人教版九年级数学上册-一元二次方程的根与系数的关系课件.pptx

1、21.2 解一元二次方程第二十一章 一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、学习目标知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系二、学习重点1、知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系2、理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程1、完成书本P30的问题3的表格，并回答下面问题：（1）表格中方程的两个根相加后的和与原方程的的系数有什么关系？_（2）表格中方程的两个根相乘后的积与原方程的的系数有什么关系？_导入新课导入新课 韦达,1540年出生于法国的波亚图,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用,人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.

2、历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达,韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的22个正数解(他舍弃了另外的22个负数解).消息传开,数学界为之震惊.同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来.韦达研究了方程根与系数的关系,在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理.情景引入复习引入 算一算 解下列方程并完成填空：(1)x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两 根关 系x1x2

3、x2+3x-4=0 x2-5x+6=02x2+3x+1=0-412312-1x1+x2=-3 x1 x2=-4x1+x2=5x1 x2=6231022xx+=1232xx+=-1212x x=想一想 方程的两根x1和x2与系数a,b,c有什么关系？讲授新课讲授新课探索一元二次方程的根与系数的关系一猜一猜猜一猜（1）若一元二次方程的两根为x1，x2，则有x-x1=0，且x-x2=0，那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？u重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x

4、2=-p，x1 x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1 x2=q.猜一猜猜一猜（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？12bxxa+=-12cx xa=你能证明这个猜测吗？22124422bbacbbacxxaa-+-+=+22442bbacbbaca-+-=22ba-=.ba-=证一证：22124422bbacbbacxxaa-+-=()22244bbaca-=244aca=.ca=一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果 ax2

5、+bx+c=0(a0)的两个根为x1、x2，那么12bx+x=a-12cxxa=注意满足上述关系的前提条件b2-4ac0.归纳总结一元二次方程的根与系数的关系的应用二例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2 6x 15=0；解：这里 a=1,b=6,c=15.=b2 -4ac=(6)2 4 1(15)=96 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1+x2=(6)=6，x1 x2=15.（2）3x2+7x-9=0；x1+x2=-，x1 x2=7393.3-=-解：这里 a=3,b=7,c=-9.=b2 -4ac=72 4 3 (-9)=157

6、 0，方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1，x2，那么（3）5x 1=4x2.解：方程可化为 4x2 5x+1=0，这里 a=4，b=5，c=1.=b2 -4ac=(5)2 4 4 1=9 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1+x2=，x1 x2=.5544-=14 在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入a、b、c的值即可.归纳例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以 x1 x2=2x2=即 x2=由于x1+x2=2+=得 k=7.答：方程

7、的另一个根是 ，k=7.5k-，3.5-3()5-35-65-，变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以 x1+x2=1+x2=6，即 x2=5.由于x1x2=15=得 m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.3m，例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.121231.22xxxx+=-=-，解：根据根与系数的关系可知：()()22212112212,xxxx xx+=+()2221212122xxxxx x+=+-231132;224骣骣琪琪=-=琪琪桫桫()12121211

8、3123.22xxxxx x骣骣+琪琪+=-=琪琪桫桫 设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则：(1)x1+x2=，(2)x1x2=，(3)，(4).411412221)(xx2212xx+=练一练 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.归纳u 总结常见的求值:12111.xx+=1212;xxx x+124.(1)(1)xx+=1212()1;x xxx+12213.xxxx+221212xxx x+=2121212()2;xxx xx x+-=125.xx-=212()xx-21212()4.xxx x=+-2221212

9、122.()2;xxxxx x+=+-例4 设x1，x2是方程 x2-2(k-1)x+k2=0 的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得=4（k-1）2-4k2 0 即-8k+4 0.由根与系数的关系得 x1+x2=2(k-1),x1 x2=k 2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由 x12+x22=4，得 2k2-8k+4=4，解得 k1=0，k2=4.经检验，k2=4 不合题意，舍去.所以k=0.1.2k 根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字

10、母应该满足0.归纳当堂练习当堂练习1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1，则p=，q=.1-22.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_.32-33.已知方程 3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一 个根及m的值.解：将x=1代入方程中 3-19+m=0.解得 m=16，设另一个根为x1，则：1 x1=x1=16.3ca=16.34.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4；(1)求k的值；(2)求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系得 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(

11、x1+x2)+1=解得 k=-7.12xxk+=-，1 21.2kx x-=1()1 42kk-+-+=，(2)因为k=-7,所以 则：124.x x=-127xx+=，22212121 2()()474(4)65.xxxxx x-=+-=-=5.设x1，x2是方程3x2+4x 3=0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1)；(2).2112xxxx解：根据根与系数的关系得：(1)(x1+1)(x2+1)=x1 x2+x1+x2+1=(2)121241.3bcxxxxaa+=-=-=-，44(-1)1.33-+=-22221121212121212()23

12、4.9xxxxxxx xxxx xx x+-+=-6.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1，x2(x1x2)，则x1-x2=1(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1拓展提升由根与系数的关系，得12121,22kxxx x+=2141,22k骣-=琪琪桫23,2k骣=琪琪桫2 3.k=7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.(2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|=1，求m的值.解：(1)方程有实数根m0，m的取值范围为m0.(2)方程有实数根x1，x2，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，解得m=8.经检验m=8是方程的解()()2222424244880bacmmmmmmmD=-=-鬃-=-+=121222,.mxxxxm-+=22241.mm-=课堂小结课堂小结根与系数的关系（韦达定理）内容如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么应用222121212()2xxxxx x+=+-22121212()()4xxxxx x-=+-12121211xxxxxx+=12bxxa+=-12cx xa=