函数与方程及函数的应用问题课件.ppt
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- 函数 方程 应用 问题 课件
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1、第第3 3讲讲 函数与方程及函数的应用问题函数与方程及函数的应用问题1.1.函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根 (1 1)函数的零点)函数的零点 对于函数对于函数f f(x x),我们把使,我们把使f f(x x)=0)=0的实数的实数x x叫做函数叫做函数 f f(x x)的零点的零点.(2 2)函数的零点与方程根的关系)函数的零点与方程根的关系 函数函数F F(x x)=)=f f(x x)-)-g g(x x)的零点就是方程的零点就是方程f f(x x)=)=g g(x x)的的 根,即函数根,即函数y y=f f(x x)的图象与函数的图象与函数y y=g g(x x)的图象交点
2、的图象交点 的横坐标的横坐标.(3 3)零点存在性定理)零点存在性定理 如果函数如果函数y y=f f(x x)在区间在区间a a,b b上的图象是连续不上的图象是连续不 断的一条曲线,且有断的一条曲线,且有f f(a a)f f(b b)0)11,B B (2 2)()(20092009福建文,福建文,1111)若函数)若函数f f(x x)的零点)的零点 与与g g(x x)=4)=4x x+2+2x x-2-2的零点之差的绝对值不超过的零点之差的绝对值不超过0.250.25,则则f f(x x)可以是可以是 ()()A.A.f f(x x)=4)=4x x-1-1B.B.f f(x x)
3、=()=(x x-1)-1)2 2 C.C.f f(x x)=e)=ex x-1-1D.D.解析解析 g g(x x)=4)=4x x+2+2x x-2-2在在R R上连续且上连续且 )21ln()(xxf212)41(g.01212)21(,02322g 设设g g(x x)=4)=4x x+2+2x x-2-2的零点为的零点为x x0 0,则则 又又f f(x x)=4)=4x x-1-1的零点为的零点为 f f(x x)=()=(x x-1)-1)2 2的零点为的零点为 x x=1;=1;f f(x x)=e)=ex x-1-1的零点为的零点为x x=0;=0;的零点为的零点为 故选故选
4、A.A.答案答案 A A,21410 x.4141,4141000 xx;41x)21ln()(xxf.23x二、函数与方程的综合应用二、函数与方程的综合应用例例2 2 已知函数已知函数f f(x x)=-=-x x2 2+8+8x x,g g(x x)=6ln=6lnx x+m m,是否存在实数是否存在实数m m,使得,使得y y=f f(x x)的图象与)的图象与y y=g g(x x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m m 的取值范围;若不存在,说明理由的取值范围;若不存在,说明理由.思维启迪思维启迪 f f(x x)与与g g(x x
5、)图象的交点的问题可以转化图象的交点的问题可以转化 为研究为研究 (x x)=)=g g(x x)-)-f f(x x)的零点问题,即研究的零点问题,即研究 (x x)的的 图象的变化趋势图象的变化趋势.解解 函数函数y y=f f(x x)的图象与的图象与y y=g g(x x)的图象有且只有三的图象有且只有三 个不同的交点个不同的交点,即函数即函数 (x x)=)=g g(x x)-)-f f(x x)的图象与的图象与x x轴轴 的正半轴有且只有三个不同的交点的正半轴有且只有三个不同的交点.(x x)=)=x x2 2-8-8x x+6ln+6lnx x+m m,当当x x(0,1)(0,
6、1)时时,(,(x x)0,()0,(x x)是增函数是增函数;当当x x(1,3)(1,3)时时,(,(x x)0,()0,()0,(x x)是增函数是增函数;当当x x=1,=1,或或x x=3=3时时,(,(x x)=0.)=0.(x x)极大值极大值=(1)=(1)=m m-7,-7,(x x)极小值极小值=(3)=(3)=m m+6ln 3-15.+6ln 3-15.当当x x充分接近充分接近0 0时时,(,(x x)0,)0,)0,要使要使 (x x)的图象与的图象与x x轴正轴正 半轴有三个不同的交点半轴有三个不同的交点,必须且只须必须且只须 即即77m m15-6ln3.15-
