像重建的数学原理射线强度衰减与

11、图像重建的数学原理 射线强度的衰减射线强度的衰减率与强度成正比率与强度成正比.I射线强度射线强度 l物质在射线方向的厚度物质在射线方向的厚度 物质对射线的衰减系数物质对射线的衰减系数 IdldII0入射强度入射强度 射线沿直线射线沿直线L穿行穿行,穿过由穿过由不同衰减系数的物质组成的不同衰减系数的物质组成的非均匀物体非均匀物体(人体器官人体器官).leII0LIIdlyx0ln),(LdlyxII),(exp(0I0L0yx(x,y)Ldlyxl),(X射线强度衰减与图像重建的数学原理射线强度衰减与图像重建的数学原理 LIIdlyx0ln),(右端数值可从右端数值可从CT 的测量数据得到的测量

12、数据得到 多条直线多条直线L的线积分的线积分 Ldlyx),(被积函数被积函数(x,y)LfdlyxfLP),()(FQ(q)与与Q相距相距q的直线的直线L的线积分的线积分Pf(L)对所有对所有q的平均值的平均值 拉东变换拉东变换 0)(1)(qqdFQfQ拉东逆变换拉东逆变换 图像图像重建重建反映人体器官大小、形状、密度的图像反映人体器官大小、形状、密度的图像 数学数学原理原理实际上只能在有限条直线上得到投影实际上只能在有限条直线上得到投影(线积分线积分).图像重建在数学方法上的进展，为图像重建在数学方法上的进展，为CT技术在各个技术在各个领域成功的和不断拓广的应用提供了必要条件领域成功的和

13、不断拓广的应用提供了必要条件.图像重建的代数模型图像重建的代数模型 lj每个像素对射线的衰减系数是常数每个像素对射线的衰减系数是常数 m个像素个像素(j=1,m),n束射线束射线(i=1,n)iII)/ln(0Li的强度测量的强度测量数据数据 j像素像素j的衰减系数的衰减系数 lj射线在像素射线在像素j中的穿行长度中的穿行长度 J(Li)射线射线Li穿过的像素穿过的像素j的集合的集合 LIIdlyx0ln),(像素像素j 射线射线LiniIIliLJjjji,2,1,)/ln(0)(jLilij图像重建的代数模型图像重建的代数模型 常用算法常用算法 设像素的边长和射线的宽度均为设像素的边长和射

14、线的宽度均为,)/ln(0iibIIjjx中心线法中心线法 aij射线射线Li的中心线在像素的中心线在像素j内的内的长度长度lij与与之比之比.iLJjjjIIli)/ln(0)(bAx 面积法面积法 aij射线射线Li的中心线在像素的中心线在像素j内的面积内的面积sij与与之比之比.sijnibxamjijij,2,1,1中心法中心法 aij=1射线射线Li经过像素经过像素j的中心点的中心点.图像重建的代数模型图像重建的代数模型 中心法的简化形式中心法的简化形式 假定射线的宽度为零假定射线的宽度为零,间距间距 aij=1 Li经过像素经过像素j内任一点内任一点987654321L4L8L7L

15、6L5L3L2L1100100000010110100001011010000000001011000000110011001100110011000000100AbAx 根据根据A和和b,由由 确定像素的衰减系数向量确定像素的衰减系数向量x m和和n很大且很大且m n,方程有无穷多解方程有无穷多解+测量误差和噪声测量误差和噪声 在在x和和e满足的满足的最优准则下估计最优准则下估计x 代数重建技术代数重建技术(ART)beAx6.3 原子弹爆炸的能量估计原子弹爆炸的能量估计1945年年7月月16日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹戈多沙漠试

16、爆了全球第一颗原子弹,震惊世界震惊世界!当时资料是保密的当时资料是保密的,无法准确估计爆炸的威力无法准确估计爆炸的威力.英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带,利用利用数学模型估计数学模型估计这次爆炸释放的能量为这次爆炸释放的能量为19.2千吨千吨.后来公布爆炸实际后来公布爆炸实际释放的能量释放的能量21千吨千吨 t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.

