《等式与方程》课件.ppt

1、等式与方程课件教学目标教学目标 1 1、说出等式的意义，并能举出例子，、说出等式的意义，并能举出例子，会区别等式与代数式；能说出等式的会区别等式与代数式；能说出等式的两条性质，会利用它们将简单的等式两条性质，会利用它们将简单的等式变形；变形；2 2、弄懂方程、方程的解、解方程的含义，、弄懂方程、方程的解、解方程的含义，并会检验一个数是否是某个一元方程并会检验一个数是否是某个一元方程的解；的解；3 3、培养观察、分析、概括的能力；、培养观察、分析、概括的能力；4 4、初步渗透特殊、初步渗透特殊一般一般特殊的辩证唯特殊的辩证唯物主义思想物主义思想一、提出问题：一、提出问题：指出下列式子中哪些是等式

2、？哪些是代指出下列式子中哪些是等式？哪些是代数式？数式？a-b+ca-b+ca-(b-c)a-(b-c)a-b+c a-b+c 3-5=-2 3-5=-2 2x-x-l 2x-x-l 2x-x-1=0 2x-x-1=0 -2(x-1)=-2x+2-2(x-1)=-2x+2解：、是等式，解：、是等式，、是代数式、是代数式说明：等式和代数式既有区别，又有说明：等式和代数式既有区别，又有联系首先等号是关系符号，而代联系首先等号是关系符号，而代数式中只有运算符号，所以代数式数式中只有运算符号，所以代数式不是等式，但等式的左边和右边都不是等式，但等式的左边和右边都是代数式是代数式注意：注意：等式与代数式

3、不能混同代数式不含等式与代数式不能混同代数式不含有等号，等式的左右两边才是代数式有等号，等式的左右两边才是代数式(或其它式子或其它式子)代数式没有等号，所以公式和等式都代数式没有等号，所以公式和等式都不是代数式；公式和等式有等号，它不是代数式；公式和等式有等号，它们的两边是两个代数式；公式是等式，们的两边是两个代数式；公式是等式，但等式不一定是公式，如但等式不一定是公式，如3-5=-23-5=-2就是就是等式，而非公式等式，而非公式二、知识梳理：二、知识梳理：1 1、什么叫等式？等式有多少种类型？、什么叫等式？等式有多少种类型？课本通过我们熟悉的式子：课本通过我们熟悉的式子：1+2=31+2=

4、3 a+b=b+aa+b=b+a，S=a+bS=a+b 4+x=7 4+x=7 告诉我们：像这种用等号告诉我们：像这种用等号“=”来来表示相等关系的式子，叫做等式表示相等关系的式子，叫做等式 等式又可以分为以下三种类型：等式又可以分为以下三种类型：(1)(1)恒等式：如恒等式：如1+2=31+2=3，a+b=b+aa+b=b+a，在字母，在字母允许的取值范围内，不论等式中的字允许的取值范围内，不论等式中的字母取任何数值，等式两边的值都相同母取任何数值，等式两边的值都相同的等式我们把它叫做恒等式的等式我们把它叫做恒等式 一般的用字母表示的运算法则，公一般的用字母表示的运算法则，公式 均 属 于

5、这 一 类，如 乘 法 分 配 律式 均 属 于 这 一 类，如 乘 法 分 配 律m(a+b)=m a+m bm(a+b)=m a+m b，去 括 号 法 则，去 括 号 法 则 a-a-(b+c)=a-b-c(b+c)=a-b-c等等等等(2)(2)条件等式它只是在等式中的字母取条件等式它只是在等式中的字母取某些数值时才成立的等式如某些数值时才成立的等式如4+x=74+x=7，只有当只有当x=3x=3时，等式左、右两边的值才时，等式左、右两边的值才相等这种等式我们把它叫做条件等相等这种等式我们把它叫做条件等式式(3)(3)矛盾等式它是指无论等式中的字母矛盾等式它是指无论等式中的字母取任何数

