多元函数复合求导和隐函数课件.ppt

1、第四节第四节一元复合函数一元复合函数)(),(xuufy求导法则求导法则xuuyxydddddd内容内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则微分法则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 )(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理.若函数若函数,)(,)(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续处偏导连续,),(vu在点在点在点 t 可导可导,tvvztuuztzdd

2、ddddz则复合函数则复合函数且有链式法则且有链式法则vutt机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (全导数公式全导数公式)推广推广:1)中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形.例如例如,),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微.tzdd321fff2)中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.例如例如,),(,),(,),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )

3、(,)(,)(twtvtu又如又如,),(,),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时,有有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意:这里这里xzxfxz表示固定表示固定 y 对对 x 求导求导,xf表示固定表示固定 v 对对 x 求导求导口诀口诀:分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导xfxvvfyvvf与与不同不同,v机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1.设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxve

4、usinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设设,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(cos

5、tuuzddtvvzddtz求全导数求全导数,teu,costv 解解:tusintcos注意：注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到,下列例题有助于掌握下列例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见为简便起见,引入记号引入记号,2121vuffuff),(1zyxzyxf例例4.设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,),(zyxzyxfw求求.,2zxwxw解解:令令,zyxvzyxu

6、xwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数设函数),(,),(,),(yxvyxuvufz的全微分为的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论可见无论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数则复合函数)(f

7、z),(,),(yxyxudvzvd都可微都可微,其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样,这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )cos()sin(yxyxeyx例例1.,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 6.利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1.解解:)(dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以所以veusinvveudcos )cos()sin(yxyxeyx)(dyx)(d

8、yx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,)(.02zyxezed解,)(02zdezdyxdezyxzdexdyydxezyx)()(2ydeexxdeeyzdzyxzyx)()(22,2zyxeeyxz.2zyxeexyz.,02.7yzxzezezyx和求已知例机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 y)(,01sinxyyyxeyxy

9、ycos两边对两边对 x 求导求导xey0 yxxyeyx cos回顾回顾 利用隐函数求导利用隐函数求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导一、一个方程所确定的隐函数及其导数数0)(,(xfxF两边对两边对 x 求导求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在在),(00yx的某邻域内的某邻域内则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 0),(.1 yxF若若F(x,y)的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyy

10、xyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数二阶导数:)(yxFFxxyxxydd则还有则还有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1.方程方程01sinyxeyx0dd,0dd22xxyxxy解解:令令,1sin),(yxeyyxFx,yeFxx则则xyFy cos求求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0,0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx1,0,0yyx2)cos(xy 3100yyx)(yex)(cosxy)(yex)1sin(yy0),(,(yxfyxF两边对两边对 x 求偏导求偏

11、导xFzxFFxzzyFFyz同样可得同样可得,0),(),(所确定的隐函数所确定的隐函数是方程是方程设设 zyxFyxfz则则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在0),(.2 zyxF解法解法1 利用公式利用公式设设zzyxzyxF4),(222则则,2xFxzxFFxz两边对两边对 x 求偏导求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.设设,04222zzyx.22xz求解法解法2 利用隐函数求导利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)

12、(2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 再对再对 x 求导求导例例2.设设,04222zzyx.22xz求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.设设,04222zzyx.22xz求解法解法3.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,0)4(222 zzyxd,04222 dzdzdydx,04222 dzzdzydyxdx,22dyzydxzxdz ,dyyzdxxzdz zxxz 2思路：思路：把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏

13、导导数数得得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看看成成zx,的的函函数数对对z求求偏偏导导数数得得zy .解解令令,zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff ),(vufz 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得)1(0 yxfu),(yxyzx

14、zfv 解法解法2.利用公式利用公式第六节第六节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(vufz 设设zxyzzyxfzyxF ),(),(则则,vuxyzffF 1 vuzxyffFzxFFxz ,1vuvuxyffyzff ),(zyxzyxfz 解法解法3.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,yx zd1f zyxddd 2f zyxyzxxzyddd :dx解解出出 d x21fzyf zfyxfd121 yfzxfd21 .zx 第六节第六节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由由d y,d z 的系数即可得的

