复数的概念与定义课件.ppt

1、2022-12-312022-12-321.1 复数的概念与运算复数的概念与运算 一、一、复数的概念复数的概念复数复数：为为复复数数。或或称称对对iyxzyixzRyx ,虚虚部部。分分别别称称为为复复数数的的实实部部和和其其中中，yx,记：记：zImy,zRex 时时，当当00 y,x称称为为纯纯虚虚数数；yiz 为实数。为实数。时，时，当当xzy 0。记记为为为为复复数数集集，全全体体复复数数构构成成的的集集合合称称C Ry,xiyxC 即即：2022-12-33复数相等,iyxz,iyxz222111 设设相相等等和和称称时时，且且当当且且仅仅当当212121zzyyxx ，因因而而是是

2、有有序序的的；两两个个实实数数可可以以比比较较大大小小小小，因因而而是是无无序序的的。而而两两个个复复数数不不能能比比较较大大21zz 记记为为2022-12-34二二、复复数数的的代代数数运运算算222111,iyxziyxz 设设、复复数数的的加加、减减法法运运算算1 212121yyixxzz 2.复数乘法复数乘法 12212121221121)(yxyxiyyxxiyxiyxzz （2022-12-354.共轭复数共轭复数3.商商)0()2221121 ziyxiyxzzz（共共轭轭。与与的的两两个个复复数数称称实实部部相相同同而而虚虚部部相相反反iyxiyx 222221122222

3、2121yxyxyxiyxyyxx 2022-12-36iyxziyxz 则则记记若若记记,zz 即即共共轭轭概概念念是是相相互互的的,必必为为实实数数。则则若若因因此此的的相相反反数数仍仍为为由由于于zzz,00:,可可得得利利用用共共轭轭复复数数izzzzzz2)Im(,2)Re(2022-12-375.5.复数运算的性质复数运算的性质 则有设,321Czzzz 12211221,:)1(zzzzzzzz 交交换换律律 )()(,:)2(321321321321zzzzzzzzzzzz 结合律结合律 3121321:)3(zzzzzzz 分配律分配律21_21,:)4(zzzzzz 共轭共

4、轭)0(,221_2121_21 zzzzzzzzz 22ImRezzz z 2022-12-381求21设例50100 zz,iz25250502i12i1z :解ii 25252)2(iiizz 1)()(12501002022-12-39三三、复复数数的的几几何何表表示示1.1.复平面复平面 iyxzyxpiy平平面面。复复平平面面或或这这样样表表示示的的平平面面称称为为轴轴称称为为虚虚轴轴称称为为实实轴轴zyx,轴2022-12-3100。yx|z|r即r,或|z|记为的模,z的长长度称OP向量22 2.2.复数的复数的模模zzr23.3.复数的复数的幅角幅角的的幅幅角角称称为为与与实

5、实轴轴正正向向间间的的夹夹角角复复数数时时当当zzz,0 zArg记记为为22,sin,cosyxrryrx 显显然然xyz tan)tan(Arg所所以以iyxzyxpiy2022-12-311的整数倍。,20它它们们之之间间相相差差有有无无穷穷多多个个幅幅角角任任何何一一个个复复数数 z,.)2,1,0(2arg kkzzArg 于于是是有有记记为为幅幅角角称称为为幅幅角角的的主主值值满满足足，的 0zarg0 而而幅幅角角不不确确定定时时当当,0,0 zz2022-12-312xyarctanxyarctanxyxyarctanarctan xyarctan zargzxyzargyzx

6、2022-12-313:按如下2xyarctan2xyarctan由argz )0,0(2)()0,0(arctan)()0,0(arctan)0,0(2),()0(arctanarg)0(yxIIIyxxyIIyxxyyxIVIxxyzz 2022-12-314iz22)1(,422arctanarg z ,.1,0,42Arg kkz iz22)2(,4)1arctan(22arctanarg z ,.1,0,42Arg kkz iz22)3(,43)1arctan(22arctanarg z ,.1,0,432Arg kkz iz22)4(,43)1arctan(22arctanarg

7、z ,.1,0,432Arg kkz 例例:2022-12-31521zz 2z1z2z1z21zz 由复数的运算法则可知由复数的运算法则可知:两个复数的加、减运算和相应向量的加、减运算一致两个复数的加、减运算和相应向量的加、减运算一致之之间间的的距距离离与与表表示示2121zzzz 则则三三角角不不等等式式）(2121zzzz 2121zzzz 2022-12-3164.4.复数的三角表示式复数的三角表示式:,0可表示为可表示为时时iyxzz )sin(Arg)cos(Arg|sincoszizzirz 5.5.复数的指数表示式复数的指数表示式 sincos:ieEuleri 公公式式利利用