6、值，等式的左、右两边的值都取任何数值，等式的左、右两边的值都不相等不相等 如如a a2 2+4=1+4=1，我们把它叫做矛盾等式，我们把它叫做矛盾等式等式所表示的不同意义牵涉到以下问题：等式所表示的不同意义牵涉到以下问题：（1 1）为什么不定义）为什么不定义“用符号连结两个代数式所得用符号连结两个代数式所得到的式子叫做等式到的式子叫做等式”呢？呢？因为这是一个形式定义，它没有反映出等式因为这是一个形式定义，它没有反映出等式的实质。例如，的实质。例如，x+1x+1是是“绝对大于绝对大于”x x的，但如的，但如果承认果承认“x+1=xx+1=x”是等式或是等式或“矛盾等式矛盾等式”，逻辑，逻辑上是

7、不合理的。再说，等式上是不合理的。再说，等式A=BA=B的两边可以不是的两边可以不是代数式，比方可以是超越式、矩阵、命题等。代数式，比方可以是超越式、矩阵、命题等。另外，另外，“两个代数式两个代数式”中的中的“两个两个”也不妥，也不妥，这样就会排除像这样就会排除像“a=b=ca=b=c”这样的连等式。而事这样的连等式。而事实上，所谓等式的实上，所谓等式的“左端左端”“”“右端右端”，正是在，正是在连等式中才有意义，例如上面连等式中，左端连等式中才有意义，例如上面连等式中，左端为为a a，右端为，右端为c c。（2 2）为什么不把恒等式与等式分开定义呢？）为什么不把恒等式与等式分开定义呢？这是因

8、为恒等式不一定与字母有关。这是因为恒等式不一定与字母有关。例如例如 ，实际是一个恒等式，我们也，实际是一个恒等式，我们也 不要求同学弄清这里该用不要求同学弄清这里该用“=”号还是号还是“”号。其次，如果一个恒等式中含有字母，号。其次，如果一个恒等式中含有字母，那么恒等概念依靠的是函数概念，显然，那么恒等概念依靠的是函数概念，显然，对初一学生先讲函数是不合理的。所以，对初一学生先讲函数是不合理的。所以，在不少场合下，把在不少场合下，把“=”与与“”两种符号两种符号合并为合并为“=”号，有一定的好处。号，有一定的好处。215.0 例例1 1、某数的、某数的 比该数的比该数的 大大7 7，列出，列出

9、 等式等式.21312 2、等式的性质、等式的性质等式有以下两条性质：等式有以下两条性质：性质性质1 1：等式的两边都加上：等式的两边都加上(或减去或减去)同同一个数或同一个整式，所得的结果一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式仍是等式性质性质1:1:若若a=ba=b，则，则a+m=b+ma+m=b+m性质性质2 2：等式两边都乘以：等式两边都乘以(或除以或除以)同一同一个数个数(除数不为零除数不为零)，所得的结果仍，所得的结果仍是等式是等式 性质性质2 2 若若a=ba=b，则，则am=bmam=bm，.)0(mmbma 例例2 2 如何从等式如何从等式 得得 到到x=-30 x=-3021

10、411232 xx例例3 3、运用等式的性质，求出下列等式中、运用等式的性质，求出下列等式中字母字母x x的值的值 （1 1）5x-7=8 5x-7=8 （2 2）6321 x等式性质等式性质1 1和性质和性质2 2在运用上的异同点在运用上的异同点:相同点：等式两边都是施以同一种运算，相同点：等式两边都是施以同一种运算，等式两边都加上等式两边都加上(或减去或减去)、都乘以、都乘以(或或除以除以)同一个数同一个数不同点：性质不同点：性质1 1等式两边可以都加同一等式两边可以都加同一整式，而性质整式，而性质2 2不能实施；不能实施；在等式两边只能乘、除同一个在等式两边只能乘、除同一个数，而且此数不

