微分方程概要课件.ppt
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- 微分方程 概要 课件
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1、 6.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念6.2 一阶微分方程一阶微分方程6.3 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程6.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程6.5 微分方程的应用举例微分方程的应用举例6.1 微分方程的基本概念定义定义导导数数或或微微分分的的方方程程数数、未未知知函函数数的的把把联联系系自自变变量量、未未知知函函.称称为为微微分分方方程程例例,xyy ,0)(2 xdxdtxt,32xeyyy .2yxyxz 自自变变量量的的个个数数只只有有一一个个如如果果在在微微分分方方程程中中,偏微分方程偏微分方程 .为为两两个个以以上上的的微微分分方方程程称称自自变变量量的的个
2、个数数为为两两个个或或一一般般形形式式为为0),()(nyyyxF,数数是是一一元元函函数数)(即即未未知知函函 常微分方程常微分方程.则则称称这这种种微微分分方方程程为为微分方程的微分方程的阶阶:微分方程中出现的未知函数的微分方程中出现的未知函数的最高最高阶导数阶导数的的阶阶数称之为微分方程的数称之为微分方程的阶阶.,0),(yyxF一阶一阶微分方程微分方程:);,(yxfy 或或高阶高阶微分方程微分方程:).,()1()(nnyyyxfy0),()(nyyyxF或或),2(Nnn.必必须须出出现现在在一一阶阶微微分分方方程程中中,y 注意注意:,)(必须出现必须出现阶微分方程中,阶微分方程
3、中,在在nyn注意注意:.,)1(等等变变量量可可以以不不出出现现而而 nyyyyx中中,阶阶微微分分方方程程例例如如01)(nyn,)(外外除除ny.其其他他变变量量都都没没有有出出现现 线性线性与与非线性非线性微分方程:微分方程:的的左左端端为为如如果果方方程程0),()(nyyyxF有有理理整整式式,的的及及)(,nyyyy 一一次次则则称称此此方方程程.微微分分方方程程阶阶为为n线线性性.为为非非线线性性微微分分方方程程不不是是线线性性方方程程的的方方程程称称例例如如)()(xQyxPy .是是一一阶阶线线性性微微分分方方程程,02)(2 xyyyx.0sin7 yy.都都是是非非线线
4、性性微微分分方方程程微分方程的解微分方程的解:等式等式的的函数函数称之为微分方程的称之为微分方程的解解.代入微分方程能使方程成为代入微分方程能使方程成为恒恒 ,)(阶阶的的导导数数上上有有直直到到在在区区间间设设nIxy 上上为为恒恒等等式式,使使其其在在代代入入方方程程如如果果把把IyyyxFxn0),()()(即即)(.0)(,),(),(,()(IxxxxxFn .0),()()(上上的的一一个个解解在在为为方方程程则则称称IyyyxFxyn 微分方程的解的分类:微分方程的解的分类:(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有微分方程的解中含有任意常数任意常数,且且独立独立任任意常数的意常数
5、的个数个数与微分方程的与微分方程的阶数相同阶数相同.独独立立指指的的是是:个个常常数数nCCCn,21它它们们不不能能.得得常常数数的的个个数数减减少少通通过过四四则则运运算算合合并并而而使使例例如如,21xCC xCxCcossin21.,21是独立的是独立的中中CCxCC 21而而,xC .,21就不是独立的任意常数就不是独立的任意常数此处此处CCxCC21,xC,yy 例例;xCey 通解通解,0 yy.cossin21xCxCy 通通解解(2)(2)特解特解:不包含任何任意常数的解不包含任何任意常数的解.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题
6、.过定点的积分曲线过定点的积分曲线;.)(),(00yxyyxfy一阶一阶:二阶二阶:.)(,)(),(0000yxyyxyyyxfy过定点且在定点的切线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线的斜率为定值的积分曲线.)(,)(,)(,0),(:)1(00)1(0000)(nnnyxyyxyyxyyyyxfn阶阶初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.通解的图象通解的图象:微分方程的积分曲线族微分方程的积分曲线族.解的图象解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.1,)1(0000个个已已知知常常数数是是其其中中 nyyyxn解解,cossin21ktkCktk
7、Cdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的的表表达达式式代代入入原原方方程程和和将将xdtxd.0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx ,0,00 ttdtdxAx,1AC ,cossin21ktkCktkCdtdx 而而.02 C所求特解为所求特解为.cosktAx 注意:注意:.1 有有些些方方程程可可能能无无解解.01)(22无无实实函函数数解解 yy.3的的解解通通解解不不一一定定能能包包含含所所有有,0)(22CCxyyyxy 有有通通解解.42解解得得到到
8、)不不在在通通解解内内(不不能能由由通通另另一一方方面面解解xy .2 方方程程可可能能有有解解而而无无通通解解.00)(22 yyy只只有有特特解解思考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4,0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?思考题思考题6.2 一阶微分方程式式是是一一阶阶微微分分方方程程的的一一般般形形0),(yyxF则则可可写写为为如如果果一一阶阶导导数数可可解解出出,),(yxfdxdy 0),(),(dyyxQdxyxP或或一.可分离
