三元一次方程组的解法课件-2.ppt

1、三元一次方程组的解法1小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张？21 1三元一次方程（组）的有关概念三元一次方程（组）的有关概念1.1.三元一次方程：含有三元一次方程：含有_未知数，并且含有未知数未知数，并且含有未知数 的项的次数都是的项的次数都是_，像这样的方程叫做三元一次方程，像这样的方程叫做三元一次方程 必备条件：必备条件：(1)(1)是是_方程；方程；(2)(2)含含_未知数；未知数；(3)(3)含未知数的含未知数的 项的次数都是项的次数都是_._.2 2三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程

2、中含三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含 未知数的项的次数都是未知数的项的次数都是1 1，并且一共有三个方程，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组像这样的方程组叫做三元一次方程组三个三个1 1整式整式三个三个1 13必备条件：必备条件：(1)(1)是整式方程；是整式方程；(2)(2)含三个未知数；含三个未知数；(3)(3)三个都是一次方程；三个都是一次方程；(4)(4)联立在一起联立在一起3 3易错警示：易错警示：(1)(1)误认为三元一次方程组中每个方程必须是三元一误认为三元一次方程组中每个方程必须是三元一 次方程，实际上只需方程组中共有三个未知数即可；次方程，实际上

3、只需方程组中共有三个未知数即可；(2)(2)把含有未知数的项的次数为把含有未知数的项的次数为1 1误认为未知数的次误认为未知数的次 数为数为1.1.4 1 1三元一次方程（组）的有关概念三元一次方程（组）的有关概念1 1下列方程是三元一次方程的是下列方程是三元一次方程的是_ (填序号填序号)x xy yz z1 1 4 4xyxy3 3z z7 7 y y7 7z z0 0 6 6x x4 4y y3 30 02x52 2 其中是三元一次方程组的是其中是三元一次方程组的是_(填序号填序号)23=7,=8,44;xyzxyzxyz236,48,35;abbcb7,8,9;xyyzzx5,237,

4、240;xyzyzxxzw112,114,1110.xyyzzx6基础课堂基础课堂精讲精练精讲精练精精 练练3 3若若(a a1)1)x x5 5y yb b1 12 2z z2 2|a a|1010是一个关于是一个关于x x，y y，z z的三元一次方程，那么的三元一次方程，那么a a_，b b_1 10 072 2三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法1.1.解三元一次方程组的基本思路：通过解三元一次方程组的基本思路：通过“代入代入”或或“加减加减”进行消元，把进行消元，把“_”_”化为化为“_”_”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而

5、再转化为再转化为_方程，用简图表示为：方程，用简图表示为：三元一次三元一次方程组方程组二元一次方二元一次方程组程组一元一一元一次方程次方程消元消元消元消元三元三元二元二元一元一次一元一次82 2求解方法：加减消元法和代入消元法求解方法：加减消元法和代入消元法3 3解三元一次方程组的一般步骤：解三元一次方程组的一般步骤：(1)(1)利用代入法或利用代入法或 加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到 关于另外两个未知数的二元一次方程组；关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；解这个二元一次方程组，求出两个

6、未知数的值；(3)(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个 系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)(5)将求得的三个未知数的值用符号将求得的三个未知数的值用符号“”合写在一合写在一 起起9 2 2三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法4 4解三元一次方程组解三元一次方程组 先消去先消去_，化为关于，化为关于_、_ _ 的二元一次方程组较简便的二元一次方程组较简便236,1,25,xyzxyxy

7、zz zx xy y105 5解方程组解方程组 若要使运算简便，消元若要使运算简便，消元 的方法应选的方法应选()A A消去消去x x B B消去消去y y C C消去消去z z D D以上说法都不对以上说法都不对323,2411,751,xyzxyzxyzB B因为因为y y的系数的绝对值都是的系数的绝对值都是1 1，所以消去，所以消去y y较简便较简便116 6已知三元一次方程组已知三元一次方程组 经过步骤经过步骤和和4 4消去未知数消去未知数z z后，得后，得 到的二元一次方程组是到的二元一次方程组是()A.B.A.B.C.D.C.D.540,3411,2,xyzxyzxyz 43275

8、3xyxy342753xyxy342231711xyxy432231711xyxyA A123 3三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用（1 1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如 x x,y y,z z）表示题目中的数量关系）表示题目中的数量关系.(2)(2)找出能够表达应用题全部含义的三个相等关系找出能够表达应用题全部含义的三个相等关系.(3)(3)根据这些相等关系列出代数式，从而列出方程，根据这些相等关系列出代数式，从而列出方程，并组成方程组并组成方程组.(4)(4)解这个方程组求出未知数的值解这个方程组求出未知数的值.(5)(5)写出答案，