11、能等于零，性质数，而且此数不能等于零，性质1 1不受不受零的限制零的限制等式除了课本介绍的两个性质外还有其它性质吗？等式除了课本介绍的两个性质外还有其它性质吗？还有其他性质我们在初中阶段解方程或其它等式还有其他性质我们在初中阶段解方程或其它等式变形中，常用的是课本上的这两个性质，同学们必须变形中，常用的是课本上的这两个性质，同学们必须很好地理解和掌握但实际上，我们在后边的学习中很好地理解和掌握但实际上，我们在后边的学习中还会用到以下两条性质：还会用到以下两条性质：若若A=BA=B，则，则B=AB=A，这是等式的对称性，这是等式的对称性 若若A=BA=B，B=CB=C，则，则A=CA=C，这是等

12、式的传递性，这是等式的传递性 至于其它一些等式的性质，在不同的学习阶段，同至于其它一些等式的性质，在不同的学习阶段，同学们还要逐步学习学们还要逐步学习3 3、等式与方程有的关系、等式与方程有的关系 方程是含有未知数的等式这就方程是含有未知数的等式这就很明确的说明了等式与方程的关系很明确的说明了等式与方程的关系 首先，方程一定是等式；首先，方程一定是等式；第二，方程中必须含有未知数，这两第二，方程中必须含有未知数，这两个条件缺一不可个条件缺一不可 也就是说，等式不一定是方程如也就是说，等式不一定是方程如1+2=31+2=3是等式，但它不是方程是等式，但它不是方程 由于方程是等式，所以方程的解也就

13、会有三种可能：由于方程是等式，所以方程的解也就会有三种可能：如果方程恰是恒等式，则方程的解可以是任意的如果方程恰是恒等式，则方程的解可以是任意的有理数如有理数如2x+3-x=x+32x+3-x=x+3，它的解是，它的解是x x为任意有理数为任意有理数如果方程恰是矛盾等式，则方程无解如如果方程恰是矛盾等式，则方程无解如2x2x2 2+1=0+1=0，我们说这个方程无解我们说这个方程无解如果方程是条件等式，则方程的解是某个确定的如果方程是条件等式，则方程的解是某个确定的值，如值，如4+x=74+x=7，x=3x=3是这个方程的解是这个方程的解xxxx32722122 52 x例例4 4、下列各式中

14、哪些是方程？是方程的指出、下列各式中哪些是方程？是方程的指出未知数未知数(l)2x-3=0(l)2x-3=0；(2)35-27=5+3(2)35-27=5+3；(3)15x(3)15x2 2-7x+2-7x+2；(4)3(x+y)=4(4)3(x+y)=4；（5 5）3x-103x-10；（6 6）（7 7）（8 8）y-1=1-y.y-1=1-y.分析：分析：要判定一个式子是不是方程，主要从要判定一个式子是不是方程，主要从以下两点入手：一是先看看是不是等式，第以下两点入手：一是先看看是不是等式，第二再看看等式中是否含有未知数二再看看等式中是否含有未知数解：解：(l)(l)是方程，其中是方程，

15、其中x x是未知数；是未知数；(2)(2)不是方程；不是方程；(3)(3)不是方程；不是方程；(4)(4)是方程，其中是方程，其中x x、y y是未知数；是未知数；(5)(5)不是方程；不是方程；(6)(6)是方程，其中是方程，其中x x是未知数；是未知数；(7)(7)是方程，其中是方程，其中x x是未知数；是未知数；(8)(8)是方程，其中是方程，其中y y是未知数是未知数4 4、解方程、解方程定义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫定义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。做方程的解。“方程的解方程的解”和和“解方程解方程”中的中的“解解”字有什么不字有什么不同？同？

16、“方程的解方程的解”中的中的“解解”字是名词，表示能使字是名词，表示能使方程左右两边的值相等的未知数所取的数值这样方程左右两边的值相等的未知数所取的数值这样的值可能有一个或多个，也可能没有，所以方程可的值可能有一个或多个，也可能没有，所以方程可能有一解或多解也可能无解而能有一解或多解也可能无解而“解方程解方程”中的中的“解解”字是动词，表示寻求方程的解或判定方程无字是动词，表示寻求方程的解或判定方程无解的过程解的过程“根根”与与“解解”有什么关系？有什么关系？使方程左右两边的值相等的未知数的数值，使方程左右两边的值相等的未知数的数值，叫方程的解；只含有一个未知数的方程的解也叫方程的解；只含有一

