多元复合函数及隐函数求导法则课件.ppt

1、一元复合函数的求导法则一元复合函数的求导法则(链式法则）设函数设函数 构成了复合函数构成了复合函数 在对应点在对应点 x)()(xuufy与()()yfxuxx,若在 点 可 导,)(ufyu处可导，则复合函数在点处可导，则复合函数在点 处也可导，且有处也可导，且有)()()(xufxfdxdududydxdy或记为复习第三节 多元复合函数及隐函数求导法则 设设z=f(u,v)是变量是变量u，v的函数，而的函数，而u，v又是又是x，y的的函数，即函数，即 ，如果能构成，如果能构成 z 是是x,y 的的二元复合函数二元复合函数(,),(,)ux y vx y(,),(,),zfx yx y 如何

2、求出函数如何求出函数z对自变量对自变量x，y的偏导数呢？的偏导数呢？问题：问题：(,),(,),zfx yx yxy法一：直接将二元函数对 和 求偏导数 但有时较复杂。法二：法二：多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则(链式法则）链式法则）xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 定理定理 如果函数如果函数u u (x x y y)v v (x x y y)都在点都在点(x x y y)具有对具有对x x 及及y y的偏导数，函数的偏导数，函数z z f f(u u v v)在对应点在对应点(u u v v)具有连具有连 续偏导数续偏导数 则复合函数则复合函数z z f f (x x

3、y y)(x x y y)在点在点 (x x y y)的两个偏导数存在的两个偏导数存在 且且1 1、复合函数的中间变量均为二元函数的情形、复合函数的中间变量均为二元函数的情形 链式法则链式法则：一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则(链式法则）链式法则）链式法则如图示链式法则如图示 xzuvxzy uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 函函数数自自变变量量中中间间变变量量 zf(u v)u(x y)v(x y)复合关系图复合关系图公式给出公式给出z对对x的偏导数是的偏导数是(*)xvvzxuuzxz 公式公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数与结构图两者之间的

4、对应关系是：偏导数 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公式式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即xz (1)公式公式(*)的项数，等于结构图中的项数，等于结构图中z到达自变量到达自变量x路径的个数路径的个数.函数结构中函数结构中z到达自变量到达自变量x的路径有两条的路径有两条.第一条是第一条是 ，第二条是，第二条是 ，所以公，所以公 式式(*)由两项组成由两项组成.zuxzvx (2)公式公式(*)每项偏导数乘积因子的个数每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路等于该条路径中函数及中间变量的个

5、数径中函数及中间变量的个数.如第一条路径如第一条路径 ,有一个函数有一个函数z和一个中间变量和一个中间变量u，因此，第一项就是两，因此，第一项就是两个偏导数个偏导数 与与 的乘积的乘积.zuxxuuz 复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.这一这一法则通常形象地称为链式法则法则通常形象地称为链式法则.xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 设zf(u

6、 v)u(x y)v(x y)则 解 xvvzxuuzxz 解法解法1 1：exyy sin(xy)cos(xy)eusin v 1 eucos v y yvvzyuuzyz eusin v exyx sin(xy)cos(xy)1eucos v x 例例1 1 设 zeusin v uxy vxy 求xz和yz z uvxy型型解法解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v，用用x，y代入，则得到代入，则得到 ，z 是是x，y二元函数，根据偏二元函数，根据偏导数的求法，得导数的求法，得)sin(eyxzxy)cos(e)sin(e yxyxyxzx

7、yxy)cos(e)sin(e yxyxxyzxyxy，)cos()sin(eyxyxyxy).cos()sin(eyxyxxxy定理的推广：定理的推广：设zf(u,v,w),u(x,y),v(x,y),ww(x,y),则wzuzvzxzxuxvxw，yzyuuzvzyvwzyw 设zf(u v w)u(t)v(t)ww(t)则 定理定理 如果函数如果函数u u (t t)及及v v (t t)都在点都在点t t可导可导 函数函数 z z f f(u u v v)在对应点在对应点(u u,v v)具有连续偏导数具有连续偏导数 则复则复 合函数合函数z z f f (t t)(t t)在点在点t