15、系数即可得),(vufz 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组有隐函数组则则两边对两边对 x 求导得求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组设方程组xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0公式公式 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导二、方程组所确定的隐函数组及其导数数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF ),(),(yxvvyxuu由由 F、G 的偏

16、导数组成的行列式的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ ),(),(称为称为F、G 的的雅可比雅可比(Jacobi)行列式行列式.雅可比雅可比 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(),(1vxGFJxu ),(),(1vyGFJyu ),(),(1xuGFJxv ),(),(1yuGFJyv vvvuvuGFGGFF1 vvvuvuGFGGFF1 uuvuvuGFGGFF1 uuvuvuGFGGFF1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxGFyyGFxxGFyyGF222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcb

17、c2211caca22111babay 二元线性代数方程组解的公式例例4.设设,1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xu 22yxvxuyyu方程组两边对方程组两边对 x 求导，并移项得求导，并移项得求求0 vxvxxuy22yxvyuxxv 22yxuyvx练习练习:求求yvyu,0 xvyxuxu22yxvyuxyv机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 答案答案:故有故有内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”例如例如,),(,),(yxvvyxfuuvyxy

18、xxu1f 3f;1yu2f 3f22.全微分形式不变性全微分形式不变性,),(vufz 对不论不论 u,v 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3、隐函数隐函数(组组)求导方法求导方法方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算;方法方法2.代公式代公式;方法方法3.利用微分形式不变性利用微分形式不变性 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1.已知已知求求.),(22xyyxf解解:由

19、由1),(2xxf两边对两边对 x 求导求导,得得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,.223Cfxyyxfxz 设设.,yxzyzyz222求求.解解xfxfxyz1213 ,2214fxfxxfxfxxfxfx112221212114 ,221231152fxfxfx yyz222214fxfxyxz2xyz22214fxfxx,2214fxfxyz,23Cfxyyxfxz 212114134xyfyfxfx 22221222xyfyfxfx.2211421324fyfyxfxfx )()

20、(xzzxyy及,2 yxeyx.ddxu求分别由下列两式确定分别由下列两式确定:又函数又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,3.设设解解:两个隐函数方程两边对两个隐函数方程两边对 x 求导求导,得得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx)sin()1(z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研考研)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解得解得因此因此 zxFyFy0zFz fx)1(y4.设)(,)(xzzxyy 是由方程是由方程)(yxf

21、xz 和和0),(zyxF所确定的函数所确定的函数,求求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对分别在各方程两端对 x 求导求导,得得ffxfzyfx xzyFzFyF)0(zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(99考研考研)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解法2 微分法.0),(),(zyxFyxfxz对各方程两边分别求微分对各方程两边分别求微分:化简得化简得消去消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1机动机动 目录

22、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可得可得一、填空题一、填空题:1 1、设、设xyyxzcoscos,则则 xz_；yz_.2 2、设设22)23ln(yyxxz ,则则 xz_；yz_._.3 3、设、设32sinttez ,则则 dtdz_._.二二、设设uvuez ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz ,.练练 习习 题题三、设三、设)arctan(xyz ,而而xey ,求求dxdz.四、设四、设),(22xyeyxfz (其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数),求求yzxz ,.五、设五、设)(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连

23、续偏导 数数),),求求.,zuyuxu 六、设六、设),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数),),求求 22222,yzyxzxz .七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数,验证验证:211yzyzyxzx .八、设八、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ；2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ；3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz .练习题答案练习题答案三、三、xxexxedxdz221)1(.四、四、.2,22121fxef yyzfyefxxzxyxy 五、五、.),(),1(fxyzuxzxfyuyzyfxu 六、六、,12222121122fyfyfxz ,1)1(22221222fyfyfyxyxz .222422322fyxfyxyz 八八、,)1(121122 xz 222111221122)(yz.