91-常微分方程的基本概念92-可分离变量的微分方程9汇总课件.ppt
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1、9.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念9.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程9.3 一阶微分方程与可降阶一阶微分方程与可降阶 的高阶微分方程的高阶微分方程9.4 二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程9.5 常微分方程的应用举例常微分方程的应用举例第第9章章 常微分方程常微分方程结束前页前页结束结束后页后页 含有未知函数的导数(或微分)的方程称为含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。微分方程。定义一定义一9.1 9.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程偏微分方程:未知函数是多元函
2、数的微分方程偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程 导数的阶数叫做该微分方程的阶导数的阶数叫做该微分方程的阶定义二定义二 在微分方程中,所出现的未知函数的最高阶在微分方程中,所出现的未知函数的最高阶一阶微分方程的一般形式是一阶微分方程的一般形式是 二阶微分方程的一般形式是二阶微分方程的一般形式是 0),(yyxF0),(yyyxF前页前页结束结束后页后页是是二二阶阶微微分分方方程程 d dd dd dd dxbxxyaxy 22注:在微分方程中,未知函数及自变注:在微分方程中,未知函数及自变 量可以不出现量可以不出现是是一一阶阶微微分分方方程程 d dd dbxayxy 22例:例:前页前页
3、结束结束后页后页定义定义3 3 能使微分方程成为恒等式的函数能使微分方程成为恒等式的函数)(xy 叫做微分方程的解叫做微分方程的解其图形是一条平面曲线,称之为微分方程的其图形是一条平面曲线,称之为微分方程的积分曲线积分曲线例如,例如,xey2 是方程是方程的一个解的一个解02 yy我们在学习不定积分时就已经知道,一个导数的原我们在学习不定积分时就已经知道,一个导数的原函数有无穷多个,因此一个微分方程也有无穷多个函数有无穷多个,因此一个微分方程也有无穷多个解解前页前页结束结束后页后页2yy 等于该点的纵坐标的平方,求此曲线方程等于该点的纵坐标的平方,求此曲线方程例例1 1 已知直角坐标系中的一条
4、曲线通过点已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)(1,2),),(yxp且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点处的切线斜率处的切线斜率解解 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为y=y(x),根据导数的几何意义及本题给出的条件,得根据导数的几何意义及本题给出的条件,得 2yxy d dd d 即即Cyx 1 积分得积分得 又由于已知曲线过点又由于已知曲线过点(1,2)(1,2),代入上式,得,代入上式,得23 C故所求曲线的方程为故所求曲线的方程为yx123 前页前页结束结束后页后页此解为该方程的通解(或一般解)此解为该方程的通解(或一般解)定义定义4 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程
5、若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同,且任意常数之间不能合并,则称的阶数相同,且任意常数之间不能合并,则称(,)yy x C一阶微分方程的通解是一阶微分方程的通解是二阶微分方程的通解是二阶微分方程的通解是12(,)yy x C C n阶微分方程的通解中,必须含有阶微分方程的通解中,必须含有n个任意常数个任意常数其通解的图形是平面上的一族曲线,称为积分其通解的图形是平面上的一族曲线,称为积分曲线族曲线族 前页前页结束结束后页后页定义定义5 如果指定通解中的任意常数为某一固定常数,如果指定通解中的任意常数为某一固定常数,那么所得到的解叫做微分方程的特解那么所得到的解叫做微分方程的特解
6、xCey2如方程如方程20yy的通解是的通解是 而而xey2 就是一个特解,这里就是一个特解,这里1 C在具体问题中常数在具体问题中常数C的值总是根据的值总是根据“预先给定的预先给定的条件条件”而确定的而确定的如例如例1中的曲线通过点(中的曲线通过点(1,2),),这个这个“预先给定的条件预先给定的条件”叫初始条件叫初始条件称为初始条件当通解中的各任意常数都取称为初始条件当通解中的各任意常数都取定义定义6 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般用来确定通解中的任意常数的附加条件一般得特定值时所得到的解,称为方程的特解得特定值时所得到的解,称为方程的特解前页前页结束结束后页后页通常情况下,通常情
7、况下,00)(yxy 即即二阶微分方程的初始条件是二阶微分方程的初始条件是00yyxx 及及00 x xyy 即即00()y xy与与00()yxy一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题,一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题,求解其初值问题就是求方程的特解求解其初值问题就是求方程的特解00yyxx 一阶微分方程的初始条件是一阶微分方程的初始条件是前页前页结束结束后页后页xxeey 是不是方程是不是方程 例例2 2 验证函数验证函数.02的解的解 yyy解解 求求 xxeey 的导数,得的导数,得 ,xxeey xxeey yyy 及及、将将代入原方程的左边,有代入原方程的左边