17、925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒测量：泰勒测量：时刻时刻t 所对应的所对应的“蘑菇云蘑菇云”的的半半径径r原子弹爆炸的能量估计原子弹爆炸的能量估计爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播,爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远.冲击波由爆炸形成的冲击波由爆炸形成的

18、“蘑菇云蘑菇云”反映出来反映出来.泰勒用泰勒用量纲分析方法量纲分析方法建立数学模型建立数学模型,辅以小型试验辅以小型试验,又利用测量数据对爆炸的能量进行估计又利用测量数据对爆炸的能量进行估计.物物理理量量的的量量纲纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L,M,T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲221rmmkf 加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量，=1(=L0

19、M0T0)量纲齐次原则量纲齐次原则=fl2m-2=L3M-1T-2在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系确定各物理量之间的关系.量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.例：单摆运动例：单摆运动)1(321glmt 321glmt lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t,m,l,g 之间之间有关系式有关系式 1,2,3 为待定系数，为待定系数，为无量纲量为无量纲量 2/12/10

20、321glt(1)的量纲表达式的量纲表达式glt2与与 对比对比33212TLMT12003321对对 x,y,z的两组量测值的两组量测值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2,p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)2121pppp为什么假设这种形式为什么假设这种形式?设设p=f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量纲单的量纲单位缩小位缩小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p=f(x,y,z)的形式为的形式为),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp量纲齐量纲齐次原则次原则32

21、1glmt 单摆运动单摆运动0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTMLt单摆运动中单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式的一般表达式0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(glt4321yyyyglmty1y4 为待定常数为待定常数,为无量纲量为无量纲量0)(FT)1,1,0,2(Tyyyyy),(4321基本解基本解设设 f(q1,q2,qm)=0 mjXqniaijij,2,1,1ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,

22、2,m-rF(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价,F未定未定.Pi定理定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn 是是基本量纲基本量纲,n m,q1,q2,qm 的量纲可表为的量纲可表为,mnijaA量纲矩阵记作量纲矩阵记作rrankA若线性齐次方程组线性齐次方程组0Ay有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作mjyjssjq1为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量,且且则则记爆炸能量为记爆炸能量为E，将，将“蘑菇云蘑菇云”近似看成一个球近似看成一个球形形.时刻时刻 t 球的半径为球的半径为

23、 rt,E空气密度空气密度,大气压强大气压强P基本量纲：基本量纲：L,M,T 21322;MTLPMLMTLETtLr),(PEtr原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模 r与哪些因素有关？与哪些因素有关？r t E P 20210111001320153ALMT量纲矩阵量纲矩阵 0),(PEtrfy=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模 rARank3ARank5/125/15/15/21EtrErt5/132565/35/25/62EPtP

24、Et0),(21F5/132565/12EPtEtrTyyyyyyAy),(,054321有有2个基本解个基本解5/132565/12EPtEtr两个无两个无量纲量量纲量原子弹爆炸能量估计的数值计算原子弹爆炸能量估计的数值计算5/132565/12EPtEtr时间时间 t 非常短非常短能量能量 E 非常大非常大)0(5/13256EPt泰勒泰勒根据一些小型爆炸试验的数据根据一些小型爆炸试验的数据建议建议1)0(5/12Etr用用r,t 的实际数据做平均的实际数据做平均空气密度空气密度 =1.25(kg/m3)1千吨千吨(TNT能量能量)=4.184*1012焦尔焦尔 25trEE=19.795

25、7(千吨千吨)E=8.28251013(焦耳焦耳)实际值实际值21千吨千吨 泰勒的泰勒的计算计算5/12Etrtr最小二乘法拟合最小二乘法拟合 r=atbEtr101010log51log52logE=8.02761013(焦耳焦耳)即即19.2千吨千吨 取取y平均值得平均值得c=6.9038 Ectrycy101010log21,loglog25,模型检验模型检验b=0.40582/5量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 ()=0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的.基

26、本量纲个数基本量纲个数n;选哪些基本量纲选哪些基本量纲.有有目的地构造目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解.方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定.不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识.物理模拟示例：物理模拟示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v,船体尺寸船体尺寸l,浸没面积浸没面积 s,海水密度海水密度,重力加速度重力加速度g.0),(fsvlg量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 物理模拟物理模拟:按照一定的按照一定的比例尺寸比例尺寸构造它的物理模型构造它的物理模型,通过对模型的研究得出原型的结果通过对模型

27、的研究得出原型的结果.量纲分析可以指导物理模拟中量纲分析可以指导物理模拟中比例尺寸比例尺寸的确定的确定.0),(fsvlg物理模拟示例：物理模拟示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力slgvlglf232/12/121131,定理定理 232323,),(lsglvglf待定，0),(321F232323,),(lslgvglf 同上，原型船原型船模型船模型船gvlsf,模型船的模型船的 均已知均已知 gvls,当原型船的当原型船的 给定后计算给定后计算 f物理物理模拟模拟ggllvv2)(llss3322,3)(llff232323,),(lsglvglf232323,),(lslgvglf