9、变量的微分方程如如果果一一个个一一阶阶微微分分方方程程0),(yyxF),(yxfdxdy 0),(),(dyyxQdxyxP或或或或:能能写写成成,(*)()(的形式的形式dxxfdyyg 则称原微分方程为则称原微分方程为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法:解法:,得,得两边求不定积分两边求不定积分对对(*)dxxfdyyg)()(*)()(dxxfdyyg 则则设设,)()(),()(tftFtgtG ,)()(21CxFCyG CxFyG )()(即即称为所给可分离变量微分方程的称为
10、所给可分离变量微分方程的隐隐函数形函数形式式的的通解通解.为为任任意意常常数数)(C例例1 1 求微分方程求微分方程.2的的通通解解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy)0(y两端积分两端积分,2 xdxydy,ln12Cxy ,21xCeey ,21xCeey ,1CeC 令令,2xeCy 也也是是原原方方程程的的解解,由由于于0 y,0 C允允许许为为任任意意常常数数)(故故CeCyx2.为为所所求求通通解解例例2 2 .0)0(0)21()1(的的特特解解满满足足求求微微分分方方程程 ydxedyxy解解先先求求通通解解,方方程程可可改改写写为为,112xdxedyy 两两
11、边边积积分分,112 xdxedyy,12 xdxedyeyy,1)1(2)2(xxdeedyy,1ln2ln1Cxey ,)1)(2(ln2Cxey .)1)(2(Cxey 得得通通解解:,1,0)0(Cy得得由由故该初值问题的解为故该初值问题的解为.1)1)(2(xey二二.齐齐 次次 方方 程程,0),(),(成成立立如如果果 tyxFttytxFk则则.),(次次齐齐次次函函数数称称为为kyxF),(),(0yxFtytxFk 时时,当当则则称称),(yxF.0次次齐齐次次函函数数为为,取取xt1),(0yxF次次齐齐次次函函数数对对),1(xyF.)(xyf 定义定义)(xyfdxd
12、y 形形如如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程 .解法解法:,)(xyfdxdy 对对齐齐次次方方程程令令 ,xyu ,xuy 即即,dxduxudxdy 代入原方程,得代入原方程,得),(ufdxduxu uufdxdux )(即即可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 .代代入入即即得得原原方方程程的的通通解解求求出出解解后后,以以xyu 例例 3 3 求解微分方程求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx,令令xyu ,则则udxxdudy ,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程
13、的解为微分方程的解为解解,xuy 即即.2222xyydyyxyxdx 例例 4 4 求解微分方程求解微分方程2222yxyxxyydxdy 解解,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,xuy 即即,dxduxudxdy 则则,1222uuuudxduxu ,)2)(1()1(2xdxuuuduuu ,1122)121(21xdxduuuuu ,lnlnln212)2ln(231lnCxuuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy 三.一阶线性微分方程)1()()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0
14、)(xQ当当(1)称为称为齐次方程齐次方程.(1)称为称为非齐次方程非齐次方程.,0)(xQ当当)2(0)(yxPdxdy方程方程.)1(的齐次方程的齐次方程称为对应于方程称为对应于方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.0)(yxPdxdy1.先求线性齐次方程先求线性齐次方程 的通解:的通解:一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,)(ln1CdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey用分离变量法用分离变量法)(1CeC 2.再求线性非齐次方程
15、再求线性非齐次方程 的通解:的通解:)()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPdxyxQydy 的函数,的函数,是是由于由于xy),()(xyxQ 可令可令,)()(1Cxdxx 并设并设对上式积分,得对上式积分,得,)()(ln1 dxxPCxy dxxPCxeey)()(1即即)(xC.)(dxxPe非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解与齐次方程通解 dxxPCey)(相比,不难看出:相比,不难看出:只要在齐次方程的通解只要在齐次方程的通解 中,中,dxxPCey)(C把把常常数数,待待定定函函数数变变易易成成)(xCx就就可可得得非非齐齐次次方方程程的的解解的的
16、形形式式:.)()(dxxPexCy.)(的的通通解解,便便可可求求出出非非齐齐次次方方程程进进而而定定出出函函数数xC,)()()()()(dxxPdxxPexPxCexCy代代入入原原方方程程得得和和将将yy),()()(xQexCdxxP 积分得积分得,)()()(CdxexQxCdxxP ,)()()(CdxexQxCdxxP 故一阶线性非齐次微分方程的通解为故一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQ)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(y dxxPexC)()(称为称为常数变易法常数变易法.把齐次方程通解中的常数变易为待定函数把齐
17、次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,的方法,对应齐次方程通解对应齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,xdxydy ,)()(2xxCxxCy 解解例例1 1,01的的通通解解求求齐齐次次方方程程先先 yxy,lnlnlnCxy ,Cyx .xCy 即即,)(xxCy 令令代代入入原原方方程程,得得,sin)(xxC ,cos)(CxxC .cos)(xCxxxCy 故故例例2 2 如图所示,平行于如图所示,平行于 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 y)(xfy )0(3 xxy)(xfy PQ 与与 截下的线段截下的线段 之长数值上等于阴
