一元二次方程根的分布课件.pptx

1、思考：可否用二次函数的相关知识来理解或解决一元可否用二次函数的相关知识来理解或解决一元二次方程相关问题？二次方程相关问题？可以。如用二次函数的图像与可以。如用二次函数的图像与x轴交点的位置来轴交点的位置来判断实根的位置。判断实根的位置。一元二次方程的实根存在时，有两等根、正根、一元二次方程的实根存在时，有两等根、正根、负根、一正一负根等情况，其中有何规律？负根、一正一负根等情况，其中有何规律？这就是一元二次方程实根的分布问题，即是本这就是一元二次方程实根的分布问题，即是本节课研究的内容。节课研究的内容。一元二次方程一元二次方程 在某个区间在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为上有实根，求

2、其中字母系数的问题称为实根分布问题实根分布问题。20(0)axbxca实根分布问题一般考虑四个方面，即实根分布问题一般考虑四个方面，即：（1）开口方向）开口方向（2）判别式）判别式（3）对称轴）对称轴（4）端点值）端点值 的符号。的符号。24bac 2bxa()f mx在某个范围内的实根分布在某个范围内的实根分布问题、关于问题、关于x的一元二次方程的一元二次方程x2（m3)xm=0有两个正根，求有两个正根，求m的范围。的范围。2121 2340300(m)mxxmxxm 01mm你首先想到了什么方法？你首先想到了什么方法？韦达定理韦达定理你还有其他思路吗？你还有其他思路吗？能从二次函数入手思考

3、该问题吗？能从二次函数入手思考该问题吗？解：设方程的两实根分别为解：设方程的两实根分别为x1、x2，则，则解：设f(x)x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴的轴的交点在交点在x轴的正半轴，由图像知只需满足以下条件：轴的正半轴，由图像知只需满足以下条件：2(3-m)-4m0b3-m-=02a20=m0f()问题、关于问题、关于x的一元二次方程的一元二次方程x2(m3)xm=0有两个正根，求有两个正根，求m的范围。的范围。m|0m1xy比较两种思路，作出评价：比较两种思路，作出评价：2121 2340300(m)mxxmxxm 2(3-m)-4m0b3-m-=02a20=m0f()

4、法一：韦达定理法法一：韦达定理法法二：二次函数法法二：二次函数法1、形式不同，本质一样；、形式不同，本质一样；2、在本问题中韦达定理法更简洁。、在本问题中韦达定理法更简洁。以本问题的条件，你还能提出其他问题吗？以本问题的条件，你还能提出其他问题吗？问题问题：关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2(m3)xm=0有两个有两个正根正根，求，求m的范围。的范围。问题是数学的心脏，问题是数学的心脏，是我们思维的起点。是我们思维的起点。（1）两正实根）两正实根(已解决已解决)（2）两负实根；）两负实根；（3）两实根均小于）两实根均小于1；（4）两实根均大于）两实根均大于0.5；（5）两实根均在）两实

5、根均在(0,2)；（6）一正一负两实根；）一正一负两实根；（7）两实根中，一根大于）两实根中，一根大于1，一根小于，一根小于1；（8）两实根中有且只有一根在）两实根中有且只有一根在(0,2)；（9）两实根中，一根在）两实根中，一根在(2,0)，一根在，一根在(1,3)；（10）两实根中，一根在）两实根中，一根在(2,0)，一根在，一根在(0,4)；（11）一个根小于）一个根小于2，一个根大于，一个根大于4。方程满足下列条件方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范围。的范围。其他问题：其他问题：特点特点：(1)-(5)都是两根在同一区间内；都是两根在同一区间内；(6)-(11)都

6、是两根在不同的区间内。都是两根在不同的区间内。现在的问题变成了现在的问题变成了“如何解决这两类问题？如何解决这两类问题？”分成两组研究分成两组研究:第一组第一组：(1)-(5)第二组：第二组：(6)-(11)这么多问题如何在最短时间内解决？这么多问题如何在最短时间内解决？问题：方程满足下列条件问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范围。的范围。（2）有两个负根）有两个负根9mm解法一：设方程的两实根分别为解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则，则2121 2340300(m)mxxmxxm （2）有两个负根）有两个负根问题：方程满足下列条件问题：方程满足下列条件x2+