7、6ln3.所以存在实数所以存在实数m m,使得函数使得函数y y=f f(x x)与与y y=g g(x x)的图象有的图象有 且只有三个不同的交点且只有三个不同的交点,m m的取值范围为的取值范围为 (7,15-6ln3).(7,15-6ln3).探究提高探究提高 f f(x x)的图象与的图象与g g(x x)的图象交点个数问题的图象交点个数问题辅助函数辅助函数 (x x)=)=g g(x x)-)-f f(x x)的零点个数的零点个数.另外,二次另外,二次 方程根的分布问题可通过其相应抛物线而转化,方程根的分布问题可通过其相应抛物线而转化,就是数形结合中的以形助数思想就是数形结合中的以形
8、助数思想.,0153ln6)(,07)(mxmx极小值极大值 变式训练变式训练2 2 设函数设函数f f(x x)=(1+)=(1+x x)2 2-m mln(1+ln(1+x x),),h h(x x)=)=x x2 2+x x+a a.(1)(1)当当a a=0=0时,时,f f(x x)h h(x x)在(在(0,+0,+)上恒成立,)上恒成立,求实数求实数m m的取值范围;的取值范围;(2 2)当)当m m=2=2时,若函数时,若函数k k(x x)=)=f f(x x)-)-h h(x x)在在0,20,2上上 恰有两个不同的零点,求实数恰有两个不同的零点,求实数a a的取值范围的取
9、值范围.解解 (1 1)f f(x x)h h(x x)1+1+x x-m mln(1+ln(1+x x)0)0 记记 则则f f(x x)h h(x x)在(在(0,+0,+)上恒)上恒 成立等价于成立等价于m m (x x)min.)min.)1ln(1xxm,)1ln(1)(xxx 当当x x(0,e-1)(0,e-1)时,时,(x x)0)0)0,故,故 (x x)在在x x=e-1=e-1处处 取得极小值,也是最小值,取得极小值,也是最小值,即即 (x x)min=(e-1)=e)min=(e-1)=e,故,故m me.e.(2)(2)函数函数k k(x x)=)=f f(x x)-
10、)-h h(x x)在在0 0,2 2上恰有两个不上恰有两个不 同的零点等价于方程同的零点等价于方程(1+(1+x x)-2ln(1+)-2ln(1+x x)=)=a a在在0 0,2 2 上恰有两个相异实根上恰有两个相异实根.,)1(ln1)1ln()(2xxx 令令g g(x x)=(1+)=(1+x x)-2ln(1+)-2ln(1+x x),),则则 当当x x0,10,1)时,)时,g g(x x)0)0)0 故故g g(x x)在在0 0,1 1)上是减函数,在()上是减函数,在(1 1,2 2上是上是 增函数,增函数,故故g g(x x)minmin=g g(1)=2-2ln2,
11、(1)=2-2ln2,g g(0)=1,(0)=1,g g(2)=3-2ln3.(2)=3-2ln3.因为因为g g(0)(0)g g(2)(2),所以只要,所以只要g g(1)(1)a ag g(2)(2),即可以,即可以 使方程使方程(1+(1+x x)-2ln(1+)-2ln(1+x x)=)=a a在在0 0,2 2上恰有两个上恰有两个 相异实根,即相异实根,即a a(2-2ln2,3-2ln3(2-2ln2,3-2ln3.11)(xxxg三、函数的实际应用三、函数的实际应用例例3 3 某地有三家工厂,分别位于某地有三家工厂,分别位于 矩形矩形ABCDABCD的顶点的顶点A A,B B
12、及及CDCD的中的中 点点P P处,已知处,已知ABAB=20 km,=20 km,CBCB=10km=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCDABCD的区的区 域上(含边界),且与域上(含边界),且与A A,B B等距离的一点等距离的一点O O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AOAO,BOBO,OPOP,设排污管道的总长为,设排污管道的总长为y y km.km.(1 1)按下列要求写出函数关系式:)按下列要求写出函数关系式:设设BAOBAO=(rad),=(rad),将将y y表示成表示成 的函数关系式;
