复变函数论多媒体教学课件汇总.ppt
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- 关 键 词:
- 函数 多媒体 教学 课件 汇总
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1、 Department of Mathematics1 孤立奇点的类型孤立奇点的类型2 可去奇点可去奇点3 极点极点4 本性奇点本性奇点5 毕卡定理毕卡定理第二节、解析函数的孤立奇点一一 孤立奇点的三种类型孤立奇点的三种类型(),af zKaLaurent若 为的弧立奇点 则在内可展成级数()()nnnf zcza1()nnncza0()nnncza()f za在 的主要部分()f za在 的正则部分K在 内收敛于一解析函数()f za在点 的奇点性质体现定义5.2()af z设 为孤立奇点(1)(),();f zaaf z如果在点 的主要部分为零 则称 为的可去奇点(0,0)nnc 即(2)
2、(),f za如果在点 的主要部分为有限项 设为(1)11,(0)()()mmmmmcccczazaza();af zm则称 为的 级极点(0,0)mncnm c 即(3)(),()f zaaf z如果在点 的主要部分有无限多项 则称 为的本质奇点.(0,0)nnc即无限多个使二二 可去奇点可去奇点()af z若 为的可去奇点,则01()()()(0)nnf zcc zaczazaR0(),():.f acf zKzaR若命则在内解析sin(),(0)1zf zfz如若令sin0(),10zzf zzz即令()0f zz 则在解析.(),()f zaf zza可将在 加以适当定义 使在解析.定
3、理5.3()af z若 为的可去奇点,则下列三条件等价,因此,它们中任何一条都是可去奇点的特征(1)();f za在点 的主要部分为零(2)lim(),();zaf zb b(3)()f za在点 的某去心邻域内有界.证明(1)(2)01()()()(0)nnf zcc zaczazaR由于0lim()zaf zc故;(2)(3)lim(),();zaf zb b 由于由函数极限的性质,();f za在点 的某去心邻域内有界(3)(1)(),f zM zKa设()f za考察在点 的主要部分1()nnncza11(),(1,2,.)2()nnfcdnia ,Ka 而 为 内的圆周可以充分小 于
4、是由1()12nnfcda1122nM nM0()n 1,2,0,nnc 故时()f za即在点 的主要部分为零.例1tan()zf zz确定函数的孤立奇点的特征.解tan()0,zf zzz的孤立奇点为00tanlim()limzzzf zz由于1,tan0()zzf zz所以为的可去奇点.三三 极点极点1定理5.4()af z若 为的可去奇点,则下列三条件等价,因此,它们中任何一条都是m阶极点的特征(1)()f za在点 的主要部分为(1)11,(0)()()mmmmmcccczazaza(2)()f za在点 的某去心邻域内能表成()()(5.11);()mzf zza1(3)()()(
5、)0).g zamf zg a以点 为 阶零点 可去奇点当解析点看,只要令()()0;zaa其中在点 的邻域内解析,且证明(1)(2)若(1)为真,则在点a的某去心邻域内有(1)1011()()()()()mnmnmmcccf zcc zaczazazaza1(1)101()()()()mmmmmcczaczac zaza(),()mzza()()0;mzaac其中显然在点 的邻域内解析,且(2)(3)若(2)为真,则在点a的某去心邻域内有1()()g zf z(),()mzaz10;()aa1其中在点 的邻域内解析,且(z)因此,(),af z为的可去奇点作为解析点看,只要令()0,g a(
6、);ag zm为的 阶零点(3)(1)1();()ag zmf z由于 为的 阶零点则在点a的某邻域内有()()(),mg zzaz()()0,za其中在此邻域内解析,且这样一来11(),()()mf zzaz()az1因在点 的邻域内解析,故在此邻域内有1(1)101()()()()mmmmcczaczac zaz()f za则在点 的主要部分为10.()mca(1)11,()()mmmmccczazaza1定理5.5()f za函数的孤立奇点 为极点的充要条件是lim().zaf z 证明()f za函数以 为极点1()amf z以点 为 阶零点lim().zaf z 注(),()af z
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