28、 物理模拟示例：物理模拟示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力原原型型船船模模型型船船),(),(3232模拟模拟条件条件量测模型船阻力量测模型船阻力f，可计算，可计算 f.按一定尺寸比例建造按一定尺寸比例建造模型船模型船,并调节船速并调节船速.无量纲化示例：火箭发射无量纲化示例：火箭发射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(,0)0()(22),;(gvrtxx m1m2xrv0g星球表面竖直发射火箭。初速星球表面竖直发射火箭。初速v,星星球半径球半径r,星球表面重力加速度星球表面重力加速度g.研究火箭高度研究火箭高度 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律.t=0 时时 x

29、=0,火箭质量火箭质量m1,星球质量星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律)0(xgx grkm223个独立参数个独立参数用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数x=L,t=T,r=L,v=LT-1,g=LT-2变量变量 x,t 和独立参数和独立参数 r,v,g 的的量纲量纲用用参数参数r,v,g的组合的组合,分别分别构造与构造与x,t具有相同具有相同量纲量纲的的xc,tc（特征尺度）特征尺度）无量纲变量无量纲变量tx,vrtrxcc/,如如),;(gvrtxx 利用新变量利用新变量,tx将被简化将被简化cctttxxx,令令 xc,tc的不同构造

30、的不同构造vrtrxcc/,1）令cctttxxx,xrvt dxdrvxxvt dxdvx 2222),;(gvrtxx);(txx 为无量纲量为无量纲量rvttrxx/,/1)0(,0)0(,)1(122xxrgvxx 用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数的不同简化结果的不同简化结果),;(gvrtxx,)(22rxgrx vxx)0(,0)0(gvtgvxcc/,/23）令),;(gvrtxx 10001122)(,)(,)(xxrgvxx);(txx 为无量纲量为无量纲量),;(gvrtxx grtrxcc/,2）令rgvxxxx2200011,)()()();

31、(txx 为无量纲量为无量纲量用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数)/(80008.91063703smrg1)2)3)的共同点的共同点只含只含1个参数个参数无量纲量无量纲量);(txx 解解1)2)3)的重要差别的重要差别rgv2考察无量纲量考察无量纲量v1在在1)2)3)中能否忽略以中能否忽略以 为因子的项？为因子的项？1)0(,0)0(,)1(122xxrgvxx 1)忽略忽略 项项无解无解x不能忽略不能忽略 项项1)0(,0)0(,0)1(12xxx无量纲无量纲化方法化方法tttx2)(21)0(,0)0(,1xxx 0)0(,0)0(,)1(12xxxx rg

32、vxxxx22,)0(0)0()1(1 2)1)0(,0)0(,)1(122xxrgvxx 3)忽略忽略 项项0)(tx不能忽略不能忽略 项项忽略忽略 项项0)(tx1)2)3)的重要差别的重要差别无量纲无量纲化方法化方法vxxgx)0(0)0(,2)()32tttxgvtgvxcc/,/2cctttxxx,vtgttx221)(火箭发射过程火箭发射过程中引力中引力m1g不变不变 即即 x+r rvxxrxgrx)0(,0)0()(22 原原问问题题可以忽略可以忽略 项项vtgttx221)(是原问题是原问题的近似解的近似解1)2)3)的重要差别的重要差别无量纲化方法无量纲化方法为什么为什么3

33、)能忽略能忽略 项，得到原问题近似解，而项，得到原问题近似解，而1)2)不能不能?vrtrxcc/,1）令）令grtrxcc/,2）令）令gvtgvxcc/,/23）令）令火箭到达最高点时间为火箭到达最高点时间为v/g,高度为高度为v2/2g,cctttxxx/,/大体上具有单位尺度大体上具有单位尺度)1(项可以忽略项可以忽略cxx 1,tx)1(项不能忽略项不能忽略无量纲化方法无量纲化方法 选择特征尺度的一般讨论见：选择特征尺度的一般讨论见：林家翘著林家翘著自然科学中确定性问题的应用数学自然科学中确定性问题的应用数学无无 量量 纲纲 化化 无量纲化无量纲化是研究物理问题常用的数学方法是研究物

34、理问题常用的数学方法.选择选择特征尺度特征尺度主要依赖于物理知识和经验主要依赖于物理知识和经验.恰当地选择特征尺度可以减少独立参数恰当地选择特征尺度可以减少独立参数个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素.6.4 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求 描述商品数量与价格的变化规律描述

