复化辛普森求积公式课件.ppt
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- 复化辛普森求积 公式 课件
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1、14.1 4.1 引言引言 4.1.1 4.1.1 数值求积的基本思想数值求积的基本思想 依据微积分基本定理,对于积分,)(badxxfI只要找到被积函数 的原函数 ,便有下列牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式:)(xf)(xF).()()(aFbFdxxfba但对于下列情形:2 (1)被积函数,诸如 等等,找不到用初等函数表示的原函数;2sin,sinxxx (2)当 是由测量或数值计算给出的一张数据表时,牛顿-莱布尼兹公式也不能直接运用.)(xf 因此有必要研究积分的数值计算问题.由积分中值定理知,在积分区间 内存在一点,成立,ba),()()(fabdxxfba3就是说,
2、底为 而高为 的矩形面积恰等于所求 ab)(f曲边梯形的面积 (图4-1).I图4-14 问题在于点的具体位置一般是不知道的,因而难以 准确算出 的值.)(f 将 称为区间 上的平均高度.)(f,ba 这样,只要对平均高度 提供一种算法,相应地便)(f获得一种数值求积方法.用两端点“高度“与 的算术平均作为平均高度)(af)(bf)(f的近似值,这样导出的求积公式)()(2bfafabT(1.1)是梯形公式(几何意义参看图4-2).5图4-2 用区间中点 的“高度”近似地取代平均高度 ,则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)2bac)(cf)(f).2()(bafabR(1.2)6 一般地,
3、可以在区间 上适当选取某些节点 ,,bakx然后用 加权平均得到平均高度 的近似值,)(kxf)(f,)()(0nkkkbaxfAdxxf(1.3)式中 称为求积节点求积节点;kx权 仅仅与节点 的选取有关,kAkx的具体形式.)(xf这样构造出的求积公式具有下列形式:kA称为求积系数求积系数,亦称伴随节点kx的权权.而不依赖于被积函数7 这类数值积分方法通常称为机械求积,其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算,这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难.8 4.1.2 4.1.2 代数精度的概念代数精度的概念 定义定义1 1 如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式m均能准确地成立,
4、但对于 次多项式就不准确成立,1m则称该求积公式具有 次代数精度次代数精度.m 梯形公式(1.1)和矩形公式(1.2)均具有一次代数精度.数值求积是近似方法,为保证精度,自然希望求积公式对尽可能多的函数准确成立.9nkkabA0,欲使求积公式(1.3)具有 次代数精度,则只要令它m对 都准确成立,就得到mxxf,2,1)((1.4)nkmmmkkabmxA011).(11nkkkabxA022),(2110 如果事先选定求积节点 ,譬如,以区间 的等距分点作为节点,这时取 ,求解方程组(1.4)即可确定求积系数 ,而使求积公式(1.3)至少具有 次代数精度.kx,banm kAn 构造形如(1
5、.3)的求积公式,原则上是一个确定参数 和 的代数问题.kxkA11 4.1.3 4.1.3 插值型的求积公式插值型的求积公式 设给定一组节点,210bxxxxan且已知函数 在这些节点上的值,)(xf作插值函数 .)(xLn取 banndxxLI)(作为积分 的近似值,badxxfI)(nkkknxfAI0)((1.5)这样构造出的求积公式12称为是插值型插值型的,式中求积系数 通过插值基函数 积分得出 kA)(xlk.)(bakkdxxlA(1.6)由插值余项定理(第2章的定理2)即知,对于插值型的求积公式(1.5),其余项 nIIfR式中与变量 有关,x).()()(10nxxxxxxx
6、(1.7),)()!1()()1(bandxxnf13 当 是次数不超过 的多项式时,插值多项式就是n)(xf函数本身,余项 为零,fR至少具有 次代数精度.n 反之,如果求积公式(1.5)至少具有 次代数精度,则n.)()(0banjjkjkxlAdxxl 事实上,这时公式(1.5)对于插值基函数 应准确)(xlk它必定是插值型的.成立,即有所以这时插值型求积公式14 定理定理1 1形如(1.5)的求积公式至少有 次代数精度的n注意到,)(kjjkxl上式右端实际上即等于 ,kA因而式(1.6).)(bakkdxxlA成立.这样,有充分必要条件是,它是插值型的.15 4.1.4 4.1.4
7、求积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性 定义定义2 2.)()(lim00bankkkhndxxfxfA其中),(max11iinixxh 在求积公式(1.3)中,由于计算 可能产生误差 ,)(kxfk实际得到将是 ,kf即.)(kkkfxf,)()(0nkkknxfAfI在求积公式(1.3)中,若则称求积公式(1.3)是收敛的.记nkkknfAfI0.)(16如果对任给小正数,0只要误差 充分小就有 knkkkknnfxfAfIfI0)()()((1.8),则表明求积公式(1.3)计算是稳定的,由此给出:定义定义3 3),1,0()(nkfxfkk就有(1.8)成立,则称求积公式(
8、1.3)是稳定的.,0对任给,0若只要17 定理定理2 2 证明证明取,ab,)(kkfxf),1,0(0nkAk若求积公式(1.3)中系数 则此求积公式是稳定的.,0对任给都有nk,1,0若对则当 时有0kAnkkkknnfxfAfIfI0)()()(nkkkkfxfA0)(18由定义3,知求积公式(1.3)是稳定的.nkkA0)(ab.194.2 4.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式 4.2.1 4.2.1 柯特斯系数柯特斯系数 设将积分区间 划分为 等分,,ban选取等距节点 构造出的插值型求积公式khaxknkknknxfCabI0)()()((2.1)称为牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯
9、公式,式中 称为柯特斯系数柯特斯系数.)(nkC 按(1.6)式,引进变换,thax,nabh步长则利用等距节点的插值公式,有20 nnkjjnkdtjkjtabhC00)((2.2).)()!(!)1(00 nnkjjkndtjtknnk 当 时,1n,21)1(1)1(0 CC这时的求积公式就是梯形公式(1.1)()(2bfafabT21 当 时,按(2.2)式,2n,61)2)(1(4120)2(0dtttC相应的求积公式是辛普森辛普森(Simpson)公式公式),()2(4)(6bfbafafabS(2.3),64)2(2120)2(1dtttC.61)1(4120)2(2dtttC柯
10、特斯系数为 22 的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式,4n),(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfabC(2.4)这里.4,abhkhaxk 按(2.2)式,可构造柯特斯系数表.其形式是 2328350989228350588828350928283501049628350454028350104962835092828350588828350989817280751172803577172801323172802989172802989172801323172803577172807517840413592809105342809359840416288199
11、62514425144259625288195907451615245169074818383813613261221211)(nkCn1表424 从柯特斯系数表看到 时,柯特斯系数 出现负值,8n)(nkC,10)(0)(nknknknkCC特别地,假定,0)()(kknkfxfCnkkknknnfxfCfIfI0)()()()(于是有,)(kkfxf且则有 nkkknkfxfC0)()(nkkknkfxfC0)()(25它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大,即计算不稳定,故 的牛顿-柯特斯公式是不用的.8n.0)(nknkC26 4.2.2 4.2.2 偶阶求积公式的代数精度偶阶求积
12、公式的代数精度 由定理1,阶的牛顿-柯特斯公式至少具有 次的代数精度.nn 先看辛普森公式(2.3),它是二阶牛顿-柯特斯公式,因此至少具有二次代数精度.用 进行检验,3)(xxf.)2(46333bbaaabS本节讨论代数精度的进一步提高问题.按辛普森公式计算得 27均能准确成立,.4443abdxxIba另一方面,直接求积得 这时有 ,IS 而它对 通常是不准确的,4)(xxf辛普森公式实际上具有三次代数精度.即辛普森公式对次数不超过三次的多项式因此,定理定理3 3当阶 为偶数时,牛顿-柯特斯公式(2.1)至少n有 次代数精度.1n28 证明证明我们只要验证,当 为偶数时,牛顿-柯特斯n公
13、式对 的余项为零.1)(nxxf 由于这里,)!1()()1(nxfn.)(0 banjjdxxxfR引进变换 并注意到 有,thax,jhaxj按余项公式(1.7)nIIfR,)()!1()()1(bandxxnf有 29,)2(2202 nnnjndujnuhfR因为被积函数.0fR若 为偶数,则 为整数,n2n,)(002 nnjndtjthfRnjjnuuH0)2()(为奇函数,所以,2nut再令进一步有2/2/)(nnjju30 4.2.3 4.2.3 几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项 按余项公式(1.7),梯形公式(1.1)的余项,)(2)(baTdxbxaxfTIR这
14、里积分的核函数 在区间 上保号(非正),)(bxax,ba应用积分中值定理,在 内存在一点 使,ba,baTdxbxaxfR)(2)((2.5).,)(12)(3baabf 31 为研究辛普森公式(2.3)的余项 构造次数,SIRs不超过3的多项式 满足 ),(xH),()(),()(bfbHafaH(2.6)).()(),()(cfcHcfcH其中.2bac 辛普森公式具有三次代数精度,对于这样构造出的三次式 应是准确的,即 )(xH),()(4)(6)(bHcHaHabdxxHba32basdxxHxfSIR)()(对于多项式 ,其插值余项由第2章(5.11)得)(xH),()(!4)()
15、()(2)4(bxcxaxfxHxf由插值条件(2.6),上式右端实际上等于按辛普森公式(2.3)求得的积分值 ,S因此积分余项 故有.)()(!4)(2)4(basdxbxcxaxfR33这时积分的核函数 在 上保号)()(2bxcxax,babasdxbxcxaxfR)()(!4)(2)4(类似的,对于柯特斯公式(2.4),结果如下:).(4945)(2)6(6fababCIRC(2.8)(非正),再用积分中值定理有(2.7)).(2180)4(4fabab344.3 4.3 复化求积公式复化求积公式 复化求积的基本思想是把积分区间分成若干子区间(通常是等分),再在每个子区间上用低阶求积公
16、式,目的是提高精度.4.3.1 4.3.1 复化梯形公式复化梯形公式 将区间 划分为 等分,,ban,1,0nk在每个子区间 上)1,1,0(,1nkxxkk,nabhkhxk分点采用梯形公式(1.1),则得 35badxxfI)(101)(nkxxkkdxxf(3.1)).()()(2101fRxfxfhnnkkk记 101)()(2nkkknxfxfhT称为复化梯形公式复化梯形公式.(3.2),)()(2)(211nkkbfxfafh36 由(2.5),其余项nnTIfR)(由于 ,且,)(2baCxf 10)(1nkkfn所以 使),(ba.)(1)(10 nkkfnf于是复化梯形公式余
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