8、用 ireziyxz :可可以以表表示示为为复复数数iyxzyxpiy2022-12-317表表示示式式。化化为为三三角角表表示示式式和和指指数数将将例例iz212 4412|:zr解解33tan)tan(Arg xyz 656arg,zz所所以以在在第第三三象象限限由由于于:的的三三角角表表示示式式z)65sin()65cos(4 iz :的的指指数数表表示示式式ziez 654 2022-12-318:线线求求下下列列方方程程所所表表示示的的曲曲例例|2|2|)1(ziz4)Im()2(zi2022-12-319的的线线段段的的垂垂直直平平分分线线和和即即表表示示连连接接点点的的轨轨迹迹的

9、的点点距距离离相相等等和和表表示示到到点点方方程程22,22|2|2|)1(iizizxy :其其方方程程为为xy2 i 2则则设设,)2(iyxz iyxzi)1(41)Im(yzi3:y从从而而所所求求曲曲线线方方程程为为xy3 2022-12-320四四、复复数数的的乘乘幂幂与与开开方方1.复数的复数的乘积与商乘积与商（三角、指数形式）（三角、指数形式）)sin(cos),sin(cos22221111 irzirz 设设:由由乘乘法法法法则则得得)sin)(cossin(cos22112121 iirrzz )sinsincos(cos212121 rr)sincoscos(sin21

10、21 ii )sin()cos(212121 irr2121212121ArgArg)Arg(|zzzzzzrrzz ，2022-12-32121 21zzyx2z1z2 1:乘乘积积的的几几何何意意义义:乘乘积积的的指指数数形形式式212211,iierzerz )(212121 ierrzz:商商)(1212121212 iiierrererzz2022-12-3222.乘幂与方根乘幂与方根 nnzzzz.sincosirrezi ninrerzninnnsincos nznzzn记记为为次次幂幂的的称称为为的的乘乘积积个个相相同同复复数数,zwwzznn 相当于相当于时，时，当当0有有令

11、令 iew :的的方方根根z iinnree 2022-12-323),2,1,0(2,kknrn 于是于是),2,1,0(,2,knkrn nkinnerzw 2 所以所以),1,0()2sin2(cos knkinkrn 个不同的值。个不同的值。次方根只取这次方根只取这一个复数的一个复数的个不同的值个不同的值的的时得到时得到、取取当当nnnwnk,1210 个顶点。个顶点。边形的边形的正正为半径的圆的内接为半径的圆的内接个值是以原点为中心个值是以原点为中心这这nnrnn2022-12-324 4sin4cos21 i)4,3,2,1,0(21524105 keiki 所以所以个个值值分分别

12、别为为：5 20sin20cos2100 iw 209sin209cos2101 iw 2017sin2017cos2102 iw 2025sin2025cos2103 iw 2033sin2033cos2104 iw个个顶顶点点边边形形的的为为半半径径的的圆圆的的内内接接正正五五原原点点为为中中心心5251051i 求求例例2022-12-325。的模、幅角、共轭复数的模、幅角、共轭复数求求例例5)31(:i 5523212)31(:ii解解5535sin35cos2 i 325sin325cos25i 31sin31cos32i31616,3,32i 共共轭轭复复数数为为幅幅角角主主值值为

13、为故故模模为为 31616i 2022-12-326所所得得向向量量对对应应的的复复数数。向向旋旋转转对对应应的的向向量量按按顺顺时时针针方方求求把把复复数数例例 321i 32sin32cos)1()1(:32iieizi解解2312312321)1(iii2022-12-327有有利利用用证证明明,|:2z zz)()(|2121221zzzzzz )(2121zzzz （)(|21122221zzzzzz )(|21212221zzzzzz )Re(2|212221zzzz :,21证证明明为为任任意意两两个个复复数数、设设例例zz)Re(2|212221221zzzzzz 2022-12-328ONQPCxy五、复球面五、复球面北极北极N可以看成是与复平面上的一个模为无穷大的假想可以看成是与复平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，记为点相对应，这个假想点称为无穷远点，记为。CC,记记为为称称为为扩扩充充复复平平面面后后复复平平面面加加上上点点2022-12-329)(为有限数aaa )0(bbb)0(0,0 bbb|无意义义实部、虚部、辐角无意,0,:的的规规定定对对