多元复合函数的求导法则课件.ppt

1、第四节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第九章)(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理.若函数,)(,)(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续,),(vu在点在点 t 可导,tvvztuuztzddddddz则复合函数证证:设 t 取增量t,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间

2、变量且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u,v,0t令,0,0vu则有to)(全导数公式全导数公式)tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu)(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,dd机动 目录 上页 下页 返回 结束 tvvztuuztzdddddd若定理中 说明说明:),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu,易知:(0,0)0,(0,0)uzfu 但复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd01010(0,0)0(0,0)vzfv 偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存

3、在,2t0,22222vuvuvu,0022vu机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.推广推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微.tzdd321fff2)中间变量是多元函数的情形.例如,),(,),(,),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz机动 目录 上页 下页 返回 结束)(,)(,)(twtvtu又如,(,),(,),(,)zf x u vuu x yvv x y当它们都具有可微条件时,有xz注意注意:这里xzx

4、fxz是二元函数 z(x,y)对 x 的偏导数；xf导数，且仅有第一个中间变量 x 在变；此时，不用xffuux与不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束 xvvf是三元函数 f(x,u,v)对第一个中间变量 x 的偏对 u(x,y),v(x,y)中的 x 求导例例1.设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyx

5、yuxu,求解解:xu2222zyxex2222(12 sin)xyzxzy eyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxyxeyxx2422sin22)sin21(2例例3.设,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu,costv 解解:tusintcos机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注1:121221,ffff等偏导数的中间变量与 f 完全相

6、同；若题目条件中有“f 有二阶连续偏导数”，则注注2:一定合并1221ff与与；否则不能合并；为简便起见,引入记号,2121vuffuff),(1zyxzyxf例例4.设 f 具有二阶连续偏导数,),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解:令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设其中其中F,f,有连续（偏）导数，求有连续（偏）导数，求(),(,),(),wF xyzz

7、f x yyx dwdx解：解：()()dwd xyzFxyzdxdx()(1)dydzFxyzdxdx()1()xyFxyzff()1(1)xyFxyzff 例例6.【研】【研】设设 f 有二阶连续偏导数且有二阶连续偏导数且22221,ffuv221(,),(),2g x yf xyxy2222.ggxy 求求例例7.设设 f 有二阶连续偏导数，有二阶连续偏导数，22(,),zf xyx y 2.zx y 求求例例8.设设 f 有二阶连续偏导数，有二阶连续偏导数，二阶可导，二阶可导，22(,(),.zzf xyxyx y 求求二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数),(,),

8、(,),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数)(fz),(,),(yxyxudvzvd都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )cos()sin(yxyxeyx例例1.,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例9.利用全微分形式不变性再解例1.解解:)(dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)

9、cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos()sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则例如例如,),(,),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22.全微分形式不变性,),(vufz 对不论 u,v 是自变量还是因变量,d(,)d(,)duvzfu vufu vv机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1.已知求.),(2

10、2xyyxf解解:由1),(2xxf两边对 x 求导,得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.【研】【研】)1,1(,1()1(ff1)(dd3xxx1)1,1(f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf),(,(2xxfxf),(1xxf),(2xxf 1x 351,1)1,1(f,),(,()(xxfxfx,2)1,1(xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1,1(处可微,且设函数,3)1,1(yf解解:由题设23)32(机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.【研】【研】设设 f(x,y,z)可微分，可微分，k0为常数，且对任意为常数，且对任意 t(,),kf tx ty tzt f x y z.fffxyzxyz求求等式二边对等式二边对 t 求导得求导得1123,kfxfyfzktf 有有令令 t=1,fffxyzkfxyz则则解：解：