9、包括单位名称写出答案，包括单位名称.13 3 3三元一次方程组的应用三元一次方程组的应用7 7(2015(2015滨州滨州)某服装厂专门安排某服装厂专门安排210210名工人进行名工人进行 手工衬衣的缝制，每件衬衣由手工衬衣的缝制，每件衬衣由2 2个衣袖、个衣袖、1 1个衣个衣 身、身、1 1个衣领组成如果每人每天能够缝制衣袖个衣领组成如果每人每天能够缝制衣袖 1010个，或衣身个，或衣身1515个，或衣领个，或衣领1212个，那么应该安个，那么应该安 排排_名工人缝制衣袖，才能使每天缝制名工人缝制衣袖，才能使每天缝制 出的衣袖、衣身、衣领正好配套出的衣袖、衣身、衣领正好配套12012014忽

10、略集中消同一未知数导致不会解三元一次方程组忽略集中消同一未知数导致不会解三元一次方程组1 18 8下面是小明解三元一次方程组的消元过程，当他下面是小明解三元一次方程组的消元过程，当他 解到第三步时，发现还是无法求出方程组的解，解到第三步时，发现还是无法求出方程组的解，请帮小明分析解题的错因，并加以改正请帮小明分析解题的错因，并加以改正 解方程组：解方程组：错解错解 第一步：第一步：，得，得(消消y y)x xz z6 6，第第 二步：，得二步：，得(消消z z)y yx x3 3，第三步：由，第三步：由 组成方程组，得组成方程组，得 此方程组此方程组 无法求解无法求解2 7,3 3,3 0.x

11、yyzxz6,3.xzyx 15错解原因是错解原因是消元的目的不明确消元的目的不明确，消元时，应始终对，消元时，应始终对同一个未知数进行，否则就达不到消元的目的同一个未知数进行，否则就达不到消元的目的正解：正解：，得，得y yx x3 3，由由组成方程组，得组成方程组，得解得解得 将将x x1212代入代入，得，得z z18.18.方程组的解为方程组的解为27,3,xyyx12,15,xy12,15,18.xyz16加减消元时，易漏乘某项系数而出错加减消元时，易漏乘某项系数而出错2 29 9解方程组解方程组231,3222,441.xyzxyzxyz 由由2 2，得，得4 4x x3 3x x

12、6 6z z2 2z z4 4，即即7 7x x8 8z z4.4.，由由2 2，得，得6 6x x4 4x x4 4z zz z4 41 1，即即2 2x x3 3z z3.3.17由由组成方程组，得组成方程组，得解得解得 把把 代入代入，得，得y y2.2.所以原方程组的解为所以原方程组的解为784,233,xzxz12,513.5xz 12,513.5xz 12,52,13.5xyz 解三元一次方程组时，通常需在某些方程两边同乘以某常解三元一次方程组时，通常需在某些方程两边同乘以某常数，以便于消去同一未知数；在变形过程中，易漏乘常数数，以便于消去同一未知数；在变形过程中，易漏乘常数项而出

13、现方程变形为项而出现方程变形为4 4x x2 2y y6 6z z1 1的错误的错误18名师点金名师点金解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问题简单化的一种方法其目的是利用代入法或加问题简单化的一种方法其目的是利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数其基本过程为：出另一个未知数其基本过程为：三元三元 二元二元 一元一元消元消元消元消元转化转化转化转化191 1巧解较复杂的三元方程组

14、（换元法）巧解较复杂的三元方程组（换元法）1010解方程组解方程组1122,1141,115.xyzxyzxy 分析分析此方程组较为复杂，通过观察各个方程可以发现此方程组较为复杂，通过观察各个方程可以发现将将 ，分别看成一个整体，则方程分别看成一个整体，则方程可化为三元一次方程组，再通过三元一次方程组的可化为三元一次方程组，再通过三元一次方程组的解法可求解解法可求解1x1y1z20设设 a a，b b，c c，则原方程组可化为则原方程组可化为，得，得2 2a a2 2c c1 1，得，得2 2a a4 4c c4.4.与与组成方程组，得组成方程组，得解这个方程组，得解这个方程组，得1x1y1z

15、22,41,+5.abcabca b 221,244.acac1,3.2ac 21把把 代入代入，得，得b b6.6.因此，因此，x x1 1，y y ，z z .即原方程组的解为即原方程组的解为1,3.2ac 16231,1,62.3xyz 本题运用了本题运用了换元法换元法，将，将 ，分别用分别用a a，b b，c c表示，表示，将原方程组化为关于将原方程组化为关于a a，b b，c c的三元一次方程组，求出的三元一次方程组，求出a a，b b，c c的值后，进一步再求的值后，进一步再求x x，y y，z z的值，这种方法可使解的值，这种方法可使解题过程变简便题过程变简便1x1y1z222

