高中数学第二章一元二次函数方程和不等式211不等关系与比较大形件新人教A版必修第一册.ppt

1、第二章一元二次函数、方程和不等式第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与比较大小必备知识必备知识自主学习自主学习导思导思1.1.用什么来表示实际问题中的不等关系？用什么来表示实际问题中的不等关系？2.2.如何比较两个实数的大小？如何比较两个实数的大小？1.1.不等式与不等关系不等式与不等关系(1)(1)不等式的概念不等式的概念我们用数学符号我们用数学符号“”“”“”“”“(3)(3)本质：现实世界和日常生活中的不等关系在数量关系上的反映，这种不等本质：现实世界和日常生活中的不等关系在数量关系上的反映，这种不等关系可以用不等式来表示关系可以用不等式来表示.应用

2、：描述现实世界和日常生活中的不等关系应用：描述现实世界和日常生活中的不等关系.【思考思考】3333成立吗？成立吗？提示：提示：成立成立.不等式不等式“ab”ab”的含义是：或者的含义是：或者“ab”ab”或者或者“a=b”a=b”，即当，即当“ab”abab，那么，那么a-ba-b是正数，反之亦是正数，反之亦然然abab_如果如果abab，那么，那么a-ba-b是负数，反之亦是负数，反之亦然然aba0a-b0a-b0a-b0a-b=0a-b=0【思考思考】你能否由比较两个实数大小的依据得出两个实数比较大小的方法？你能否由比较两个实数大小的依据得出两个实数比较大小的方法？提示：提示：能能.通过两

3、个实数作差，判断差的正负比较大小通过两个实数作差，判断差的正负比较大小.【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)不等式不等式abab等价于等价于“a a不小于不小于b”.b”.()(2)(2)若若x-20 x-20，则，则x2.xbab，a=ba=b，ababab或或a=ba=b，等价于，等价于“a a不小于不小于b”b”，即若，即若abab或或a=ba=b中有一个正确，则中有一个正确，则abab正确正确.(2)(2).若若x-20 x-20，则，则x2xbab，a=ba=b，abab三种关系中的一种，没有其他三种关系中的一种，没

4、有其他大小关系大小关系.2.2.某路段竖立的某路段竖立的 的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/hv km/h应应满足的关系式为满足的关系式为()A.v60A.v60B.v60C.v60C.v60D.v36D.v36【解析解析】选选C.C.限速就是速度不超过，可以直接建立不等式限速就是速度不超过，可以直接建立不等式v60.v60.3.(3.(教材二次开发：练习改编教材二次开发：练习改编)已知已知x2x2，则，则x x2 2+4+4与与4x4x的大小关系为的大小关系为_._.【解析解析】x x2 2+4-4x=(x-2)+4-4x=(x-2)2 2

5、，而，而x2x2，所以所以(x-2)(x-2)2 200，所以，所以x x2 2+4-4x0+4-4x0，所以，所以x x2 2+44x.+44x.答案：答案：x x2 2+44x+44x关键能力关键能力合作学习合作学习类型一利用不等式类型一利用不等式(组组)表示不等关系表示不等关系(数学抽象、逻辑推理数学抽象、逻辑推理)角度角度1 1利用不等式表示不等关系利用不等式表示不等关系【典例典例】1.20191.2019年年1010月月5 5日日1414时时1818分，京张高铁联调联试正式启动分，京张高铁联调联试正式启动.此条线路此条线路是是20222022年北京冬奥会的重要交通保障设施，设计最高时

6、速年北京冬奥会的重要交通保障设施，设计最高时速350350公里公里.用一个数用一个数学式子表示高铁时速学式子表示高铁时速v v为为_._.2.2.中国中国“神舟七号神舟七号”宇宙飞船的飞行速度宇宙飞船的飞行速度v v不小于第一宇宙速度不小于第一宇宙速度7.9 km/s7.9 km/s，且，且小于第二宇宙速度小于第二宇宙速度11.2 km/s.11.2 km/s.表示为表示为_._.【思路导引思路导引】读懂题意，找出不等关系，用不等式表示出来读懂题意，找出不等关系，用不等式表示出来.【解析解析】1.“1.“最高最高”即即“不超过不超过”，即小于或等于，故用数学式子表示为：，即小于或等于，故用数学