8、 t可导可导 且有求导公式且有求导公式dtdvvzdtduuzdtdz 定理的推广：定理的推广：dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz 2 2、复合函数的中间变量均为一元函数的情形、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 上述dtdz称为全导数 tz uvdtdvvzdtduuzdtdz 设zf(u v)u(t)v(t)则 解解：tsinetsintcos2e3tcostsin2tcostsin22=-由公式得由公式得)tsint2sintcos(e32tcostsin2=-例例2 2 设函数设函数2dz,sin,cos,dtu vzeut vt求全导数-)sint(eucost2uved

9、tdvvzdtduuzdtdzvu2vu22+=+=etcos tetsin tcos t v cos t u et(sin t)解解:解 tzdtdvvzdtduuzdtdz et(cos tsin t)cos t 设zf(u v w)u(t)v(t)ww(t)则 dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz 例例3 3 设设zuvsin t 而 uet vcos t 求全导数dtdz 定理定理 如果函数如果函数 在点在点 具有对具有对 及对及对 的偏导数的偏导数,函数函数 在点在点 可可 导导,函数函数 在对应点在对应点 具有连具有连 续偏导数，则复合函数续偏导数，则复合函数 在点在点 的

10、两个偏导数存在，且有的两个偏导数存在，且有(,)ux y(,)x yxy()vyy(,)zf u v(,)u v(,),()zfx yy(,)x y,zzuxuxzzuz dvyuyv dy 。3 3复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形 z uvxy特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中区别类区别类似似uzxyxy 设zf(u x y)且u(x y)则 xfxuufxz yfyuufyz 例 2 设 uf(x y z)222zyxe 而 zx2sin yyuxu和求 例例4 4 解

11、 xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222yxyxeyyxy2422sin4)cossin(2 解解:xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222 yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222 yxyxeyxx242

12、2sin22)sin21(2 解解xududfxz 令令.xyxu 则则).(ufz ()f u).1(y yududfyz ().f uxz uxy型型4 4、复合函数是抽象函数的情形、复合函数是抽象函数的情形 求可导函数求可导函数例例5 5 求求)(xyxfz f的偏导数。的偏导数。求求.解解:令uxyz vxyz 则wf(u v)例例6 6 设设w f(x y z xyz)f具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数 2,.xx zww 求求21fyzfxvvfxuufx w注：为表达方便，引入以下记号：注：为表达方便，引入以下记号：21212,ffffffuvu v 212()fyzfx z

13、zw 12()fyzfzz2111222122fxyfyfyzfxy zf21112222().fy xz fyfxy zf111fffuvzuzvz1112fxyf2122fxyf222fffuvzuzvz122ffyfyzzz 由于由于2x zw 所以所以128(,)(0,0)0,(0,0),(0,0),(),(,),(0).f x yffa fbtf t f t t例设函数可微，求1212(),(,)+,(,)(,)(,)tf t f t tf t f t tf t tf t t0t 令得1212(0)0,(0,0)+0,(0,0)(0,0)(0,0)ffffff(0,0)0f由于，得1

14、212(0)0,0+0,0(0,0)(0,0)ffff（）（）12(0,0)=,(0,0),fa fb因为(0)+().a bab所以解解 一元函数具有微分形式不变性，多元一元函数具有微分形式不变性，多元函数的全微分形式也有类似的性质。函数的全微分形式也有类似的性质。(,).zf u vzzdzdudvuv设具有连续偏导数，则有全微分(,)(,),(,)zf u vux y vx y如果具有连续偏导数，也具有连续偏导数,zzdzdxdyxy则有全微分zzdzdxdyxy()()zuzvzuzvdxdyuxv xuyv y ()()zuuzvvdxdydxdyuxyvxy.zzdudvuv全微分

15、形式不变性的实质：全微分形式不变性的实质：无论无论 z 是自变量是自变量 u，v 的函数或中间变量的函数或中间变量 u，v 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.则有全微分全全微微分分形形式式不不变变性性练习：练习：1、求下列复合函数的偏导数、求下列复合函数的偏导数dxdzeyxyarctgzdtdztytxtyxzx求求,),()2(,cos,sin,)1(22uzvuvufzzuyuyzxzyxu求求),24,23()4(,),sin(,)3(222答案：答案：1、求下列复合函数的偏导数求下列复合函数的偏导数zyzyzuyyzzyuexxedxdztdtdzxx2)2sin(,2)2sin()3(1)1()2(12sin2)1(22（4）令）令),(4),(324,23yxfyxfuzyvuxvuyx