13、的函数关系式;设设OPOP=x x(kmkm),将),将y y表示成表示成x x的函数关系式的函数关系式.(2 2)请你选用()请你选用(1 1)中的一个函数关系式,确定)中的一个函数关系式,确定 污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.思维启迪思维启迪 本题可以根据图形,利用解三角形的本题可以根据图形,利用解三角形的 知识求得知识求得y y关于关于 及及x x的函数关系式,而后根据解析的函数关系式,而后根据解析 式特点选择恰当方法求函数的最小值式特点选择恰当方法求函数的最小值.解解 (1)(1)由条件知由条件知PQPQ垂直平分垂直平分ABAB,若
14、若BAOBAO=(rad),=(rad),则则 故故 所以所以 故所求函数关系式为故所求函数关系式为,cos10cosBAOAQOA,tan1010.cos10OPOB又,tan1010cos10cos10OPOBOAy).40(10cossin1020y 若若OPOP=x x(km),(km),则则OQOQ=(10-=(10-x x)(km),)(km),所以所以 故所求函数关系式为故所求函数关系式为 (2)(2)选择函数模型选择函数模型,令令y y=0,=0,得得 因为因为 所以所以 当当 时,时,y y000,y y是是 的增函数,的增函数,.2002010)10(222xxxOBOA)
15、.100(2002022xxxxy2cos)sin)(sin1020(coscos10 y,cos)1sin2(102,21sin.40.6)6,0()4,6(所以当所以当 时,时,这时点这时点O O位于线段位于线段ABAB的中垂线上,的中垂线上,且距离且距离ABAB边边 处处.探究提高探究提高 解决函数实际应用题的关键有两点:解决函数实际应用题的关键有两点:一是认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确一是认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确 问题的实际背景;然后进行科学地抽象概括,问题的实际背景;然后进行科学地抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题;二是要合理将实际问题归纳为相应的数学问题
16、;二是要合理 选取参变量,设定变量之后,就要寻找它们之间选取参变量,设定变量之后,就要寻找它们之间 的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关 系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使 实际问题获解实际问题获解.6)(km).10310(1023211020minykm3310 变式训练变式训练3 3 某物流公司购买了一某物流公司购买了一 块长块长AMAM=30=30米,宽米,宽ANAN=20=20米的矩形米的矩形 地块地块AMPNAMPN,规划建设占地如图,规划建设占地如图 中矩形中矩形ABCDABCD的仓
17、库,其余地方为道路和停车场,的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点要求顶点C C在地块对角线在地块对角线MNMN上,上,B B、D D分别在边分别在边 AMAM、ANAN上,假设上,假设ABAB长度为长度为x x米米.(1 1)要使仓库占地)要使仓库占地ABCDABCD的面积不少于的面积不少于144144平方平方 米,米,ABAB长度应在什么范围?长度应在什么范围?(2 2)若规划建设的仓库是高度与)若规划建设的仓库是高度与ABAB长度相同的长长度相同的长 方体建筑,问方体建筑,问ABAB长度为多少时仓库的库容量最长度为多少时仓库的库容量最 大?(墙体及楼板所占空间忽略不计)大?(墙体及楼板
18、所占空间忽略不计)解解 (1 1)依题意三角形)依题意三角形NDCNDC与三角形与三角形NAMNAM相似,相似,所以所以 即即 矩形矩形ABCDABCD的面积为的面积为 定义域为定义域为00 x x30,30,要使仓库占地要使仓库占地ABCDABCD的面积不少于的面积不少于144144平方米,即平方米,即 化简得化简得x x2 2-30-30 x x+2160+2160,解得,解得1212x x18,18,所以所以ABAB长度应在长度应在1212,1818内内.,NANDAMDC,3220,202030 xADADx,32202xxS,14432202xx (2 2)仓库体积为)仓库体积为 V
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