17、个未知数的方程的解也叫方程的根叫方程的根同解方程和方程同解原理同解方程和方程同解原理如果两个方程的解相同，那么这两个方程，就叫如果两个方程的解相同，那么这两个方程，就叫做同解方程做同解方程例如：方程例如：方程2x+1=192x+1=19的解是的解是x=9x=9 方程方程2x=182x=18的解也是的解也是x=9x=9那么这两个方程就是同解方程那么这两个方程就是同解方程方程同解原理有两个：方程同解原理有两个：方程同解原理方程同解原理1:1:方程两边都加上方程两边都加上(或减去或减去)同同一个数或同一个整式，所得的方程与原方一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程程是同解方程方程同解原理方

18、程同解原理2:2:方程两边都乘以方程两边都乘以(或除以或除以)同同一个不等于一个不等于0 0的数，所得方程与原方程是同的数，所得方程与原方程是同解方程解方程例例5 5、根据方程同解原理，说明下列两个方程是同、根据方程同解原理，说明下列两个方程是同解方程解方程 （1 1）3x-5=x+11 3x-5=x+11 （2 2）解：方程解：方程(1)(1)两边都减去两边都减去x x，即即2x-5=11(2x-5=11(同解原理同解原理1)1)方程两边都减去方程两边都减去1111，得：得：2x-16=0(2x-16=0(同解原理同解原理1)1)方程两边都除以方程两边都除以1616，即，即 （同解原理（同解

19、原理2 2）从而得到了方程从而得到了方程(2)(2)，所以方程所以方程(1)(1)和和(2)(2)是同解方程是同解方程018 x018 x例例6 6、检验下列各数是不是方程、检验下列各数是不是方程3y-3y-5=10-2y5=10-2y的解的解 (1)y=-1(2)y=3(1)y=-1(2)y=3分析：分析：检验一个数是不是方程的解，检验一个数是不是方程的解，只要把这个数分别代入方程的左、右只要把这个数分别代入方程的左、右两边，看看左右两边是否相等即可两边，看看左右两边是否相等即可解：解：(1)(1)把把y=-1y=-1分别代入方程的左边和右边，分别代入方程的左边和右边，得：左边得：左边=3=

20、3(-1)-5=-8(-1)-5=-8，右边右边=10-2=10-2(-1)=12(-1)=12 左边左边右边右边 y=-1y=-1不是方程不是方程3y-5=10-2y3y-5=10-2y的解的解 (2)(2)把把y=3y=3分别代入方程的左边和右边，分别代入方程的左边和右边，得：左边得：左边=3=33-5=43-5=4，右边右边=10-2=10-23=43=4 左边左边=右边右边 y=3y=3是方程是方程3y-5=10-2y3y-5=10-2y的解的解 说明：说明：1“左边左边”、“右边右边”是定义过的概念，不要简写成是定义过的概念，不要简写成“左左”、“右右”，也不要写成，也不要写成“左端

21、左端”、“右端右端”2注意检验格式，体现出验证推理的过程，有些同学喜欢注意检验格式，体现出验证推理的过程，有些同学喜欢这样写过程这样写过程(以以(2)小题为例小题为例)“把把y=3分别代入方程的左边和右边，分别代入方程的左边和右边，得：得：33-5=10-23 4=4 y=3是方程是方程3y-5=10-2y的解的解”上面的表达法实际上已经事先承认上面的表达法实际上已经事先承认“左边等于右边左边等于右边”，这样，这样的验证过程是不能成立的，也是碰巧，若以的验证过程是不能成立的，也是碰巧，若以(l)小题为例，就小题为例，就会出现矛盾的表达方式会出现矛盾的表达方式“把把y=-l分别代入方程的左边和右