8、,有022 xxxxxxeeeeee即函数即函数 xxeey 不满足原方程,不满足原方程,所以该函数不是所给二阶微分方程的解所以该函数不是所给二阶微分方程的解前页前页结束结束后页后页3Cxy 03 yxy31)1(y解解 由由 3Cxy 得得.32Cxy 代入原方程的左边代入原方程的左边yy 和和将将03323 CxxCx3Cxy 满足原方程满足原方程又因为该函数含有一个任意常数,又因为该函数含有一个任意常数,3Cxy 是一阶微分方程是一阶微分方程 03 yxy的通解的通解 并求满足初始条件并求满足初始条件 为为任意常数)任意常数),例例3 验证验证 是不是方程是不是方程 的通解(的通解(C的
9、特解的特解将初始条件将初始条件 31)1(y代入通解,得代入通解,得 31 C故所求特解为故所求特解为 331xy 前页前页结束结束后页后页9.2 9.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形如形如 f(x)dx+g(y)dy=0 (9.2.1)定义:定义:的一阶微分方程叫做的一阶微分方程叫做变量已分离的微分方程。变量已分离的微分方程。如果微分方程如果微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)=0 (9.2.2)中左端的函数中左端的函数M(x,y)、N(x,y)都可以分解为两个因子的积,都可以分解为两个因子的积,并且这两个因子中一个只含有变量并且这两个因子中一个只含有变量x,另一个只含有变
10、量另一个只含有变量y,即上述方程可以表为即上述方程可以表为)()(12xNyM0)()()()(2121 yyNxNxyMxMd dd d去除这个方程的两边,上式就可化为去除这个方程的两边,上式就可化为 以以前页前页结束结束后页后页1212()()dd0()()M xN yxyN xM y(9.2.3)将(将(9.2.3)式两边积分后,)式两边积分后,1212()()dd()()M xN yxyCN xM y(C为任意常数)为任意常数)可验证,此结果即用隐式给出的方程(可验证,此结果即用隐式给出的方程(9.2.3)的通解)的通解 个原函数,而把积分所带来的任意常数明确地写上。个原函数,而把积分
11、所带来的任意常数明确地写上。约定约定:在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一前页前页结束结束后页后页的通解的通解 d dd d01122 xxyy 2211xxyyd dd d例例1 求微分方程求微分方程 解解 移项、积分移项、积分 arcsinarctanyxC得得例例2 求方程求方程 21)cos(sinyxxy的通解的通解解解 分离变量,得分离变量,得 xxxyyd dd d)cos(sin12 两边积分,得通解两边积分,得通解 Cxxy)sin(cosarcsin前页前页结束结束后页后页xxxyyyd dd d2211 10 xy 例例
12、3 求微分方程求微分方程 满足初始条件满足初始条件 的特解的特解 解解 此为可分离变量的微分方程此为可分离变量的微分方程分离变量后得分离变量后得 yxyxxy)1()1(22 d dd d两端积分,得两端积分,得 Cxyln)1ln()1ln(22即即)1(122xCy故所求特解为故所求特解为 1222 xy2 C由初始条件由初始条件,10 xy得得前页前页结束结束后页后页例例4 求微分方程求微分方程 22()dd0 xyxxyy的通解的通解解解 整理得整理得 ddyxyxyx这不是可分离变量的方程,若令这不是可分离变量的方程,若令 xyu 即即 y=ux则有则有 xuuy代入方程得代入方程得
13、 uuxuu1(1)为可分离变量的微分方程为可分离变量的微分方程 d1duxxu即即(1)前页前页结束结束后页后页1ddu uxxCxuln22 22222xyueeCx 例例4所给出的方程是一种特殊类型的方程,所给出的方程是一种特殊类型的方程,其一般形式为其一般形式为()yyfx 这类方程称作齐次微分方程,这类方程可采用变换这类方程称作齐次微分方程,这类方程可采用变换xyu,将其转化为可分离变量方程,将其转化为可分离变量方程 将将(1)变形为变形为得得从而从而前页前页结束结束后页后页9.3 9.3 一阶微分方程与可降一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程阶的高阶微分方程9.3.1 一阶线性微分方
14、程一阶线性微分方程特征特征 都都是是一一次次的的和和yy)i i的的函函数数仅仅是是、xqp)i ii i0)(yxpy如果如果q(x)=0,则则(9.3.1)变为变为(9.3.2)称为一阶线性齐次方程称为一阶线性齐次方程 的微分方程,称为一阶线性微分方程的微分方程,称为一阶线性微分方程(9.3.1)定义定义 形如形如)()(xqyxpy 前页前页结束结束后页后页时时,而而0)(xq(9.3.1)式称为一阶线性非齐次方程)式称为一阶线性非齐次方程 下面介绍利用参数变易法求方程(下面介绍利用参数变易法求方程(9.3.1)的通解)的通解的通解的通解首先求方程(首先求方程(9.3.1)所对应的齐次线