18、之长数值上等于阴影部分的面积影部分的面积,求曲线求曲线 .xyoxPQ3xy )(xfy 解解由题意由题意),()(30 xfxdxxfx 两边求导得两边求导得,32xyy ,0 yy,dxydy ,ln1Cxy .xCey ,令令xexCy )(.0|0 xy 则则,)()(xxexCexCy 代代入方程入方程 ,得,得23xyy ,令令xexCy )(,3)(2xexxC ,)22(3)(2CexxxCx ,6632 xxCex,0|0 xy由由,6 C得得xexCy )(故故 所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx伯努里伯努里(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式n
19、yxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为方程为线性微分方程线性微分方程.方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.,1,0时时当当 n,1,0时时当当 n解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.四.伯努里方程(Bernoulli,1654-1705,瑞士),瑞士),1 nyz 令令,则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 得得两两端端除除以以,ny代入上式代入上式,得得(*)()(nyxQyxPdxdy 方方程程,为为未未知知函函数数的的一一阶阶线线性性此此方方程程是是以以z.(
20、*)的的通通解解即即得得方方程程后后代代入入变变换换关关系系解解出出znyz 1.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解解得得.224为为所所求求的的通通解解故故 Cxxy解解,得,得两端除以两端除以y例例 3,121dxdyydxdz 例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:;)()12yxdxdy 解解,uyx 令令,xuy ,1 dxdudxdy代入原方程,得代入原方程,得,12udxdu ,即即21udxdu ,dxudu 21,arctanCxu 得得代回代回,y
21、xu ,)arctan(Cxyx 故故 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy .)(sin1)22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz ,代代回回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy dxzdz 2sindxdzz 22cos11 1、分离变量法步骤、分离变量法步骤:1)分离变量)分离变量;2)两端积分)两端积分-隐式通解隐式通解.小 结2、齐次方程、齐次方程.xyu 令令)(xyfy 3.线性非齐次方程线性非齐次方程;)()(dxxPexCy令令4.
22、伯努里方程伯努里方程;1zyn 令令6.3 可降阶的二阶微分方程0),(yyyxF式式是是二二阶阶微微分分方方程程的的一一般般形形yyyyxyxyyxyyy 22sin)(如如),(yyxfyy 为为形形式式可可以以解解出出,则则方方程程可可写写如如果果二二阶阶导导数数型型方方程程)(.1xfy ),(yy 方方程程的的右右端端不不显显含含,)(1Cdxxfdxyy ,)(21CdxCdxxfdxyy .1xxey 解解方方程程例例,1Cexedxxeyxxx .)(211CxCeexeCexeyxxxxx .)(21CxCdxdxxfy 即即解解方方程程型型),(.2yxfy )(y方方程程
23、右右端端不不显显含含),(xpy 令令,dxdpy 得得代代入入原原方方程程,),(pxfdxdp 的的一一阶阶微微分分方方程程,关关于于 p),(1Cxp 设设其其通通解解为为,dxdyp 又又),(1Cxdxdy 方方程程,可可分分离离变变量量的的一一阶阶微微分分.),(21CdxCxy 积积分分得得通通解解.12xxeyxy 解解方方程程例例解解),(xpy 令令,dxdpy 得得代代入入原原方方程程,1xxepxdxdp ,1xCxepx 解解得得即即,1xCxedxdyx dxxCxeyx1 故故.2)1(221CxCexx 一一阶阶线线性性微微分分方方程程方方程程型型),(.3yy
24、fy )(x方方程程右右端端不不显显含含),(ypy 令令则则 xypy)(dxdydydp ,dydpp 得得代代入入原原方方程程,),(pyfdydpp),(1Cyp 设设其其通通解解为为,dxdyp 又又),(1Cydxdy 方方程程,可可分分离离变变量量的的一一阶阶微微分分积积分分得得通通解解.),(21CCydyx .02的通解的通解求方程求方程 yyy例例 3解解1,2yyy ),(ypy 令令则则,dydppdxdydydpy ,2ypdydpp .ydypdp 积积分分可可得得,lnlnln1Cyp ,即即1Cpy ,dxdyp 又又,1Cydxdy ,1dxCydy 积积分分
25、得得通通解解21221CxCy .212CxCy 或或解解2:02改写为改写为把方程把方程 yyy,0)(yydxd,1Cyy ,1dxCydy 即即积积分分得得通通解解,21212CxCy .212CxCy 或或.02的通解的通解求方程求方程 yyy例例 4解解1),(ypy 令令.53305例例,见见教教材材类类似似例例P解解2得得方方程程两两端端同同乘乘非非零零因因子子),0(12 yy,022 yyyy yydxd,1Cyy ,1yCy ,1dxCydy,ln21CxCy 故通解为故通解为.12xCeCy 分离变量,得分离变量,得解解3:02改写为改写为把方程把方程 yyy,yyyy
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