7、（m-3)x+m=0，求，求m的范围。的范围。解法二：设f(x)x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴轴的交点在的交点在x轴的负半轴，由图像知只需满足以下条件：轴的负半轴，由图像知只需满足以下条件：2(3-m)-4m0b3-m-=0f()9mm y x （3）两个根都小于两个根都小于1022)1(123204)3(2mfmabmm9mm问题：方程满足下列条件问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范围。的范围。解解：设设f(x)x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴的交轴的交点在点在x轴上轴上1的左边，由图像知只需满足以下条件：的左边，由图像知只

8、需满足以下条件：yx1 （4）两个根都大于两个根都大于0.5234030 522650 504(m)mbm.amf(.)516mm问题：方程满足下列条件问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范围。的范围。解解：设设f(x)x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴的交轴的交点在点在x轴上轴上0.5的右边，由图像知只需满足以下条件：的右边，由图像知只需满足以下条件：0.5x y O （5）两个根都在（两个根都在（0 ,2）内）内2340322002320(m)mm 0f()mf()m 12m m3问题：方程满足下列条件问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=

9、0，求，求m的范围。的范围。解解：设设f(x)x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴的交轴的交点在点在0与与2的之间，由图像知只需满足以下条件：的之间，由图像知只需满足以下条件：yx2O根据研究，请解决以下问题：根据研究，请解决以下问题：1、当一元二次方程、当一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根分布的根分布在同一个区间内时，限定时要考虑哪些方面？在同一个区间内时，限定时要考虑哪些方面？开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值 小小 结结两个根都小于两个根都小于k两个根都大于两个根都大于kyxk0)(20kfkab0)(20kfkab

10、kxy一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）根的分布根的分布两个根都在（两个根都在（k.k)内内210)(0)(202121kfkfkabkyxkk12O问题：方程满足下列条件问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范围。的范围。（6）一个正根，一个负根一个正根，一个负根0m m 解法一：设方程的两实根分别为解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则，则21 23400(m)mxxm解法二：设解法二：设f(x)x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴轴的交点分别在的交点分别在x轴的正、负半轴，由图像知只需满足：轴的正、负半轴，由图像知只需满足：0=

11、m0f()0m m xy问题：方程满足下列条件问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范围。的范围。（6）一个正根，一个负根一个正根，一个负根（7）一个根大于一个根大于1，一个根小于，一个根小于11mmf(1)=2m-2 0 问题：方程满足下列条件问题：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范围。的范围。解解：设设f(x)x2(m3)xm，要使二次函数与，要使二次函数与x轴的交轴的交点在点在x轴上轴上1的两边，由图像知只需满足以下条件：的两边，由图像知只需满足以下条件：1 x y （8）两个根有且仅有一个在（两个根有且仅有一个在（0,2）内）内f(0)f(2

12、)=m(3m-2)0）根的分布根的分布小 结两个根有且仅有两个根有且仅有一个在（一个在（k.k)内内12x1(k1,k2)x2(p1,p2)f(k)f(k)0特别的：要验证特殊情况1212120000f(k)f(k)f(p)f(p)k1k2p1p2xyyxkk12O一个根小于一个根小于k，一个，一个根大于根大于kkxyf(k)0,所以2(1)401(2)0022(2)0mmff 或331,22mm 或,1m 22例4：若二次函数f(x)=4x-2(p-2)x-2p-p+1在区间-1,1内至少存在一点C(c,0),使f(c)0,则实数的取值范围为_11(1)023(1)03ppfpfp 正难则反：或3或p32或p2332，52例：设不等式2x-1m(x-1)对满足 m2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围。2解：原不等式为（x-1)m-(2x-1)0时,a的范围是_21aa 或23.1220 xxaxa当时，不等式恒成立，则a的范围_4,3a