15、性方程()所对应的齐次线性方程(9.3.2)(9.3.2)是变量可分离的方程,容易求得它的通解)是变量可分离的方程,容易求得它的通解d()dyp xxy 1ln()dlnyp xxC dxxpeCy)(1即即 前页前页结束结束后页后页()d1()p xxyC x e,令令)(11xCC 于是于是()d()d11d()d()()ddp xxp xxC xyep x C x exx()d1d()()dp xxC xeq xx()d1()()dp xxC xq x exC()d()d()d111d()()()()()()p xxp xxp xxC xep x C x ep x C x eq xdx把
16、它们代入方程(把它们代入方程(9.3.1),得),得故(故(9.3.1)式的通解为)式的通解为()d()d()dp xxp xxyeq x exC(9.3.3)前页前页结束结束后页后页一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:(i)求对应于(求对应于(9.3.1)的齐次方程()的齐次方程(9.3.2)的通解)的通解()d1p xxyC e (ii)令令()d1()p xxyC x e,并求出,并求出 y 代入代入(i),解出,解出(iii)将将(ii)中的中的 yy 及及()d1()()p xxC xq x edxC)(1xC(iv)将将(iii)中求出的中求
17、出的 代入代入(ii)中中y的表达式,得到的表达式,得到()d()d()dp xxp xxyeq x exC即为所求(即为所求(9.3.1)的通解)的通解前页前页结束结束后页后页 222xxexyxy d dd d例例1 求微分方程求微分方程 的通解的通解 2()2,()2xp xx q xxe解解 代入公式代入公式22 d2 d2dx xx xxyexeexC2(2 d)xexxC22()xexC则所求的通解为则所求的通解为22()xyxC e前页前页结束结束后页后页例例2 求解微分方程求解微分方程 22d(1)(1)dyxxyxxx解解 方程可变形为方程可变形为 2dd1yxyxxx这里这
18、里 2()1xp xx()q xx所以所以 22dd11dxxxxxxyexex C221d1xxxCx221(1)xxC2211xCx前页前页结束结束后页后页例例3 求微分方程求微分方程 22d(2)d0yxxxyyy的通解的通解 解解 把把x看作是看作是y的函数的函数 将原方程改写为:将原方程改写为:2d1 21dxyxyy此为关于未知函数此为关于未知函数)(yxx 的一阶线性非齐次方程,的一阶线性非齐次方程,其中其中 221)(yyyp,它们的自由项,它们的自由项 1)(yq代入一阶线性非齐次方程的通解公式,有代入一阶线性非齐次方程的通解公式,有221 21 2dddyyyyyyxeey
19、CyyeyCey12121 yCeyy1221yeCy121 即所求通解为即所求通解为 yeCyx121 前页前页结束结束后页后页9.3.2 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程高阶方程:二阶或二阶以上的微分方程高阶方程:二阶或二阶以上的微分方程 下面介绍简单的、经过适当变换可降为一阶的微分方程下面介绍简单的、经过适当变换可降为一阶的微分方程型的微分方程型的微分方程()yfx1 此微分方程右端仅含自变量此微分方程右端仅含自变量x,通过两次积分可得通解通过两次积分可得通解 例例4 解微分方程解微分方程 xxey 解解 积分一次得积分一次得 1dxyxexC 1)1(Cexx 再积分一次得再积
20、分一次得 21)2(CxCexyx 前页前页结束结束后页后页2.型的微分方程型的微分方程(,)yf x y这个方程的特点是右端不显含未知函数这个方程的特点是右端不显含未知函数y,可令,可令()yp x,则,则()yp x.原方程化为原方程化为),(pxfp 的一阶方程的一阶方程如果能求出上述方程的通解如果能求出上述方程的通解 1(,)px C再由方程再由方程 1(,)yx C 则求得原方程的通解则求得原方程的通解12(,)dyx CxC前页前页结束结束后页后页例例5 求微分方程求微分方程 yyx的通解。的通解。解解 这是不显含这是不显含 y 的方程,令的方程,令 yp yp则则 于是原方程为于
21、是原方程为 ppx ppx即即 dd1dxxpexexC1(1)xxeexCxeCx1)1(1(1)xyxC e 因为因为2122CeCxxyx 所以所以前页前页结束结束后页后页3.(,)型型的的微微分分方方程程yf y y此类方程的特点是不显含此类方程的特点是不显含 x,令,令()yp y,这里的,这里的 p是是y 的函数,是的函数,是x 的复合函数。的复合函数。d()dddddddp ypypypxyxy则则 于是原方程化为型如于是原方程化为型如 d(,)dppf y py的一阶方程的一阶方程这是以这是以y为自变量为自变量,p为未知函数的一阶方程为未知函数的一阶方程如果能求出通解如果能求出
22、通解 1(,)pp y C,即,即 1d(,)dyp y Cx利用分离变量法可进一步求得原方程的通解为利用分离变量法可进一步求得原方程的通解为 211d(,)yxCp y C前页前页结束结束后页后页例例6 求微分方程求微分方程 232yy 满足初始条件满足初始条件,13 xy31xy的特解的特解 解解 令令()yp y ddpypy 代入原方程得代入原方程得22 d3dppyy2d3d2ppyy或或 两边积分得两边积分得 132Cyp 由初始条件由初始条件,13 xy31xy01 C 得得(2332 ypyp 或或310 xy,所以取正号,所以取正号)前页前页结束结束后页后页即为满足所给方程及
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