7、式子表示为：v350.v350.答案：答案：v350v3502.“2.“不小于不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：即大于或等于，故用不等式表示为：7.9v11.2.7.9v11.2.答案：答案：7.9v11.27.9v11.2【变式探究变式探究】本例本例1 1条件若改为：条件若改为：“如图是高速公路上一个最低限速的指示标如图是高速公路上一个最低限速的指示标志，限制行驶时速志，限制行驶时速v v不得低于不得低于5050千米千米”，试用不等式表示，试用不等式表示.【解析解析】“不低于不低于”即大于或等于，即大于或等于，故用不等式表示为：故用不等式表示为：v50.v50.角度角度2 2利用不等式

8、组表示不等关系利用不等式组表示不等关系【典例典例】用一段长为用一段长为30 m30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m18 m，要，要求菜园的面积不小于求菜园的面积不小于110 m110 m2 2，靠墙的一边长为，靠墙的一边长为x m.x m.试用不等式组表示其中的不试用不等式组表示其中的不等关系等关系.【思路导引思路导引】读懂题意，找出不等关系，用不等式组表示出来读懂题意，找出不等关系，用不等式组表示出来.【解析解析】由于矩形菜园靠墙的一边长为由于矩形菜园靠墙的一边长为x mx m，而墙长为，而墙长为18 m18 m，所以，所以0 x180

9、10).10)300(x10).x101类型二作差法比较大小类型二作差法比较大小(逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算)【典例典例】已知已知a1a1且且aRaR，试比较，试比较 与与1+a1+a的大小的大小.四步四步内容内容理解理解题意题意条件：条件：a1a1，aRaR结论：比较结论：比较 与与1+a1+a的大小的大小 思路思路探求探求作差作差化简化简判定差的符号判定差的符号确定大小关系确定大小关系11a11a四步四步内容内容书写书写表达表达因为因为 -(1+a)=-=-(1+a)=-=，(1)(1)当当a=0a=0时，时，=0=0，所以，所以 =1+a.=1+a.(2)(2)当当a1a00，

10、所以所以 1+a.1+a.(3)(3)当当a1a1时，时，00，所以，所以 1+a.00，a+b0a+b0，a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2.综上所述，综上所述，a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2.【拓展延伸拓展延伸】中间值法比较大小中间值法比较大小如果所给式子作差后无法因式分解，不能判断差的符号，可尝试中间值法比如果所给式子作差后无法因式分解，不能判断差的符号，可尝试中间值法比较大小较大小.利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值，通过它们的有界性来利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值，通过它们的有界性来寻找中间值作媒介，以达到传递的目的

11、寻找中间值作媒介，以达到传递的目的.【拓展训练拓展训练】已知已知xRxR，试比较，试比较2x2x2 2-3x+3-3x+3与与 的大小的大小.【解析解析】因为因为2x2x2 2-3x+3=1-3x+3=1，2 2x x+2+2-x-x=()=()2 2+22+22，所以所以 1 1，所以所以2x2x2 2-3x+3 .-3x+3 .xx22223152(x)48158xx22xx222xx222类型三比较大小在实际问题中的应用类型三比较大小在实际问题中的应用(数学抽象、数学建模数学抽象、数学建模)【典例典例】20192019年年1212月月2626日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往日某单

12、位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往.甲车队甲车队说：说：“如果领队买全票一张，其余人可享受如果领队买全票一张，其余人可享受7.57.5折优惠折优惠”，乙车队说：，乙车队说：“你们你们属团体票，按原价的属团体票，按原价的8 8折优惠折优惠.”.”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.【思路导引思路导引】先设出变量表示出两车队的车票花费，再通过作差法比较先设出变量表示出两车队的车票花费，再通过作差法比较.【解析解析】设该单位职工有设该单位职工有n n人人(nN(nN*)，全票价为，全

13、票价为x x元，坐甲车队的车需花元，坐甲车队的车需花y y1 1元，元，坐乙车队的车需花坐乙车队的车需花y y2 2元元.由题意，得由题意，得y y1 1=x+x(n-1)=x+nx=x+x(n-1)=x+nx，y y2 2=nx.=nx.因为因为y y1 1-y-y2 2=x+nx-nx=x-nx=x+nx-nx=x-nx=x =x ，当当n=5n=5时，时，y y1 1=y=y2 2；当当n5n5时，时，y y1 1yy2 2；当当n5nyy2 2.所以，当单位去的人数为所以，当单位去的人数为5 5人时，两车队收费相同；多于人时，两车队收费相同；多于5 5人时，选甲车队更优人时，选甲车队更

