偏微分方程的建立课件.ppt

1、Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的建立n运输方程的建立n弦振动方程的建立n热传导方程的建立n泊松方程的建立Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-运输方程1.运输方程（石油管道运输、南水北调）Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-运输方程Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-运输方程运输方程 ut+cux=0水平管道内有一种流体（比如，水）以恒定速度c流动水中含有某物质（如，污染物），以u（x,t）记其含量方程意义：污染物含量的变化率ut正比于其梯度uxDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-运输方程

2、 0 b u(x,t)c ch b+ch污染物在t时刻、区间0,b内的总量 M=0bu(x,t)dx=chb+chu(x,t)dx对b求导可得 u(b,t)=u(b+ch,t+h)对h求导，并令h=0,可得 0=cux+utDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-运输方程高维运输方程0ubutDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-振动方程2.弦振动方程（小提琴、吉他、二胡）Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-振动方程 u(x,t)0 l T(x1,t)ux 1 T(x0,t)x0 x1 Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方

3、程的导出-振动方程物理假设：柔软、均匀、细小弹性弦作微小横振动柔软 张力方向指向弦的切线方向均匀 弦的线密度为常数 细小 重力忽略不计微小横振动 u,ux很小Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-振动方程物理定律：牛顿第二定律 F=ma纵向 横向 dxuxxttxxx10102xu1Tu0u1T102xxxDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-振动方程数学简化 泰勒展开式微分可得2x2u211u1xdxuxxttxxx10102xu1TuttxxuTu）（Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-振动方程张力T大小为常数ttxxuTu）（

4、Tcucxxtt,u2Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-振动方程弦振动方程的变种空气阻力 正比于 速度横向弹性力 正比于 位移系统受外力0,0u2rruuctxxtt0k,0u2txxttkuuc),(fu2txucxxttDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-振动方程弦振动方程的其他来源CRL电路 R C L物理量：电流u(x,t),电容 C，电阻 R，电感 L，电漏 G物理定律：Kirchhoff定律Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-振动方程CRL电路的方程理想传输线：R=G=0 GRuuGLCRCLutttxx)(utt

5、xxCLuuDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-振动方程高维振动方程-鼓面（薄膜）的振动Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-振动方程物理假设 水平方向没有运动，Du(x,y,z,t)为竖直方向位移平面区域 D，边界 物理定律牛顿第二定律DttmadxdyudSnuTFDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-振动方程数学化简Green公式弹性张力大小为常数dxdydSnuTD）（uTTcuucucyyxxtt),()(u22Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-扩散方程扩散方程油滴、墨渍等在水中扩散 x0 x1管内

6、从x0到x1扩散物质总质量及其变化率10 x),(M(t)xdxtxudxtxudtxxt10),(dMDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-扩散方程物理定律Fick扩散定律 扩散物从浓度高的区域向浓度低的区域扩散，扩散速度正比于浓度的梯度 流入量-流出量dtdM),(),(dM01txkutxkudtxxDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-扩散方程数学简化对x1求导，得到扩散方程),(),(),(01x10txkutxkudxtxuxxxxxtkuu Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-扩散方程高维扩散方程对任意区域D，有等式由

7、区域的任意性，可得dSunkdxdydzut)(D)(zzyyxxtuuukukuDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-热传导方程热传导方程 u(x,y,z,t)表示温度，H(t)表示区域D内的总热量，c为比热，为密度热量的变化率 DudxdydzcH(t)DtdxdydzucdtdHDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-热传导方程物理定律-傅里叶热传导定律 热量总是从温度高的区域流向温度低的区域，流速正比于温度的梯度，因此，沿区域D的边界热量流出流入量为能量守恒定律dSunk)(Dtdxdydzuc)(dSunkDepart.Math.,USTC宣本金

8、偏微分方程的导出-热传导方程数学化简散度定理由区域的任意性，可得微分方程Ddxdydzuk)(）（dSunk)()(u22zzyyxxtuuucucDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-泊松方程波动或扩散的稳态方程 u(x,y,z,t)不依赖于t，则ut=0 u=0静电场 qDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-薛定谔方程n氢原子的薛定谔波函数方程 m电子质量，e电子电量，普朗克常数除以2，坐标原点为质子位置，波函数u（x,y,z,t）满足薛定谔方程ureumuit22221222)(zyxrDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-薛定

9、谔方程物理意义：在量子力学中，物理量不能够精确测定，只能以概率形式测定，积分 表示电子出现在区域D内的概率，dxdydzu2D|1|2R3dxdydzuDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-薛定谔方程n薛定谔波函数方程 被认为是公理，而不是由其他更为简单定律的推论；它解释了为什么原子结构是稳定的，不会塌陷；波尔观察到的氢原子中电子的能级；理论上，它可以解释原子和分子的结构以及其化学性质。（多粒子薛定谔方程变量太多，而不好解。）Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组n麦克斯韦方程组电磁学的基石 电磁学表述了带电粒子之间的相互作用：带电粒子产生电场E，运动的带电粒子产生磁场B。n真空中的麦克斯韦方程组（齐次）BctE0 EEctB0 BDepart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组n数学化简真空中的电场E和磁场B满足波动方程EctE222BctB222Depart.Math.,USTC宣本金偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组n非真空中的麦克斯韦方程组（非齐次）J4BctE4 EEctB0 B