22、边，分别代入方程的左边和右边，得：得：3(-1)-510-2(-1)-8=12”“-8=12”显然是错误的，所以在学习过程中要格外留心这些地显然是错误的，所以在学习过程中要格外留心这些地方方 例例7 7、已知：、已知：x=-4x=-4是方程是方程m(x-1)=4x-mm(x-1)=4x-m的解，求的解，求m m的值的值分析：分析：方程，左、右两边的值相等，所方程，左、右两边的值相等，所以将以将x=-4x=-4代入方程后即可得到关于代入方程后即可得到关于m m的方程，解方程即可求得的方程，解方程即可求得m m的值的值例例8 8、填空：、填空：（1 1）若方程）若方程 的解是的解是 ，则，则 m=

23、_m=_；(2)(2)若方程若方程3a+2=3(x+4)-43a+2=3(x+4)-4的解是的解是-3-3，则则3a3a3 3-2a-2a2 2+1+1的值的是的值的是_ 21|mx21 例例9 9、根据下列条件，列出方程：、根据下列条件，列出方程：(1)x(1)x的的4 4倍加上倍加上3 3等于等于x x的一半减去的一半减去6 6；(2)y(2)y的的 倍比它的相反数的倍比它的相反数的 还多还多 ；(3)x(3)x的的20%20%与与x x的差比的差比x x的的 少少3.3.511434332例例1010、试根据下列条件列出方程：、试根据下列条件列出方程：(1)(1)某数减去某数减去1313

24、是它的是它的 ；(2)(2)甲、乙两数的和为甲、乙两数的和为1212，甲数是乙数，甲数是乙数的的2 2倍少倍少2 253三、小结：三、小结：(1)(1)方程、等式、代数式，这三者的定义是正确区分它方程、等式、代数式，这三者的定义是正确区分它们的唯一标准；们的唯一标准；表示相等关系的式子叫等式，等式的特征是式子表示相等关系的式子叫等式，等式的特征是式子中含有中含有“=”号，而代数式不含号，而代数式不含“=”号，所以代数式不号，所以代数式不是等式，等式可用来表示两个代数式之间的相等关系，是等式，等式可用来表示两个代数式之间的相等关系，等式中等式中“=”号两边的式子都是代数式，而代数式是用号两边的式

25、子都是代数式，而代数式是用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子当不运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子当不论用任何数值代替等式中的字母，其左右两边的值总论用任何数值代替等式中的字母，其左右两边的值总相等时，这样的等式叫恒等式，特别地，由数字计算相等时，这样的等式叫恒等式，特别地，由数字计算组成的等式都是恒等式，由此可见，等式不一定是恒组成的等式都是恒等式，由此可见，等式不一定是恒等式，但恒等式则一定是等式等式，但恒等式则一定是等式（2 2）方程的解是一个数值）方程的解是一个数值(或几个数或几个数值值)，它是使方程左、右两边的值相，它是使方程左、右两边的值相等的未知数的值它是根据未知数与

26、等的未知数的值它是根据未知数与已知数之间的相等关系确定的而已知数之间的相等关系确定的而解方程是指确定方程的解的过程，解方程是指确定方程的解的过程，是一个变形过程。是一个变形过程。四、课后练习：四、课后练习：1 1、简答下列各题：、简答下列各题：(l)(l)怎样从等式怎样从等式3a-2b=23a-2b=2，得到，得到3a=2+2b3a=2+2b？(2)(2)怎样从等式怎样从等式R+4=r+4R+4=r+4，得到，得到R=rR=r？(3)(3)如果如果ma=mbma=mb，那么，那么a=ba=b这句话对吗？这句话对吗？为什么？为什么？(4)(4)如果如果a=ba=b，那么，那么ma=mbma=mb这句话对吗？这句话对吗？为什么？为什么？2 2、检验下列各小题括号里的数是不是它、检验下列各小题括号里的数是不是它前面的方程的解：前面的方程的解：)32-x-2,(x ,4213)1(xx3)x-2,(x ,06)2(2xx3 3、已知、已知-1-1是关于是关于x x的方程的方程x+3|a|=5-9xx+3|a|=5-9x的解，求的解，求a a的值，并解出此时的方程的值，并解出此时的方程加以验证加以验证4 4、已知关于、已知关于x x的方程的方程-2x-2x2m-12m-1+3=-5+3=-5是一是一元一次方程，求元一次方程，求m m的值，并解这个方的值，并解这个方程程