14、优惠；少于惠；少于5 5人时，选乙车队更优惠人时，选乙车队更优惠.343414451434451414120n(1)5【解题策略解题策略】现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题.【跟踪训练跟踪训练】甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲

15、每次购进100100千克大米，而乙每次用去千克大米，而乙每次用去100100元钱元钱.问：谁的购买方式更合算？问：谁的购买方式更合算？【解析解析】设两次大米的价格分别为设两次大米的价格分别为a a元元/千克，千克，b b元元/千克千克(a0(a0，b0b0，ab)ab)，则甲两次购买大米的平均价格则甲两次购买大米的平均价格(元元/千克千克)是：是：乙两次购买大米的平均价格乙两次购买大米的平均价格(元元/千克千克)是：是：因为因为所以所以 .所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算.100 abab.200220022ab,10010011ababab22ab4a

16、babab2ab0,2ab2 ab2 abab22abab课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.1.下列说法正确的是下列说法正确的是()A.xA.x为非正数可表示为为非正数可表示为“x0”x0”B.B.小华的实际年龄小华的实际年龄n n不足不足1818岁，表示为岁，表示为“n18”n18”C.C.两数两数x x，y y的平方和不小于的平方和不小于2 2，表示为，表示为“x x2 2+y+y2 22”2”D.D.甲数甲数a a比乙数比乙数b b大，表示为大，表示为“ab”ab”【解析解析】选选C.xC.x为非正数应表示为为非正数应表示为“x0”x0”，小华的实际年龄，小华的实际年龄n n不足不足1

17、818岁应表岁应表示为示为“n18”nb”ab”，故，故A A，B B，D D不正确，不正确，C C正正确确.2.2.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x x不低于不低于9595分，文化课总分分，文化课总分y y高高于于380380分，体育成绩分，体育成绩z z超过超过4545分，用不等式组表示就是分，用不等式组表示就是()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选D.“D.“不低于不低于”即即“”“”，“高于高于”即即“”，“超过超过”即即“”，所，所以以 x95,y380,z45x95,y380,z45x95,y380,z45x95,y3

18、80,z45x95,y380,z453.3.设设a=3xa=3x2 2-x+1-x+1，b=2xb=2x2 2+x+x，则，则()A.abA.abB.abB.ap(2)m+np(3)16t18(3)16t185.(5.(教材二次开发：练习改编教材二次开发：练习改编)比较比较(a+3)(a-5)(a+3)(a-5)与与(a+2)(a-4)(a+2)(a-4)的大小为的大小为_._.【解析解析】因为因为(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a=(a2 2-2a-15)-(a-2a-15)-(a2 2-2a-8)=-70.-2a-8)=-70.所以所

19、以(a+3)(a-5)(a+2)(a-4).(a+3)(a-5)(a+2)(a-4).答案：答案：(a+3)(a-5)(a+2)(a-4)(a+3)(a-5)(a+2)(a-4)不等关系与不等关系与比较大小比较大小利用不等式表示不等关系利用不等式表示不等关系比较大小比较大小作差法：通常利用配方法化作差法：通常利用配方法化成完全平方式与成完全平方式与0 0比较比较作商法：适用于同号的式子作商法：适用于同号的式子作商与作商与1 1比较比较比较大小常比较大小常用方法用方法（1 1）利用不等式时，要注意等号能否取到）利用不等式时，要注意等号能否取到（2 2）利用不等式表示不等关系时要注意实际意义）利用不等式表示不等关系时要注意实际意义数学建模：数学建模：用不等式用不等式(组组)表示实际问题，表示实际问题，培养培养数学建模的核心素养数学建模的核心素养逻辑推理：逻辑推理：通过等式性质类比推理得不等式通过等式性质类比推理得不等式的性质，的性质，培养培养逻辑推理的核心素养逻辑推理的核心素养方法总结方法总结核心知识核心知识易错提醒易错提醒核心素养核心素养