35、商品数量与价格的变化规律.商品商品数量数量与与价格价格在振荡在振荡蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格.消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数需求函数需求函数f与与g的的交点交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0)(1kkyhx)(1kkxgy供应函数供应函数xy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxy

36、x0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy)(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型0321PPPP)(kkxfy)(1kkyhx在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定稳定P0不稳定不稳定0 xxkkxfKgK/1)/1()/1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型

37、与蛛网模型的一致)(00 xxyykk 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 ,的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格.1经济稳定经济稳定结果解释结果解释经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1.使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段

38、控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直2/)(0101yyyxxkkk模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段生产者根据当前时段和前一时段 的价格决定下一时段的产量的价格决定下一时段的产量.)(00 xxyykk生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变,2,1,)1(22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研

39、究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22,1012)1(22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1,c2由初始条件确定由初始条件确定)1,2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡点稳定，即平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件:12,12平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了!122,1模型的推广模型的推广6.5 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持.通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身

40、体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标.分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起.饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加.代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少.体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25 超重超重;BMI30 肥胖肥胖.模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡千卡 增加体重增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重代谢引起的体重减少正比于体

41、重每周每千克每周每千克 体重消耗体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70 千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式 有关；有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克千克,每周吸收热量不要小于每周吸收热量不要小于10000千卡千卡.某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至体重维持不变。现欲减肥至75千克千克.第一阶段：每

42、周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少千克，每周吸收热量逐渐减少,直至达到下限（直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标.2）若要）若要加快进程加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划，第二阶段增加运动，试安排计划.1）在不运动的情况下安排一个）在不运动的情况下安排一个两阶段计划两阶段计划.减肥计划减肥计划3）给出达到目标后）给出达到目标后维持体重维持体重的方案的方案.)()1()()1(kwkckwkw 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20

43、000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不变千克不变wcww025.0100800020000wc=1/8000(千克千克/千卡千卡)第一阶段第一阶段:w(k)每周减每周减1千克千克,c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡1)1()(kwkwk20012000)()1()()1(kwkckwkw第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末

44、体重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.0910200120001,)(kkkc吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划1)(1)1(kwkc10000mC)1()1(1)()1()(1nmnCkwnkw 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克代入得以10000,80001,025.0mC5050)(975.0)(kwnkwnmmnCCkw)()1(1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划)()1()()1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)

45、()1()1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克5050)(975.0)(kwnkwn第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡,体重按体重按 减少至减少至75千克千克.)19,2,1(50975.040)(nnwn19975.0lg)40/25lg(n028.0003.0025.0运动运动 t=24(每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),14周即可周即可.2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料

46、每小时每公斤体重消耗的热量根据资料每小时每公斤体重消耗的热量 (千卡千卡):跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动时间每周运动时间(小时小时)6.44)6.4490(972.075nmmnCCkwnkw)()1()(模型模型)()1()()1(kwkckwkw t 取取t=0.003,即即 t=24=1/8000(千克千克/千卡千卡),=0.02514n增加运动相当于提高代谢消耗系数增加运动相当于提高代谢消耗系数 2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划)028.0()025.0(t提高

47、提高12%减肥所需时间从减肥所需时间从19周降至周降至14周周减少减少25%这个模型的结果这个模型的结果对代谢消耗系数对代谢消耗系数 很敏感很敏感.应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数 (对不同的人对不同的人;对同一人在不同的环境对同一人在不同的环境).3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案)()()1()()1(kwtkckwkw每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重使体重w不变不变wtCww)(wtC)()(1500075025.08000千卡C 不不运动运动)(1680075028.08000千卡

48、C 运动运动(内容同前内容同前)6.6 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同.建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律.假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2,n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象.第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为

49、时段内的死亡率为di,存活率存活率为为si=1-di1,2,1),()1(1nikxskxiii假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量)()1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布Leslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)()1(11kxbkxinii(设至少设至少1个个bi0)000000000121121nnnsssbbbbL稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识nkk,3,2,1 L矩阵存在矩阵存在正单特征根正单特征

50、根 1，若若L矩阵存在矩阵存在bi,bi+10,则则 nkk,3,2,1)0()(xLkxk11),(PdiagPLnP的第的第1列是列是x*)0()0,0,1()(lim11xPPdiagkxkkTnnssssssx11121212111*,1特征向量特征向量*1)(limcxkxkk,c是由是由bi,si,x(0)决定的常数决定的常数 且且解解释释L对角化对角化11),(PdiagPLknkk*cx*)()1xckxk)()1()2kxkx稳态分析稳态分析k充分大充分大种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布*1)(limcxkxkk 种群按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x