16、2巧解含比例的三元方程组（等比法）巧解含比例的三元方程组（等比法）1111解方程组解方程组:1:2:3,23=15.x y zxyz设设x xk k，y y2 2k k，z z3 3k k，代入，代入得：得：2 2k k2 2k k9 9k k15.15.解得解得k k3.3.原方程组的解为原方程组的解为3,6,9,xyz 像这种已知未知数之间数量比的问题，通常采用设参数像这种已知未知数之间数量比的问题，通常采用设参数的方法，将的方法，将“多元多元”化为化为“一元一元”，使解题过程变简便，使解题过程变简便233 3巧解巧解“每个方程中只有二元每个方程中只有二元”的三元一次方程组（整体思想）的三

17、元一次方程组（整体思想）1212解方程组：解方程组：3,5,4.xyyzzx得：得：2 2x x2 2y y2 2z z1212，所以所以x xy yz z6 6，得，得z z3.3.，得，得x x1.1.，得，得y y2.2.所以原方程组的解为所以原方程组的解为1,2,3.xyz本题没有采用本题没有采用常规的消元方法常规的消元方法求解，而是利用整体加减的求解，而是利用整体加减的方法求出未知数的值，给解题过程带来了简便方法求出未知数的值，给解题过程带来了简便244 4代入法、加减法的综合运用（一题多解）代入法、加减法的综合运用（一题多解）1313用两种消元法解方程组：用两种消元法解方程组：24

18、39,3248,5657.xyzxyzxyz方法一：代入法解方程组方法一：代入法解方程组把把变形为：变形为：2 2y y3 3x x4 4z z8 8，将将代入代入得：得：2 2x x2(32(3x x4 4z z8)8)3 3z z9 9，整理得，整理得8 8x x1111z z25.25.将将代入代入得：得：5 5x x3(33(3x x4 4z z8)8)5 5z z7 7，整理得，整理得4 4x x7 7z z17.17.由由组成组成方程组，方程组，得得 解得解得81125,4717.xzxz1,3.xz 25将将 代入代入，得，得 y y .此方程组的解为此方程组的解为方法二：加减法

19、解方程组方法二：加减法解方程组2 2得：得：8 8x x1111z z25.25.3 32 2得：得：1616x x1919z z41.41.由由、，得，得 解得解得将将 代入代入，得，得 y y .此方程组的解为此方程组的解为1,3.xz 121,1,23.xyz 81125,161941xzxz.1,3.xz 121,1,23.xyz 1,3.xz 265 5利用三元一次方程组求有关式子的待定系数利用三元一次方程组求有关式子的待定系数1414当当x x1 1，1 1，3 3时，时，y yaxax2 2bxbxc c的值分别为的值分别为1 1，4 4，0 0，求当，求当x x2 2时，时，y

20、 y的值的值由题意得：由题意得：解得解得y y x x2 2 x x .当当x x2 2时，时，y y 2 22 2 2 21 13 3 .1,4,930,abcabcabc1,43,29.4abc 9494941414321432276 6利用方程组解实际应用问题利用方程组解实际应用问题1515有三块牧场，草长得一样密一样快，面积分别有三块牧场，草长得一样密一样快，面积分别 为为3 3 公顷，公顷，1010公顷和公顷和2424公顷，第一块公顷，第一块1212头牛可头牛可 吃吃4 4星期，第二块星期，第二块2121头牛可吃头牛可吃9 9星期，第三块可供星期，第三块可供 多少头牛吃多少头牛吃18

21、18个星期？个星期？13设牧场每公顷原有草设牧场每公顷原有草 x x t t，每星期新生草，每星期新生草 y y t t，每头牛每周吃草每头牛每周吃草a a t t，根据题意得根据题意得101044 12,33109 109 21,xyaxya 28化简得：化简得：得，得，5050y y4545a a，y y0.90.9a a，将将y y0.90.9a a代入代入得得1010 x x40400.90.9a a144144a a，x x10.810.8a a，答：第三块牧场可供答：第三块牧场可供3636头牛吃头牛吃1818个星期个星期1040144,1090189,xyaxya10.8,0.9,xaya2424 1824(10.818 0.9)36.1818xyaaaa29 教你一招教你一招 解三元一次方程组的消元技巧：解三元一次方程组的消元技巧：(1)(1)先消去某个方程缺少的未知数；先消去某个方程缺少的未知数；(2)(2)先消去系数最简单的未知数；先消去系数最简单的未知数；(3)(3)先消去系数成整倍数关系的未知数先消去系数成整倍数关系的未知数另外，在另外，在“消元消元”的过程中必须保证每个方程至的过程中必须保证每个方程至少用一次少用一次30