高中数学选修2 2:21《合情推理与演绎推理课件》.ppt
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1、2.1.12.1.1合情推理合情推理在在日常生活日常生活中,人们常常进行这样那样的推理。例如:中,人们常常进行这样那样的推理。例如:(1)气象专家预测未来几天天气的状态;)气象专家预测未来几天天气的状态;(2)医生诊断病人的病症;)医生诊断病人的病症;(3)考古学家推断出土文物的年代等等。)考古学家推断出土文物的年代等等。在在高中数学高中数学中,时时刻刻都在应用推理。中,时时刻刻都在应用推理。例如:例如:(1)必修)必修1函数单调性的证明;函数单调性的证明;(2)必修)必修2立体几何命题的证明立体几何命题的证明;(3)必修)必修4三角函数性质的推导;三角函数性质的推导;(4)必修)必修5数列通
2、项公式的推导等等。数列通项公式的推导等等。引言:归纳推理归纳推理歌德巴赫猜想的提出过程:歌德巴赫猜想的提出过程:3710,31720,131730,1037,20317,301317偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数63+3,任何任何一个不小于一个不小于6 6的偶数都等于两个的偶数都等于两个 奇质数之和;奇质数之和;至今无人证明它是错误的至今无人证明它是错误的 。83+5,105+5,125+7,147+7,165+11,1 00029+971,铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和
3、为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 180360540凸凸n边形边形内角和为内角和为.1802n第一个芒果是第一个芒果是甜的甜的第二个芒果是第二个芒果是甜的甜的第三个芒果是第三个芒果是甜的甜的这个果园这个果园的芒果都的芒果都是甜的是甜的第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个个数为数为2n.部分部分个别个别整整 体体一一 般般1.归纳推理的定义归纳推理的定义:由某类事物的部分对象具有某些特征由某类事物的部分对象具有某些特征,推推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理理,或者由个别事实概括出一般结
4、论的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为称为归纳推理归纳推理(简称归纳简称归纳)。简言之简言之,归纳推理是由归纳推理是由部分到整体、部分到整体、由由个个别到一般别到一般的推理。的推理。例例1.1.观察下图观察下图,可以发现可以发现1+3+(2n1)=n21=12得出一般性结论:得出一般性结论:1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,nn1n1na2.aa1,a1a(n1,2,3),例例已已知知数数列列的的第第一一项项且且试试归归纳纳出出这这个个数数列列的的通通项项公公式式。动手,练一练动手,练一练 nn1n+1n2a1.aa1
5、,a2anN,在在数数列列中中,试试猜猜想想这这个个数数列列的的通通项项公公式式。每一行首末两端的数都等于上一行首末两端的数都是每一行首末两端的数都等于上一行首末两端的数都是1,其它各数等于上一行与之相邻的两数之和其它各数等于上一行与之相邻的两数之和。1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明发明了锯;了锯;2.人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮原人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮原理理,发明了潜水艇发明了潜水艇.3.利用平面向量的基本定理类比利用平面向量的基本定理类比得到空间向量得到空间向量的基本定理的基本定理.类比推理类比推理 除了类比推理,在人类的发明
6、创造中,还除了类比推理,在人类的发明创造中,还常常应用另一种推理常常应用另一种推理-类比推理。类比推理。比如:比如:圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x0,y0)为圆心为圆心,r为半径的为半径的圆的方程为圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线垂中点的连线垂直于弦直于弦球心与不过球心的截面圆的圆球心与不过球心的截面圆的圆心的连线垂直于截面圆心的连线垂直于截面圆 与球心距离相等
7、的两截面圆面积相等与球心距离相等的两截面圆面积相等与球心距离不相等的两截面圆面积与球心距离不相等的两截面圆面积不相等不相等,距球心较近的截面圆面积较大距球心较近的截面圆面积较大以点以点(x0,y0,z0)为球心为球心,r为半径的为半径的球的方程为球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积3 34 4V=RV=R3 3球的表面积球的表面积2 2S=4RS=4R圆的周长圆的周长 S=2RS=2R圆的面积圆的面积2 2S=RS=R 由两类对象具有某些类似特征和其中由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些
8、已知特征,推出另一类对一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为象也具有这些特征的推理称为类比推理类比推理(简称类比)(简称类比)2.类比推理的定义类比推理的定义:简言之,类比推理是由简言之,类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理 数学家波利亚曾指出数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的类比是一个伟大的引路人引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题比问题.”.”例例1:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想出空间中四面体性质的猜想abcoABCs1s2s3c2=a2+b
9、2直角三角形直角三角形3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体C903个边的长度个边的长度a,b,c 2条直角边条直角边a,b和和1条斜边条斜边cAOBAOCBOC90 4个面的面积个面的面积S1,S2,S3和和S 3个个“直角面直角面”S1,S2,S3和和1个个“斜面斜面”S2222123SSSS猜猜想想:类比推理的一般步骤:类比推理的一般步骤:找出两类对象之间可以找出两类对象之间可以确切表述的相似特征确切表述的相似特征;用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;从而得出一个猜想;P A B B A P A B C B A C
10、由上图(左)有面积关系:由上图(左)有面积关系:PBPAPBPASSPABBPA则由上图(右),则类似的结论是:则由上图(右),则类似的结论是:ABCPCBAPVVPCPBPAPCPBPA动手,练一练动手,练一练1.2.在平面上在平面上,设设ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三条边上的高三条边上的高.P为三为三角形内任一点角形内任一点,P到相应三边的距离分别为到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可我们可以得到结论以得到结论:试通过类比试通过类比,在空间中在空间中,设设ha,hb,hc,hd,是三棱锥是三棱锥A-BCD四个四个面上的高面上的高.P为三棱锥内任一点为三棱锥内任一点,P到
11、相应四个面的距离分到相应四个面的距离分别为别为pa,pb,pc,pd,写出在空间中的类似结论写出在空间中的类似结论.1ccbbaahphphp 平面上平面上 空间中空间中图图形形结结论论证证法法ABCPpapbpc1ccbbaahphphp1ddccbbaahphphphpABCDP证证法法1,2121ABCPABPACPBCccbbaaABCPABPACPBCABCPABccABCPACbbABCPBCaaaaSSSShphphpSSSSSShpSShpSShBCpBChp同理有,S,_.ABCa b cABC 已已知知三三边边长长为为面面积积为为 则则内内切切圆圆半半径径r r=3 3.2
12、Sabc 分析:面积法分析:面积法1234,A-BCD,R_.S SSSV 根根据据类类比比推推理理的的方方法法 若若一一个个四四面面体体四四个个面面的的面面积积分分别别为为体体积积为为,则则四四面面体体的的内内切切球球半半径径12343VSSSS ,S,2.ABCa b cSABCabc 变变式式:已已知知三三边边长长为为面面积积为为 则则内内切切圆圆半半径径r r=合情推理合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为
13、出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理合情推理。通俗地说,合情推理是指通俗地说,合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们能帮助我们猜测和发现结论。猜测和发现结论。证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。提供证明的思路和方向。从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说,合情推理是指通俗地说,合情推理是指“合乎情理合乎情理”的
14、推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理谢谢指导,再见!谢谢指导,再见!3 3:(:(20012001年上海年上海)已知两个圆已知两个圆x x2 2+y+y2 2=1:=1:与与x x2 2+(y-3+(y-3)2)2=1=1,则由则由式减去式减去式式可得上述两圆的对称轴方程可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推推广的命题为广的命题为-.-.(x-a)(x-a)2 2+(y-b
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