复变函数第三讲课件.ppt
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- 函数 第三 讲课
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1、第三讲第三讲 解析函数的充要条件解析函数的充要条件初等函数初等函数&1.解析函数的充要条件解析函数的充要条件&2.举例举例2.2 解析函数的充要条件解析函数的充要条件 如果复变函数如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定在定义域义域 D内处处可导,则函数内处处可导,则函数 w=f(z)在在 D内解析。内解析。本节从函数本节从函数 u(x,y)及及 v(x,y)的可导性,探求的可导性,探求函数函数w=f(z)的可导性,从而给出判别函数解析的的可导性,从而给出判别函数解析的一个充分必要条件,并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件,并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何判断
2、函数的解析性呢?如何判断函数的解析性呢?一一.解析函数的充要条件解析函数的充要条件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(则则可可导导在在点点设设函函数数,),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0(yzzz若若沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方式式xvixu yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyy
3、z ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0(xzzz若沿平行于虚轴的方式若沿平行于虚轴的方式yuiyvyvyui 1 yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )(存存在在A 记忆记忆yvxvyuxu 定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).yuxvyvxu 定理定理1 设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在 D 内有定义,内有定义,则则 f(z)在点在点 z=x+iy D处可导的充要条件是处可导的充要条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在点在点(x,y)可微,且满足可微,且
4、满足 Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu 上述条件满足时上述条件满足时,有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf )(证明证明(由由f(z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证!只须证方程满足上面已证!只须证 f(z)的可导的可导 函数函数 u(x,y)、v(x,y)可微可微)。)。函数函数 w=f(z)点点 z可导,即可导,即)()()()(zfzzfzzfz 设设则则 f(z+z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1),且且zzfzzfzfz )()(lim)(00)(lim0 zz u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i 2)(x+iy)=(ax-by
5、+1x 2y)+i(bx+ay+2x+1y)令:令:f(z+z)f(z)=u+iv,f (z)=a+ib,(z)=1+i 2 故(故(1)式可写为)式可写为因此因此 u=ax by+1x 2y,v=bx+ay+2x 1y0)(lim0 zz 0limlim200100 yxyx0lim2100 zyxyx 0lim1200 zyxyx 所以所以u(x,y),v(x,y)在点在点(x,y)处可微处可微.(由函数(由函数u(x,y),v(x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f(z)在点在点z=x+iy处可导)处可导)u(x,y),v(x,y)在在(x,y)点可微,即
6、:点可微,即:yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4,3,21(,0lim00,其其中中 kkyx yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf )()()()()()(4231 yixizxvixuRC )()()(4231 方方程程由由0)(1|,1|31 izxzyzxxvixuzzfzzfzfz )()(lim)(0zyizxixuizuzzfzzf )()()()(4231 定理定理2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在D内可微,且内可微,且 满足满足Cauchy-Riema
7、nn方程方程yuxvyvxu A 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系.当一个函数可导时当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来.A 利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可以判断那些函数是不可导的.使用时使用时:i)判别判别 u(x,y),v(x,y)偏导数的连续性,偏导数的连续性,ii)验证验证C-R条件条件.iii)求导数求导数:yvyuixvixuzf 1)(A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的的,但是求复变函数的导数时要注意但是求复变
8、函数的导数时要注意,并不是两个并不是两个实函数分别关于实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的.二二.举例举例2)3()sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ;例例1 判定下列函数在何处可导,在何处解析:判定下列函数在何处可导,在何处解析:解解(1)设设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则则析析。在在全全平平面面不不可可导导,不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 1001解解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则则 u=excosy,v=exsiny在在全全平平面面可可导导,解解析析。故故)sin(cos)(cossinsincosyiye
9、zfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)(zfyieyexvixuzfxx 仅在点仅在点z=0处满足处满足C-R条件,故条件,故。处处可可导导,但但处处处处不不解解析析仅仅在在02 zzw解解(3)设设z=x+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则则 0022 yvxvyyuxxu例例2 求证函数求证函数.0),(),(2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw处解析,并求处解析,并求在在 证明证明 由于在由于在z0处,处,u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数,都是可微函数,且满足且满足C-R条件:条件:,)(22222yxx
10、yyvxu 222)(2yxxyxvyu 故函数故函数w=f(z)在在z0处解析,其导数为处解析,其导数为22222222222221)()()(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzw DzCzfDzzf ,)(,0)(若若例例3 复复常常数数)()(001)(2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 证明证明例例4 如果如果f(z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数,是一解析函数,且且f (z)0,那么曲线族,那么曲线族u(x,y)=C1,v(x,y)=C2必互相正交,这里必互相正交,这里C1、C2常数常数.那么在曲线的交点处,那么在曲线的交
11、点处,i)uy、vy 均不为零时,均不为零时,由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x,y)=C1,v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 yxuuk/1 yxvvk/2 01)(yvyuizf0不不全全为为与与yvyu 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy,uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1,即:两族曲线互相正交,即:两族曲线互相正交.ii)uy,vy中有一为零时,不妨设中有一为零时,不妨设uy=0,则,则k1=,k2=0(由(由C-R方程)方程)即:两族曲线在交点处的切线一条是水平的,另即:两族曲线在交点处的切线
12、一条是水平的,另一条是铅直的一条是铅直的,它们仍互相正交。它们仍互相正交。?)(,)()(2222在复平面内处处解析在复平面内处处解析取何值时取何值时问常数问常数若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf 练习练习:a=2,b=-1,c=-1,d=2&1.指数函数指数函数&2.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数&3.对数函数对数函数&4.乘幂与幂函数乘幂与幂函数&5.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数2.3 初等函数初等函数 本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形,研究这些初等函数的推广到复变函数情形,研究这些初等函数的性质,并说
13、明它的解析性。性质,并说明它的解析性。内内 容容 简简 介介一一.指数函数指数函数它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质:0exp)1(zz)0exp,(xez事实上事实上xezzfxz exp)(,)2(时时为为实实数数当当)0(y)2(12(的的例例见见 ,2,1,02)expArg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的指指数数函函数数定定义义复复变变数数对对定义定义.exp)(expexp)()3(zzzzf 且且在复平面上处处解析,在复平面上处处解析,右右边边左左边边设设事事实实上上 )exp()sin
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